0 引言

共识问题即一致性问题，是多自主体网络的一个最基本的分布式协调控制问题.在过去几十年里，多自主体的共识问题在许多领域都引起了极大关注^[1-5].其中，出现了一类线性切换多自主体系统一致性问题，包括无领导者一致性问题^[6]和领导者跟随一致性问题^[7-8].广义系统有动态系统的自然表示，比一般的线性系统有更广泛的背景^[9-10].文献[11]和[12]分别利用状态反馈和输出反馈来设计控制协议，给出了广义多自主体系统达到一致的充分必要条件.但都只考虑了固定拓扑情形下的一致性问题，对于更一般的动态拓扑(切换拓扑)没有研究，给出的条件虽然是充分必要条件，但是证明过程却是从系统达到一致性的条件出发.

本文将文献[8]中的一般线性系统推广到广义系统，并讨论在切换拓扑下的一类广义多自主体系统的一致性问题.与文献[12]相比，这里讨论的拓扑图是动态图, 而且分两种情形(无领导者和领导者跟随)来研究其一致性.通过代数图论^[13]和广义系统理论^[14]得到结论：要解决广义多自主体系统的两个一致性问题，只需要相应的慢子系统达到一致性.

1 预备知识

对于给定的向量或矩阵X，‖ X ‖表示X的欧几里得模.向量1_N表示所有元素都是1的列向量，span{X}表示由X的列向量张成的线性子空间，|a|表示不超过实数a的最大的整数，A^1/2表示正定矩阵A的二次方根.⊗代表Kronecker积，满足如下性质：(A⊗B)^T=A^T⊗B^T, (A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗ (BD), (A+B)⊗ C=A⊗C+B⊗C, A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗C.

通常，一个多自主体系统中每个自主体之间的信息交换可以通过有向图或无向图来描述^[13].

2 主要结果

本文将考虑式如

$ \mathit{\boldsymbol{E}}{{\dot x}_i} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} + \mathit{\boldsymbol{B}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i} $

(1)

广义多自主体系统的稳定性，其中：x_i∈Rⁿ，u_i∈R^m分别是第i个自主体的状态和输入；E, A∈R^n×n，B∈R^n×m是常数矩阵；(E, A)是正则无脉冲的，且rank E=r≤n.

对于系统(1)，定义动态图G_σ(t)=(V, ε_σ(t))，其中V={1, …，N}，且(j, i)∈ε_σ(t)，当且仅当控制u_i在时刻t利用(x_j-x_i)作为反馈.令A_σ(t)=[a_ij(t)]_N×N是动态图G_σ(t)的邻接权矩阵，则可定义状态反馈拓扑

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = \mathit{\boldsymbol{K}}\sum\limits_{j = 1}^i {{a_{ij}}\left( t \right)\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right)} ,i = 1, \cdots ,N, $

(2)

这里K ∈R^m×n是增益矩阵.

定义1^[8]  无领导者一致性问题.给定系统(1)和一个动态图G_σ(t)，找到一个状态反馈拓扑(2)的反馈增益矩阵K，使得对于i, j=1, …, N，当t→∞时，x_i(t)-x_j(t)→ 0.

对于以上描述的无领导者的一致性问题，每一个子系统解的稳态行为是无足轻重的.还有一个一致性问题称为领导者跟随一致性问题，而这个问题就要求每一个子系统的解都要渐近趋近于信号x₀(t).假设信号x₀(t)由线性系统

$ \mathit{\boldsymbol{E}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_0} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_0} $

(3)

产生，其中x₀∈Rⁿ.

下面分别称系统(1)和系统(3)为跟随者系统和领导者系统.联合系统(1)和系统(3)，定义另外一个动态图G_σ(t)=(V, ε_σ(t)), 这里V={0, 1, …, N}.显然G是G的子图，因为可以从图G移去V中的结点0，和在t时刻ε_σ(t)中所有属于结点0的边得到.令Δ_σ(t)是一个N×N的非负对角矩阵，其中第i个对角元是a_i0(t)，这里如果(0, i)∈ε，则a_i0(t)＞0，否则a_i0(t)=0.考虑状态反馈拓扑

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = \mathit{\boldsymbol{K}}\sum\limits_{j = 0}^N {{a_{ij}}\left( t \right)\left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_j} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_i}} \right)} ,i = 1, \cdots ,N. $

(4)

定义2^[8]  领导者跟随一致性问题.给定领导者系统(3)、跟随者系统(1)和一个动态图G_σ(t)，找到一个状态反馈拓扑(4)的反馈增益矩阵K，使得对于i=1, …, N，当t→∞时，x_i(t)-x₀(t)→0.

为了解决以上两个一致性问题, 我们将系统(1)进行正则性分解.由于(E, A)是正则无脉冲的，由文献[14]可知，存在可逆矩阵P, Q∈R^n×n，使得

$ \mathit{\boldsymbol{PEQ}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{I}}_r}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{PAQ}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1}}&0\\ 0&{{\mathit{\boldsymbol{I}}_{n - r}}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{PB}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}} \end{array}} \right], $

(5)

进行坐标变换,

$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\bar x}}_{1i}^{\rm{T}}}&{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}_{2i}^{\rm{T}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}},i = 1, \cdots ,N, $

(6)

其中：x_1i^T∈R^r, x_2i^T∈R^n-r.由式(5)得到无领导者系统(1)等价于

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}}}_{1i}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}, $

(7)

$ {\bf{0}} = {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2i}} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_2}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i},i = 1, \cdots ,N, $

(8)

而领导者系统(3)等价于

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}}}_{10}} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{10}}, $

(9)

$ {\bf{0}} = {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{20}}. $

(10)

这种分解通常称为快、慢子系统分解，式(7)和(9)为慢子系统，式(8)和(10)为快子系统.通过这种分解，证明无领导者系统和领导者跟随系统的一致性可分别由相应的慢子系统的一致性来得到.

定理1  如果无领导者慢子系统(7)达到一致性, 则无领导者系统(1)也达到一致性.

证明  假设存在一个增益矩阵K₁∈R^m×r，使得

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}\left( t \right)\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1j}} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}} \right)} ,i = 1, \cdots ,N, $

(11)

解决无领导者系统(7)的一致性问题，由定义1，我们有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1j}}, {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}} \right) = {\bf{0}}$.则$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = {\bf{0}}$.由式(8)得到$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2i}} = {\bf{0}}$，i=1, …, N.由变换(6)，$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i}, {\mathit{\boldsymbol{x}}_j}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \mathit{\boldsymbol{Q}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1j}}}&{{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2j}}}&{{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2i}}} \end{array}} \right] = {\bf{0}}$.

由式(2)可得，系统(1)的一致性问题也得以解决.

定理2  如果无领导者慢子系统(7)和领导者慢子系统(9)的领导者跟随一致性问题得以解决，则系统(3)和系统(1)的领导者跟随一致性问题也得以解决.

证明  假设存在一个增益矩阵K₁∈R^m×r，使得u_i=${\mathit{\boldsymbol{K}}_1}\sum\limits_{j = 0}^N {{a_{ij}}\left( t \right)} \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1j}}, {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}} \right)$，i=1, …, N，解决无领导者慢子系统(7)和领导者慢子系统(9)的领导者跟随一致性问题，由定义2，有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}, {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{10}}} \right) = {\bf{0}}$.则$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = {\bf{0}}$.由式(8)得到$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2i}} = {\bf{0}}$，i=0, 1, …, N.由变换(6)得$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{\mathit{\boldsymbol{x}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{x}}_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \mathit{\boldsymbol{Q}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{1i}}}&{{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{10}}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{2i}}}&{{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_{20}}} \end{array}} \right] = {\bf{0}}$.

取K=[K₁ 0]Q^-1，所以系统(3)和(1)的领导者跟随一致性问题也得以解决.

要解决无领导者系统(1)的一致性问题，只需讨论无领导者慢子系统(7)的一致性问题，而系统(7)是一个一般的线性多自主体系统，研究其一致性问题就简单得多.这里考虑关于慢子系统(7)的线性切换系统

$ \mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}}\left( t \right) = \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_N} \otimes {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{F}}_{\sigma \left( t \right)}} \otimes \left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}\mathit{\boldsymbol{B}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)} \right)\mathit{\boldsymbol{\bar x}}\left( t \right),\sigma \left( t \right) \in P, $

(12)

其中：X是正定矩阵；x(t)∈R^r; A₁、B₁如式(5)中定义一样；I_N∈R^N×N是单位矩阵；σ(t):[0, +∞)→P={1, 2, …, ρ}, ρ≥1，是右连续的分段常值的切换信号，切换瞬时{t_i:i=0, 1, …}满足对任意i≥1和正常数τ，都有t_i-t_i-1≥τ，且对所有的t≥0；F_σ(t)∈R^N×N是半正定的矩阵.

假设1  (A₁, B₁)能控, 令X是一个正定矩阵，满足不等式

$ \mathit{\boldsymbol{A}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{X}} + \mathit{\boldsymbol{X}}{\mathit{\boldsymbol{A}}_1} < 0. $

(13)

假设2  动态图G_σ(t)是无向图，∀t≥0.

假设3  存在{i:i=0, 1, …}的子序列{i_k}，t_ik+1-t_ik＜v, v＞0，使得连接图G([t_ik, t_ik+1))是连通的.

在假设2下，图G_σ(t)的拉普拉斯矩阵L_σ(t)是对称半正定的，∀t≥0.若一个动态图满足假设3，就称图在[0, ∞)上是一致连通的，或者称在[t_ik, t_ik+1)上是共连通的.

注意到$- \sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}}- 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}} $是一个行和为零的Metzler矩阵，关于$- \sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}} $的图是连接图∪_q=ik^i_k+1-1G_σ(tq)=G([t_ik, t_ik+1)).因此，在假设2下，矩阵$ \sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}}- 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}} $是半正定的.在假设3下，矩阵$ \sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}}- 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}} $恰好有一个零特征值，且零空间是span{1_N}.

引理1^[8]  考虑系统(12)，在假设1下，X是满足式(13)的正定矩阵.σ(t)是驻留时间为τ的分段常值切换信号，对任意的t≥0，F_σ(t)是对称半正定的矩阵，则

1) 如果系统(12)的解x(t)满足性质：如果存在{i:i=0, 1, …}的一个子序列i_k，t_ik+1-t_ik＜v, v＞0，使得x(t_ik)与矩阵($ \sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\sigma \left(t\right)}}} $)⊗I_n的零空间正交，则$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mathit{\boldsymbol{\bar x}}_i} = {\bf{0}}$.

2) 如果存在{i:i=0, 1, …}的一个子序列i_k，t_ik+1-t_ik＜v, v＞0，使得矩阵($\sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{\sigma \left( t\right)}}}$)是非奇异的，则系统(12)的原点是渐近稳定的.

定理3  如果假设1~3成立，则系统(1)在控制协议(2)下达到一致性.

证明  设式(11)的增益矩阵为K₁=B₁^TX，系统(7)的第i个自主体的闭环系统为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}}}_i}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_1}\mathit{\boldsymbol{B}}_1^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{X}}\sum\limits_{j = 1}^N {{a_{ij}}\left( t \right)\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_j} - {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}} \right)} . $

(14)

令x_c(t)=(x₁(t)+x₂(t)+…+x_N(t))/N，x_c(t)称在t时刻所有自主体的中心.图是无向图，得

$ {{\dot x}_c}\left( t \right) = \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\mathit{\boldsymbol{\dot {\bar x}}}}_i}\left( t \right)} } \right)/N = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}\left( {\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}\left( t \right)} } \right)/N} \right) = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1}{\mathit{\boldsymbol{x}}_c}\left( t \right), $

(15)

将x_i(t)分解为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}\left( t \right) = {\mathit{\boldsymbol{x}}_c}\left( t \right) + {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}\left( t \right),i = 1, \cdots ,N, $

(16)

则

$ \mathit{\boldsymbol{\bar x}}\left( t \right) = {{\bf{1}}_N} \otimes {\mathit{\boldsymbol{x}}_c}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{\omega }}\left( t \right), $

(17)

其中x(t)=[x₁(t)^T, x₂(t)^T, …, x_N(t)^T]^T，且ω(t)=[ω₁(t)^T, ω₂(t)^T, …, ω_N(t)^T]^T.由式(14)、(15)和(17)得向量ω(t)满足$\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}\left( t \right)$=(I_N⊗A₁-L_σ(t)⊗(B₁B₁^TX))ω(t)，具有与系统(12)同样的形式，只不过这里F_σ(t)=L_σ(t).因为$\sum\limits_{i = 1}^N {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}\left( t \right)} = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}\left( t \right)} - N{\mathit{\boldsymbol{x}}_c}\left( t \right)$，对任意的t≥0，ω(t)与span{1_N⊗I_n}正交.由定理2可知，$\sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}}$的零空间是span{1_N}，所以($\sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}}$)⊗I_n的零空间是span{1_N⊗I_n}.因此，ω(t_ik)与($\sum\limits_{q = {i_k}}^{{i_{k + 1}} - 1} {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{\sigma \left( {{t_q}} \right)}}}$)⊗I_n的零空间正交.那么由引理1得$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \mathit{\boldsymbol{\omega }}\left( t \right) = {\bf{0}}$.从(16)式可知所有的状态x_i(t)都渐近趋近于x_c(t)，则有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_j}, {{\mathit{\boldsymbol{\bar x}}}_i}} \right) = {\bf{0}}$.即系统(7)在控制协议(11)下达到一致性，根据定理1，取K=[K₁ 0]Q^-1，即系统(1)在控制协议(2)下也达到一致性.

3 仿真结果

例1  考虑无领导者广义多自主体系统(1)，N=4，系统矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{E}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1&{ - 1}\\ { - 1}&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&1&{ - 1}&1\\ 0&0&0&{ - 1} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.2}\\ {0.2}\\ {0.2}\\ {0.2} \end{array}} \right]. $

按(5)式将系统矩阵进行正则性分解，得到PEQ=$ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right]$，PAQ=$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$，PB=$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_2}} \end{array}} \right]$，其中：

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1&1\\ { - 1}&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&1&{ - 1} \end{array}} \right];{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.2}\\ {0.2}\\ {0.2} \end{array}} \right];{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = 0.2;\mathit{\boldsymbol{P}} = {\mathit{\boldsymbol{I}}_4};\mathit{\boldsymbol{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]. $

切换动态图G_σ(t)，由分段常值的切换信号定义

$ \sigma \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 1,\\ 2,\\ 3,\\ 4, \end{array}&\begin{array}{l} 若\;2s \le t < 2s + 0.5,\\ 若\;2s + 0.5 \le t < 2s + 1,\\ 若\;2s + 1 \le t < 2s + 1.5,\\ 若\;2s + 1.5 \le t < 2s + 2, \end{array} \end{array}} \right. $

其中：s=0, 1, 2, …；切换拓扑图G_i=(V_i, ε_i, A_i)，i=1, 2, 3, 4，ε₁={(1, 2), (2, 1)}，ε₂={(2, 3), (3, 2)}，ε₃={(3, 4), (4, 3)}，ε₄={(1, 4), (4, 1)}.没有一个图G_i是连通的，但是对于任意的s=0, 1, …, ∪_{i=2 s}^{2 s+1.5}，G_i是连通的.因此假设2和假设3成立，可以证明假设1也成立.解不等式A₁^TX+XA₁＜0，得到正定解

$ \mathit{\boldsymbol{X}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.309\;0}&{0.075\;7}&{ - 0.200\;8}\\ {0.075\;7}&{0.302\;9}&{0.075\;7}\\ { - 0.200\;8}&{0.075\;7}&{0.309\;0} \end{array}} \right] \times {10^{ - 11}}, $

考虑慢子系统的线性切换(12)，由定理1，控制增益为K₁=B₁^TX=[0.367 7 0.908 7 0.367 7]×10^-12，因此K=[K₁ 0]Q^-1=[0.367 7 0.908 7 0.367 7 0.367 7]×10^-12.

最后得到广义系统的状态与中心的误差趋近于零，即系统最终达到了一致性.

4 结论

本文讨论了一类具有切换拓扑的广义多自主体系统，利用代数拓扑和广义系统理论知识，将广义多自主体系统进行快慢子系统分解，通过研究其慢子系统的性质，即设计了状态反馈控制协议，得到慢子系统的一致性，从而得到广义多自主体系统的一致性问题，包括无领导者一致性问题和领导者跟随一致性问题.