0 引言

形式概念分析是一种从形式背景建立概念格来进行数据分析、知识表示和规则提取的强有力工具。蕴涵是形式概念分析中进行知识表示的基本形式，决策蕴涵^[1-7]是蕴涵在决策情形下的扩展。然而，决策蕴涵并不能够表达所有的决策知识，即存在信息的损失。这是因为决策蕴涵制定了严格的决策规则，只有当条件的所有属性都被满足时，结论的所有属性才能被满足，而忽略了条件和结论的部分或全部属性不被满足的情况下所蕴含的决策知识。属性粒化是形式概念分析中粒计算方法的主要研究内容之一^[8-9]，可以通过逻辑算子“∧”“∨”“¬”将若干属性进行组合，获得逻辑公式，实现功能强大的对象描述能力。为了获取更加丰富的决策知识，本文基于逻辑公式定义了逻辑型决策蕴涵，验证了逻辑型决策蕴涵能够比经典决策蕴涵提供更丰富的决策知识；类似于经典决策蕴涵，对逻辑型决策蕴涵进行了逻辑方面的研究。鉴于利用逻辑型决策蕴涵进行知识推理时会引起矛盾的结论，而矛盾的结论不能为用户提供正确的决策，本文设计了逻辑型决策蕴涵的语义框架，该框架可以过滤掉推导结论中的矛盾。语构方面定义了闭包缩小推理规则，并证明了其相对于语义的合理性和完备性。

1 决策蕴涵

决策蕴涵有逻辑研究和数据研究两种研究方式。决策蕴涵的逻辑研究包括语义和语构两个方面：语义方面研究决策蕴涵的合理性、完备性和无冗余性；语构方面研究推理规则的合理性、完备性和无冗余性。决策蕴涵的数据研究就是决策背景中的决策蕴涵研究。

1.1 决策蕴涵逻辑 1.1.1 决策蕴涵逻辑的语义

定义1^[2]  设C是条件属性集，D是决策属性集，其中C∩D=Ø。若A⊆C且B⊆D，则称A→B是一个决策蕴涵。此时，A为该决策蕴涵的前提，B为该决策蕴涵的结论。

定义2^[2]  设C是条件属性集，D是决策属性集, L和L₁是决策蕴涵集。定义：

1) T⊆C∪D，A→B是决策蕴涵。若A⊈T∩C或B⊆T∩D，则称T满足A→B(或称T是A→B的模型)，记为T╞A→B。若T满足L中的任意一个决策蕴涵，则T是L的模型，记为T╞L。

2) 若对于任意的T⊆C∪D，T╞L蕴含T╞A→B，则称A→B可以从L中语义导出，记为L⊦A→B。若任意的A₁→B₁∈L₁都可以从L中语义导出，则称L₁可以从L中语义导出，记为L⊦L₁。

3) 若L\{A→B}⊬{A→B}，则称L是无冗余的。

4) 若任意可以从L中语义导出的决策蕴涵都包含在L中，则称L是封闭的。

5) 对于封闭的决策蕴涵集L，若L₁⊆L且L₁⊦L，则称L₁相对于L是完备的。

定义3^[2]  设C是条件属性集，L是决策蕴涵集，A⊆C在L上的闭包为

$ {A^L} = \cup \{ {B_i}{\rm{|}}{A_i} \to {B_i} \in L, {A_i} \subseteq A\} $

性质1^[2]  设L是决策蕴涵集，A→B是一个决策蕴涵，则L⊦A→B当且仅当B⊆A^L。

1.1.2 决策蕴涵逻辑的语构

在决策蕴涵逻辑的语构方面，文献[7]提出了两条推理规则，并证明了它们相对于语义的合理性和完备性。

$ 扩增推理规则:\frac{{A \to B, {A_1} \supseteq A, {B_1} \subseteq B}}{{{A_1} \to {B_1}}}。$

$ 合并推理规则:\frac{{A \to B, {A_1} \to {B_1}}}{{A \cup {A_1} \to B \cup {B_1}}}。$

定理1^[2]   扩增推理规则和合并推理规则是合理的，即

1) A→B是一个决策蕴涵，若A₁⊇A且B₁⊆B，则A→B⊦A₁→B₁。

2) A→B和A₁→B₁是决策蕴涵，则{A→B, A₁→B₁}⊦A∪A₁→B∪B₁。

定理2^[2]  扩增推理规则和合并推理规则是完备的，即对任意封闭的决策蕴涵集L及其完备集L₁⊆L，A→B∈L当且仅当A→B可以使用扩增推理规则和合并推理规则从L₁推出。

1.2 决策背景中的决策蕴涵

定义4^[5]  决策背景是一个三元组K=(G, C∪D, I_C∪I_D)，其中G是对象集，C是条件属性集，D是决策属性集，I_C⊆G×C是条件关联关系，I_D⊆G×D是决策关联关系。对于g∈G，m∈C∪D，(g, m)∈I_C或(g, m)∈I_D表示对象g具有属性m。

例1  表 1给出了一个与现实生活相关的决策背景K=(G, C∪D, I_C∪I_D)，其中G={g₁, g₂, g₃, g₄}，C={下雨, 刮风}，D={打伞, 穿雨衣, 打羽毛球}。表中某行与某列的交点处为1表示这个对象含有这个属性。

定义5^[5]  设K=(G, C∪D, I_C∪I_D)为决策背景，对于集合A₁⊆C，A₂⊆D，B⊆G，记

1) A₁^C={g∈G|(g, m)∈I_C, ∀m∈A₁}；

2) A₂^D={g∈G|(g, m)∈I_D, ∀m∈A₂}；

3) B^C={m∈C|(g, m)∈I_C, ∀g∈B}；

4) B^D={m∈D|(g, m)∈I_D, ∀g∈B}。

定义6^[5]   设K=(G, C∪D, I_C∪I_D)为决策背景，A⊆C，B⊆D。若A^C⊆B^D，则称A→B是K的一个决策蕴涵。

2 逻辑型决策蕴涵的语义 2.1 逻辑型决策蕴涵的引入

尽管已经提出了完备的决策蕴涵集，但决策蕴涵仍然存在决策信息的损失，如例2所示。

例2以表 1中的决策背景为例，根据定义6可以计算得到所有的决策蕴涵，即Ø→Ø，{刮风}→Ø，{下雨, 刮风}→Ø, Ø→{打羽毛球}，{下雨}→Ø和{下雨，刮风}→{穿雨衣}，其中只有{下雨, 刮风}→{穿雨衣}是有意义的决策知识。

事实上，表 1还蕴含着其他的决策知识，如“若刮风，则不能打羽毛球”和“若下雨，则打伞或穿雨衣”等，而这些知识并不能被决策蕴涵所表达。这是因为决策蕴涵规定：只有当条件的所有属性都被满足时，结论的所有属性才能被满足，而忽略了条件和结论的部分或全部属性不被满足的情况下所蕴含的决策知识。基于此，将逻辑算子“∧”“∨”和“¬”引入到决策蕴涵中，进而从表 1得到了更多的决策知识，如表 2所示。

决策蕴涵可以看作是只引入了“∧”算子的逻辑型决策蕴涵，因此后者可以蕴含前者的所有决策知识。以表 1的决策蕴涵{下雨，刮风}→{穿雨衣}为例，表 2的“下雨∧刮风→¬打伞∧穿雨衣∧¬打羽毛球”蕴含该知识。

进一步可以验证，与经典决策蕴涵相比，逻辑型决策蕴涵能够提供更丰富的决策知识。以表 1中的决策蕴涵{下雨}→Ø为例，显然，条件“下雨”没有蕴含任何结论。然而，当把逻辑算子“∨”和“¬”引入到决策蕴涵的结论中，从表 1可以看出，该条件事实上蕴含了“打伞或穿雨衣，且不打羽毛球”，即表 2的“下雨→打伞∨穿雨衣∧¬打羽毛球”。

类似地，当把“∨”和“¬”引入到决策蕴涵的条件中，也可以得到更多如“¬下雨∧¬刮风→打羽毛球”和“下雨∨刮风→¬打羽毛球”的决策知识(如表 2所示)。因此，类似于经典决策蕴涵，应该对其进行逻辑研究和数据研究。本文主要进行了逻辑方面的研究。

2.2 逻辑公式

定义7^[10]  C是一个属性集，对于p∈C，称p为C的原子公式。用逻辑连接词“¬”“∧”或“∨”将C的有限个原子公式连接起来的式子叫作C的逻辑公式，简称为逻辑公式。称原子公式p及其否定¬p为文字。φ是C的逻辑公式，记l(φ)为φ中文字的集合。

定义8^[10]  T是一个有限指标集，定义形如$\mathop \vee \limits_{t \in T} {p_t}$的公式为简单析取式，其中p是文字，也可简记为φ^∨。定义形如$\mathop \wedge \limits_{t \in T} {p_t}$的公式为简单合取式，其中p是文字，也可简记为φ^∧。用“∨”将有限个简单合取式连接起来的公式叫作析取范式，表示为$\mathop \vee \limits_{t \in T} \varphi _t^ \wedge $的形式。用“∧”将有限个简单析取式连接起来的公式叫作合取范式，表示为$\mathop \wedge \limits_{t \in T} \varphi _t^ \vee $的形式。对于$\varphi = \mathop \vee \limits_{t \in T} \phi _t^ \wedge $，记$L\left(\varphi \right) = \left\{ {\phi _t^ \wedge |t \in T} \right\}$；对于$\varphi = \mathop \wedge \limits_{t \in T} \phi _t^ \vee $，记$L\left(\varphi \right) = \left\{ {\phi _t^ \vee |t \in T} \right\}$。

2.3 逻辑公式的模型及其偏序

定义9  C是一个属性集，φ和ψ是C的逻辑公式，T⊆C。对于φ=a，若a∈T，称T满足φ。若T满足φ和ψ，称T满足φ∧ψ；若T满足φ或ψ，称T满足φ∨ψ。若T不满足φ，称T满足¬φ；若T满足φ，称T是φ的模型，记作T▷φ。φ的所有模型记为M(φ)。

若M(φ)=Ø，称φ是矛盾的，记φ=0。若l(φ)=Ø，记φ=null，且任意的T⊆C有T▷φ。

定义10  C是一个属性集，φ₁和φ₂是C的逻辑公式，且φ₁, φ₂≠0。若M(φ₁)⊆M(φ₂)，称φ₂≤φ₁；若M(φ₁)=M(φ₂)，称φ₂≈φ₁。

性质2  C是一个属性集，φ是C的逻辑公式，有下列结论成立。

1)(范式存在定理^[10]) φ可以通过双重否定律、德摩根律和分配率得到其析取范式和合取范式，将φ的析取范式和合取范式分别记为φ^∧∨和φ^∨∧。

2) φ≈φ^∧∨≈φ^∨∧。

3) φ=0当且仅当对于任意的ϕ^∧∈L(φ^∧∨)，存在a∈C满足{a, ¬a}⊆l(ϕ^∧)。

4) φ₁≠0，φ≤φ₁当且仅当¬φ∧φ₁=0，且当且仅当φ∧¬φ₁=0。

证明  2)的证明过程类似于范式存在定理的证明^[10]，3)显然成立。

下面证明4)。首先证明φ≤φ₁当且仅当¬φ∧φ₁=0。

充分性。因为φ₁≠0，可令T⊆C且T▷φ₁。又因为¬φ∧φ₁=0，显然T⋫¬φ，根据定义9可知T▷φ。综上所述，任意的T▷φ₁，有T▷φ，即φ≤φ₁。

必要性。假设¬φ∧φ₁≠0，此时必存在T⊆C满足T▷φ₁且T▷¬φ，即T▷φ₁且T⋫φ，有M(φ₁)⊈M(φ)，进而根据定义10可知φ≰φ₁，与条件φ≤φ₁矛盾，因此假设错误，进而¬φ∧φ₁=0。

类似可证明φ≤φ₁当且仅当¬φ∧φ₁=0。

2.4 逻辑型决策蕴涵的语义导出

定义11  C是条件属性集，D是决策属性集，φ是C的逻辑公式，ψ是D的逻辑公式。若φ≠0且ψ≠0，则称φ→ψ是逻辑型决策蕴涵。

由于将逻辑算子“¬”引入到了逻辑型决策蕴涵中，因此，在利用它们进行知识推理时会引起矛盾的结论，如例3所示。

例3  给定逻辑型决策蕴涵“¬下雨∧¬刮风→打羽毛球∨跑步”和“天阴→¬打羽毛球”。条件“¬下雨∧¬刮风∧天阴”，同时满足这两条决策蕴涵的条件，根据决策蕴涵的合并推理规则，可以得到结论“打羽毛球∨跑步∧¬打羽毛球”，即“(打羽毛球∧¬打羽毛球)∨(跑步∧¬打羽毛球)”。然而，结论中“打羽毛球∧¬打羽毛球”是矛盾的。因此，需要定义合适的语义来解决这种矛盾。

定义12  C是条件属性集，D是决策属性集，T⊆C∪D，φ→ψ是逻辑型决策蕴涵，L是逻辑型决策蕴涵集。定义：

1) T是φ→ψ的模型，若T∩C⋫φ或T∩D▷ψ，记作T╞φ→ψ。

2) T是L的模型，若任意的φ₁→ψ₁∈L，有T╞φ₁→ψ₁，记作T╞L。

定义13   C是条件属性集，D是决策属性集，φ→ψ是逻辑型决策蕴涵，L和L₁是逻辑型决策蕴涵集。定义：

1) φ→ψ可以从L中语义导出，记作L⊦φ→ψ，若满足下列条件：(a)存在T₁⊆C∪D满足T₁╞L且T₁▷φ；(b)对于任意的T⊆C∪D，T╞L蕴含T╞φ→ψ。

2) L₁可以从L中语义导出，若任意的φ→ψ∈L₁，有L⊦φ→ψ，记作L⊦L₁。

3) 若L⊦L₁且L₁⊦L，则称L和L₁等价。

4) L是无冗余的，若任意的φ→ψ∈L，都有L\{φ₁→φ₂}⊦φ₁→φ₂。

5) L是封闭的，若任意的L⊦φ→ψ，有φ→ψ∈L。进一步，若L₁⊆L且L₁⊦L，称L₁相对于L是完备的。

值得注意的是，一些经典决策蕴涵中的结论并不适用于逻辑型决策蕴涵，如例4所示。

例4  逻辑型决策蕴涵的语义推导不具有传递性，即L⊦L₁且L₁⊦L₂并不意味着L⊦L₂。

令C={下雨, 刮风, 天阴}，D={打羽毛球}，L={¬下雨∧¬刮风→打羽毛球，天阴→¬打羽毛球}，L₁={¬下雨∧¬刮风→打羽毛球}，L₂={¬下雨∧¬刮风∧天阴→打羽毛球}。

可以验证L⊦L₁且L₁⊦L₂。进一步，可以验证不存在T⊆C∪D同时满足T╞L且T▷¬下雨∧¬刮风∧天阴，根据定义13可知L⊬L₂。例4也说明L₁⊦φ→ψ并不意味着L⊦φ→ψ，其中L₁⊆L。

除此之外，φ→ψ∈L并不意味着L⊦φ→ψ。令C={下雨}，D={打伞，穿雨衣}，L={下雨→打伞，下雨→¬打伞∧穿雨衣}，可以验证不存在T⊆C∪D同时满足T╞L且T▷下雨，根据定义13可知L⊬下雨→打伞。

逻辑型决策蕴涵的语义可以过滤掉推导结论中的矛盾，首先定义逻辑公式的协调式。

定义14  D是决策属性集，ψ是D的逻辑公式，称

$ \bar \psi = \vee \left\{ {{\phi ^ \wedge }|{\phi ^ \wedge } \in L\left( {{\psi ^{ \wedge \vee }}} \right), {\phi ^ \wedge } \ne 0} \right\} $

是ψ的协调式。

显然，协调式的结论中不存在矛盾。

性质3  C是条件属性集，D是决策属性集，有下列结论成立。

1) φ→ψ是逻辑型决策蕴涵，φ→ψ和φ→ψ等价。

2) φ→ψ∨¬ψ∨ψ₁是逻辑型决策蕴涵，φ→ψ∨¬ψ∨ψ₁和φ→null等价。

证明  1)因为φ→ψ是逻辑型决策蕴涵，根据定义11可知φ≠0且ψ≠0。首先证明ψ≈ψ。令T⊆D且T▷ψ，因为ψ≈ψ^∧∨，所以T▷ψ^∧∨，进而存在ϕ^∧∈L(ψ^∧∨)有T▷ϕ^∧，显然ϕ^∧≠0；再根据定义14可知ϕ^∧∈L(ψ^∧∨)。又因为T▷ϕ^∧，显然T▷ψ^∧∨，结合ψ^∧∨≈ψ可知T▷ψ。综上所述，任意的T▷ψ有T▷ψ，即ψ≥ψ。同理，可以证明ψ≤ψ，进而ψ≈ψ。再证明φ→ψ⊦φ→ψ，只需证明定义13的1)中(a)和(b)成立。因为φ≠0且ψ≠0，根据定义9可知必存在T₁⊆C和T₂⊆D满足T₁▷φ和T₂▷ψ。令T=T₁∪T₂，显然，T╞φ→ψ且T▷φ，(a)得证。令T⊆C∪D且T╞φ→ψ，假设T▷φ，根据T╞φ→ψ可知T▷ψ；又因为ψ≈ψ，所以T▷ψ。综上所述，若T▷φ，则T▷ψ，即T╞φ→ψ，(b)得证。同理可证φ→ψ⊦φ→ψ，进而φ→ψ和φ→ψ等价。

2) 显然，对于任意的T⊆C∪D，T▷ψ∨¬ψ∨ψ₁且T▷null，即ψ∨¬ψ∨ψ₁≈null。在此基础上，易证φ→ψ∨¬ψ∨ψ₁和φ→null等价。

3 逻辑型决策蕴涵的语构

定义15   C是条件属性集，D是决策属性集，L是逻辑型决策蕴涵集，记L_∨={∨L₁|Ø⊂L₁⊆L}，其中$ \vee {L_1} = \mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1}$，称${\varphi ^{{L_ \vee }}} = \wedge \left\{ {{\psi _1}|{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_ \vee }, {\varphi _1} \le \varphi } \right\}$为φ相对于L的闭包。

本文提出一条关于逻辑型决策蕴涵的推理规则——闭包缩小推理规则：

$ \frac{{L是逻辑型决策蕴涵集, \varphi \ne 0, {\varphi ^{{L_ \vee }}} \ne 0,\psi \le {\varphi ^{{L_ \vee }}}}}{{\varphi \to \psi }}, $

并证明其相对于语义的合理性和完备性。

定理3(合理性)  L是逻辑型决策蕴涵集，若φ≠0，φ^L_∨≠0且ψ≤φ^L_∨，则L⊦φ→ψ。

证明  首先证明L⊦φ→φ^L_∨，只需证明定义13的1)中(a)和(b)成立。首先证明(a)。根据定义15可知

$ {\varphi ^{{L_ \vee }}} = \wedge \{ {\psi _1}|{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_ \vee },{\varphi _1} \le \varphi \} 。$

(1)

因为φ^L_∨≠0，所以存在T₁⊆D满足T₁▷φ^L_∨。令

$ {L_1} = \{ {\varphi _1} \to {\psi _1} \in L|{\varphi _1}≰\varphi ,{T_1}⋫{\psi _1}\} , $

(2)

根据定义15可知$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1} \in {L_ \vee }$。

接着证明$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$≰φ。假设$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$≤φ，因为$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1} \in {L_ \vee }$, $\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1} \le \varphi $且T₁▷φ^L_∨，结合(1)式可知T₁▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1}$。而根据(2)式可知，对于任意的φ₁→ψ₁∈L₁有T₁⋫ψ₁，进而T₁⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1}$，与T₁▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\psi _1}$矛盾。因此，假设$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1} \le \varphi $错误，进而$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$≰φ；此时，M(φ)⊈M($\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$)。又因为φ≠0，进而存在T₂⊆C满足T₂▷φ且T₂⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$，即$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$≰φ。

令T=T₂∪T₁，因为T₂▷φ，所以T▷φ，下面证明T╞L。对于任意的φ₂→ψ₂∈L，假设T₂▷φ₂，共有两种情况：① φ₂≤φ。因为φ₂→ψ₂∈L，显然φ₂→ψ₂∈L_∨。又因为T₁▷φ^L_∨且φ₂≤φ，结合(1)式可知T₁▷ψ₂。② φ₂≰φ。假设T₁⋫ψ₂, 此时，根据(2)式可知φ₂→ψ₂∈L₁。又因为T₂⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _1} \to {\psi _1} \in {L_1}} {\varphi _1}$，所以T₂⋫φ₂，与T₂▷φ₂矛盾，所以假设T₁⋫ψ₂错误，进而T₁▷ψ₂。综合①和②的结论，对于任意的φ₂→ψ₂∈L，若T₂=T∩C▷φ₂，则T₁=T∩D▷ψ₂，即T╞φ₂→ψ₂，进而T╞L。

继续证明(b)。令T⊆C∪D且T╞L，为了证明(b)，只需证明T╞φ→φ^L_∨。假设T▷φ，对于任意的φ₁→ψ₁∈L_∨，根据定义15可知必存在Ø⊂L₁⊆L，使得

$ \mathop \vee \limits_{{\varphi _2} \to {\psi _2} \in {L_1}} {\varphi _2} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _2} \to {\psi _2} \in {L_1}} {\psi _2} = {\varphi _1} \to {\psi _1}。$

(3)

假设φ₁≤φ，因为T▷φ，所以T▷φ₁，根据(3)式可知T▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _2} \to {\psi _2} \in {L_1}} {\varphi _2}$。此时，必存在φ₃→ψ₃∈L₁⊆L使得T▷φ₃。因为T╞L且φ₃→ψ₃∈L，所以T╞φ₃→ψ₃，再结合T▷φ₃可得到T▷ψ₃。又因为φ₃→ψ₃∈L₁，所以T▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _2} \to {\psi _2} \in {L_1}} {\psi _2}$，根据(3)式可知T▷ψ₁。综上所述，对于任意的φ₁→ψ₁∈L_∨，若φ₁≤φ，则T▷ψ₁，进而T▷∧{ψ₁|φ₁→ψ₁∈L_∨, φ₁≤φ}=φ^L，即T▷φ^L_∨。

综上所述，若T▷φ，则T▷φ^L_∨，进而T╞φ→φ^L_∨。

最后证明L⊦φ→ψ，只需证明定义13的1)中(a)和(b)成立。因为L⊦φ→φ^L_∨，显然(a)成立。对于任意的T⊆C∪D，T╞L蕴含T╞φ→φ^L_∨。令T⊆C∪D且T╞L，此时T╞φ→φ^L_∨。假设T▷φ，因为T╞φ→φ^L_∨，由定义12可知T▷φ^L_∨；又因为ψ≤φ^L_∨，所以T▷ψ，进而T╞φ→ψ，(b)成立。

定理4(完备性)  闭包缩小推理规则是完备的，即对于封闭的逻辑型决策蕴涵集L，若L₁⊆L且L₁⊦L，则任意可以从L导出的逻辑型决策蕴涵φ→ψ都可以运用闭包缩小推理规则从L₁导出。

证明  首先证明φ^L_∨≠0。因为L⊦φ→ψ，根据定义13可知，存在T╞L满足T▷φ。对于任意的φ₁→ψ₁∈L_∨，根据定义15可知必存在Ø⊂L₁⊆L，使得

$ \mathop \vee \limits_{{\varphi _i} \to {\psi _i} \in {L_1}} {\varphi _i} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _i} \to {\psi _i} \in {L_1}} {\psi _i} = {\varphi _1} \to {\psi _1}。$

(4)

假设φ₁≤φ，因为T▷φ，所以T▷φ₁，由(4)式可知T▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _i} \to {\psi _i} \in {L_1}} {\varphi _i}$，进而存在φ_j→ψ_j∈L₁⊆L，使得T▷φ_j。因为T╞L且φ_j→ψ_j∈L，所以T╞φ_j→ψ_j，再结合T▷φ_j可知T▷ψ_j。又因为φ_j→ψ_j∈L₁，所以T▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _i} \to {\psi _i} \in {L_1}} {\psi _i}$，再根据(4)式可知T▷ψ₁。综上所述，对于任意的φ₁→ψ₁∈L_∨，若φ₁≤φ，则T▷ψ₁，进而T▷∧{ψ₁|φ₁→ψ₁∈L_∨, φ₁≤φ}=φ^L，即T▷φ^L_∨，进而φ^L_∨≠0。

再证明ψ≤φ^L_∨。因为φ^L_∨≠0，可令T₁⊆D且T₁▷φ^L_∨，再令

$ {L_1} = \{ {\varphi _k} \to {\psi _k} \in L|{\varphi _k}≰\varphi ,{T_1}⋫{\psi _k}\} , $

(5)

根据定义15可知$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\psi _k} \in {L_ \vee }$。

假设$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$≤φ，因为$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k} \to \mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\psi _k} \in {L_ \vee }$，$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$≤φ且T₁▷φ^L_∨，结合定义15可知T₁▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\psi _k}$。而根据(5)式可知, 对于任意的φ_k→ψ_k∈L₁有T₁⋫ψ_k，进而T₁⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\psi _k}$，与T₁▷$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\psi _k}$矛盾。因此，假设$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$≤φ错误，进而$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$≰φ，即M(φ)⊈M($\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$)。此时，必存在T₂⊆C满足T₂▷φ且T₂⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$，即$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$≰φ。

令T=T₂∪T₁，因为T₂▷φ，所以T▷φ，下面证明T╞L。对于任意的φ_p→ψ_p∈L，假设T₂▷φ_p，共有两种情况：① φ_p≤φ。因为φ_p→ψ_p∈L，显然φ_p→ψ_p∈L_∨。又因为T₁▷φ^L_∨且φ_p≤φ，再根据定义15可知T₁▷ψ_p。② φ_p≰φ。假设T₁⋫ψ_p, 此时，根据(5)式可知φ_p→ψ_p∈L₁。又因为T₂⋫$\mathop \vee \limits_{{\varphi _k} \to {\psi _k} \in {L_1}} {\varphi _k}$，显然T₂⋫φ_p，与T₂▷φ_p矛盾，所以假设T₁⋫ψ_p错误，进而T₁▷ψ_p。综合①和②的结论，对于任意的φ_p→ψ_p∈L，若T₂=T∩C▷φ_p，则T₁=T∩D▷ψ_p，即T╞φ_p→ψ_p，进而T╞L。

因为L⊦φ→ψ且T╞L，所以T╞φ→ψ。又因为T₂=T∩C▷φ，所以T∩D=T₁▷ψ，即T₁▷ψ。综上所述，对于任意的T₁⊆D，若T₁▷φ^L_∨，则T₁▷ψ，即ψ≤φ^L_∨。

已经证明φ^L_∨≠0且ψ≤φ^L_∨。又因为φ→ψ是逻辑型决策蕴涵，所以φ≠0。此时，根据定理3可知，运用闭包缩小规则，可以从L得到φ→ψ。

4 小结

属性逻辑是形式概念分析中重要的研究内容，决策蕴涵是蕴涵在决策情形下的扩展。与决策蕴涵相比，逻辑型决策蕴涵能够提供更丰富的决策知识。本文定义了逻辑型决策蕴涵的语义框架，该框架可以过滤掉利用逻辑型决策蕴涵进行知识推理时产生的矛盾的结论；语构方面提出了闭包缩小推理规则，并证明了其相对于语义的合理性和完备性。逻辑型决策蕴涵的数据研究，即决策背景上的逻辑型决策蕴涵，将是下一步研究的重点。