0 引言

代数幺半群理论主要是由Putcha和Renner在近三十多年来系统的建立和发展起来的一个重要且独立的数学分支^[1-2].一个线性代数幺半群是指一个具有含幺半群结构，且乘法映射是代数簇之态射的仿射代数簇.文献[3]证明了一个线性代数幺半群的核(即极小理想)一定存在.文献[4-6]系统地研究了核的结构问题.文献[7]利用代数幺半群中非单位元部分的信息来研究这个代数幺半群的单位群的结构信息，得到了单位群可解的充分必要条件及Weyl群的结构刻画.文献[8]针对带零元素的不可约代数幺半群，利用幂等元的左(或右)中心化子构造了一类可解代数子群.对于有限群，文献[9]将子群的θ-完备的条件互相结合, 研究了有限群的可解性.

为了进一步探索代数幺半群中极大子群的可解性，需深入研究相应的Weyl群的阶的刻画.本文在文献[7]的思想基础上，利用半群理论的格林关系及幂等元的权重，研究了代数闭域上的不可约线性代数幺半群中核的极大子群的可解性对整体结构的影响，给出了线性代数Weyl群的阶的特征刻画.所得结论对文献[8]中相应定理进行了推广.

1 预备知识

本文所讨论的代数幺半群均是在代数闭域上的不可约线性代数幺半群.令K为一个固定的代数闭域，若n为一个正整数，则M_n(K)表示在K上的所有n×n矩阵全体，GL_n(K)表示在K上的所有n×n可逆矩阵全体.若X是一个集合，则|X|表示集合X中元素的个数.令M为K上的一个不可约线性代数幺半群，E(M)表示M中的所有幂等元构成的集合.若e, f∈E(M)，e≠f，有ef=fe=e，则记e < f.E(M)的子集{e₁ < e₂ < … < e_k}，称为E(M)中的一条链.若E(M)中的一条链不包含在其他链中，称它为E(M)的一条极大链.若$X \subseteq M, \bar X $表示X在M中的Zariski闭包.

给定E(M)的一条链Γ，那么对于任意的e∈Γ，令

$ C_X^r\left( e \right) = \left\{ {x \in X\left| {xe = exe} \right.} \right\},C_X^l\left( e \right) = \left\{ {x \in X\left| {ex = exe} \right.} \right\},{C_X}\left( e \right) = C_X^r\left( e \right) \cap C_X^l\left( e \right). $

进而令C_X^r(Γ)=∩_e∈ΓC_X^r(e)，C_X^l(Γ)=∩_e∈ΓC_X^l(e)，C_X(Γ)=C_X^r(Γ)∩C_X^l(Γ).

若N为M的代数子幺半群，N^c表示N的单位分支，G(N)表示N的单位群.令G=G(M)表示M的单位群，则：

$ G_e^r = {\left\{ {a \in G\left| {ae = e} \right.} \right\}^c},G_e^l = {\left\{ {a \in G\left| {ea = e} \right.} \right\}^c},{G_e} = G_e^r \cap G_e^l. $

令T为G中一极大环面，W(G)=N_G(T)/C_G(T)表示G的Weyl群.W(G)是一个有限群，并且G是可解群，当且仅当|W(G)|=1.若e∈E(M)，用J_e表示在格林关系下关于e在M中的J-类，称|J_e∩E($\bar T$)|为e在M中的权重，记为w_M(e).令H_e表示M中包含e的极大子群，那么H_e就是eMe的单位群.M作为半群有一个最小理想，称为M的核，记作Ker(M).若e∈E(Ker(M))，则称e为M中的极小幂等元，那么H_e=eMe.

以下为本文证明中需用到的基本引理.

引理1^[1]   设M是一个带0的不可约代数幺半群，其单位群为G，T为G的极大环面.那么T的维数等于E($\bar T$)中极大链的长度.

引理2^[1]  设φ：G→G′是一个不可约代数群的满同态，N=(Ker(φ))^c.那么

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = \left| {W\left( N \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {G'} \right)} \right|. $

引理3^[1]  设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，T是G中的一个极大环面，那么对于任意的e∈E(M)，有

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = \left| {{w_M}\left( e \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {{C_G}\left( e \right)} \right)} \right|. $

引理4  设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，Γ是E(M)的一条极大链，Γ′=Γ\{1}，e为Γ′中的极大元.那么:

$ \left| {W\left( {C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^r\left( {\mathit{\Gamma '}} \right)} \right)} \right|, $

$ \left| {W\left( {C_G^l\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^l\left( {\mathit{\Gamma '}} \right)} \right)} \right|. $

证明  由对称性，只需证C_G^r(Γ)的情况.定义

$ \varphi :C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right) \to {H_e}:x \mapsto xe. $

显然φ是一个不可约代数群同态.现在证明φ(C_G^r(Γ))=C_He^r(Γ′).事实上，对于任意的x∈C_G^r(Γ)，有φ(x)=xe=exe∈H_e.对于任意的f∈Γ′，(xe)f=xf=fxf=f(xe)f.因此x∈C_He^r(Γ′).

另一方面，对于任意的y∈C_He^r(Γ′)，y∈H_e，并且对于所有的h∈Γ′，都有yh=hyh.由于H_e=C_G^r(e)e，存在a∈C_G^r(e)，使得y=ae.因此(ae)h=h(ae)h，从而ah=hah，得到a∈C_G^r(Γ).所以，y=ae∈φ(C_G^r(Γ)).进而，φ(C_G^r(Γ))=C_He^r(Γ′).显然，

$ Ker\left( \varphi \right) = \left\{ {x \in C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)\left| {xe = e} \right.} \right\} = \left\{ {x \in G\left| {xe = e} \right.} \right\}. $

则(Ker(φ))^c=G_e^r.下面证明G_e^r是可解的，从而|W(G_e^r)|=1.令M₁= $ \overline {G_e^r} $，T₁为G_e^r的一个极大环面.则E(${{\bar T}_1} $)={1, e}，e是${{\bar T}_1} $中的零元素.因此根据引理1，得dim T₁=1.不妨设M₁是某一个M_n(K)中的闭子幺半群.那么对于任意的a∈G₂=(G_e^r, G_e^r)，det(a)=1.从而G₂在M₁中是闭的.由e∈ ${{\bar T}_1}$ ，得T₁ $ \not\subset $ G₂.因此G₂一定是一个幂幺群，进而也是可解的.这就证明了G_e^r是可解的.因此由引理2得

$ \left| {W\left( {C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^r\left( {\mathit{\Gamma '}} \right)} \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {C_G^r} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^r\left( {\mathit{\Gamma '}} \right)} \right)} \right|. $

2 极大子群中Weyl群的阶关系

定理1   设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，Γ是E(M)中的一条极大链.对于任意的e∈E(M)，Γ_e为E(eMe)的一条极大链.那么

$ \left| {W\left( {C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^r\left( {{\mathit{\Gamma }_e}} \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{H_e}}^l\left( {{\mathit{\Gamma }_e}} \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_G^l\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right|. $

特别地，

$ \left| {W\left( {C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_G^l\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {{H_f}} \right)} \right|, $

其中f为M的任意极小幂等元.

证明  令Γ={e_m < e_m-1 < … < e₁ < e₀}，H_ei为在M中包含e_i的极大子群，H′_ei为在e_i-1Me_i-1中包含e_i的极大子群，i=1, …, m.由于H′_ei=G(e_ie_i-1Me_i-1e_i)=G(e_iMe_i)，得到H_ei=H′_ei.

令M_i=e_iMe_i，G_i=G(M_i)=H_ei，Γ_i={e_m < e_m-1 < … < e_i}，i=1, …, m.重复运用引理4得

$ \left| {W\left( {C_G^r\left( \mathit{\Gamma } \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {C_{{G_1}}^r\left( {{\mathit{\Gamma }_1}} \right)} \right)} \right| = \cdots = \left| {W\left( {C_{{G_m}}^r\left( {{\mathit{e}_m}} \right)} \right)} \right|. $

由于e_m是M的极小幂等元，有e_mMe_m=G_m=H_em，从而

$ C_{{G_m}}^r\left( {{\mathit{e}_m}} \right) = \left\{ {x \in {e_m}M{e_m}\left| {x{e_m} = {e_m}x{e_m}} \right.} \right\} = {e_m}M{e_m} = {H_{{e_m}}}. $

因此|W(C_G^r(Γ))|=|W(H_em)|.

对于M中任意的极小幂等元f，存在x∈G，使得f=xe_mx^-1，易证H_f=xH_emx^-1，所以|W(H_f)|=|W(H_em)=W(C_G^r(Γ))|.对C_G^l(Γ)同理可证|W(C_G^l(Γ))|=|W(H_f)|.因此，|W(C_G^r(Γ))|=|W(C_G^l(Γ))|=|W(H_f)|.定理证毕.

根据定理1，可以直接得到下面的推论.

推论1   设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群.那么对于E(M)中任意一条极大链Γ，以下条件等价：

(1) C_G^r(Γ)是可解的.

(2) C_G^l(Γ)是可解的.

(3) C_He^r(Γ_e)是可解的，其中e∈E(M)，Γ_e为E(eMe)的一条极大链.

(4) C^l_He(Γ_e)是可解的，其中e∈E(M)，Γ_e为E(eMe)的一条极大链.

(5) H_f是可解的，其中f是M中的一个极小幂等元.

下面，我们利用幂等元的权重，给出了代数幺半群M中单位群G的Weyl群阶的刻画.

定理2   设M为一个不可约代数幺半群，G为它的单位群，T是G中的一个极大环面.令Γ={e_m < e_m-1 < … < e₁ < 1}为E(M)中的一条极大链.那么

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = {w_M}\left( {{e_1}} \right) \cdot {w_{{e_1}M{e_1}}}\left( {{e_2}} \right) \cdot \; \cdots \; \cdot {w_{{e_{m - 1}}M{e_{m - 1}}}}\left( {{e_m}} \right) \cdot \left| {W\left( {{H_{{e_m}}}} \right)} \right|, $

其中：w_eiMei(e_i+1)为幂等元e_i+1在幺半群e_iMe_i中的权重.特别地，若M含有零元素，则

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = {w_M}\left( {{e_1}} \right) \cdot {w_{{e_1}M{e_1}}}\left( {{e_2}} \right) \cdot \; \cdots \; \cdot {w_{{e_{m - 1}}M{e_{m - 1}}}}\left( {{e_m}} \right). $

证明  对于幂等元e₁，构造映射φ：C_G(e₁)→H_e1，a $ \mapsto $ ae₁=e₁a.它是一个满的代数群同态，且Ker(φ)^c=G_e1.由引理2，得|W(C_G(e₁))|=|W(H_e1)|·|W(G_e1)|.类似于引理4的证明，下面证明G_e1是可解的，从而|W(G_e1)|=1.令M₁= $\overline {{G_{{e_1}}}} $，T₁为G_e1的一个极大环面.则E(${{\bar T}_1} $)={1, e₁}，e₁是${{\bar T}_1} $中的零元素.因此根据引理1，得dim T₁=1.不妨设M₁是某一个M_n(K)中的闭子幺半群.那么对于任意的a∈G₂=(G_e1, G_e1)，det(a)=1.从而G₂在M₁中是闭的.由e₁∈ ${{\bar T}_1} $，得T₁$ \not\subset $G₂.因此G₂只能是一个幂幺群，进而也是可解的.这就证明了G_e1是可解的.因此得到

$ \left| {W\left( {{C_G}\left( {{\mathit{e}_1}} \right)} \right)} \right| = \left| {W\left( {{H_{{e_1}}}} \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {{G_{{e_1}}}} \right)} \right| = \left| {W\left( {{H_{{e_1}}}} \right)} \right|. $

由引理3，得

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = \left| {{w_M}\left( {{e_1}} \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {{C_G}\left( {{\mathit{e}_1}} \right)} \right)} \right| = \left| {{w_M}\left( {{e_1}} \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {{H_{{e_1}}}} \right)} \right|, $

容易验证，在M与e₁Me₁中包含e₂的极大子群是相等的.因此考虑代数幺半群e₁Me₁，其单位群为H_e1，类似可得

$ \left| {W\left( {{H_{{e_1}}}} \right)} \right| = \left| {{w_{{e_1}M{e_1}}}\left( {{e_2}} \right)} \right| \cdot \left| {W\left( {{H_{{e_2}}}} \right)} \right|. $

重复以上过程，即有结论

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = {w_M}\left( {{e_1}} \right) \cdot {w_{{e_1}M{e_1}}}\left( {{e_2}} \right) \cdot \cdots \; \cdot {w_{{e_{m - 1}}M{e_{m - 1}}}}\left( {{e_m}} \right) \cdot \left| {W\left( {{H_{{e_m}}}} \right)} \right|, $

若M含有零元素0，则e_m=0，W(H_em)={0}.因此，

$ \left| {W\left( G \right)} \right| = {w_M}\left( {{e_1}} \right) \cdot {w_{{e_1}M{e_1}}}\left( {{e_2}} \right) \cdot \cdots \; \cdot {w_{{e_{m - 1}}M{e_{m - 1}}}}\left( {{e_m}} \right). $

例1   令M=M₄(K)，那么G=GL₄(K)为M的单位群，所有的4阶可逆对角矩阵全体构成了G的极大环面.令

$ {\mathit{\boldsymbol{f}}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right),{\mathit{\boldsymbol{f}}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right),{\mathit{\boldsymbol{f}}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right),{\mathit{\boldsymbol{f}}_4} = {\bf{0}}. $

那么Γ={0 < f₃ < f₂ < f₁ < 1}为E(M)的一条极大链，且f_iT为H_fi的极大环面，1≤i≤3.

因此，

$ {J_{{\mathit{\boldsymbol{f}}_1}}} \cap E\left( {\bar T} \right) = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right)} \right\}, $

$ {J_{{\mathit{\boldsymbol{f}}_2}}} \cap E\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_1}\bar T} \right) = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right)} \right\}, $

$ {J_{{\mathit{\boldsymbol{f}}_3}}} \cap E\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_2}\bar T} \right) = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right)} \right\},{J_{{\mathit{\boldsymbol{f}}_4}}} \cap E\left( {{\mathit{\boldsymbol{f}}_3}\bar T} \right) = \left\{ {\bf{0}} \right\}. $

所以|W(G)|=w_M(f₁)·w_f1Mf1(f₂)·w_f2Mf2(f₃)·w_f3Mf3(f₄)=4×3×2×1=24.