0 引言

灰色关联分析理论以研究“小样本，贫信息”的数据系列相关性大小为主要内容，为不确定性系统的建模、评价与决策提供了有利工具.传统灰色关联分析模型是依据比较序列与参考序列的曲线几何相似程度进行度量的.事实上，关联度大小不仅与曲线相似程度密切相关，也与曲线之间的接近程度紧密联系.目前，不同学者从几何、积分、分数阶导数、插值等不同角度定义了多种不同的改进型灰色关联分析模型^[1-7].文献[1]构建了绝对灰色关联度, 该模型满足偶对称性, 且计算相对简便.文献[2]基于数据序列相似性与相近性视角构建了新型灰色关联分析模型，但该模型对于走势不一致的两组数据会出现灰色关联度为1的情况.文献[3]指出关联度取值随分辨系数变化而变化，从而造成关联度取值唯一性不满足或关联度不满足对称性等问题.文献[4]利用光滑性与逼近效果较好的三次样条插值函数逼近序列数据改进了灰色绝对关联度, 提高了逼近精度.文献[5]利用梯形求积法建立了序列数据折线面积基础上的灰色预测模型.文献[6]采用Caputo型分数阶导数的记忆性改进灰色预测模型.文献[7]提出了基于改进灰色关联度模型的综合一致性检验方法.这些工作都促进了灰色系统理论的发展.

灰色相似关联度与接近关联度是建立在两组序列数据所围图形面积基础之上的^{[2, 8]}，但当两组序列数据存在振荡情况时表现的并不准确，当一组序列数据在另一组序列数据之上与之下的面积相等时，关联度为1.本文将利用分段二次Lagrange插值完成对序列数据的逼近，通过引入绝对值表示所围面积的改进型灰色相似关联度与灰色接近关联度模型.结合微元法与梯形法的计算，客观地反映序列数据的相似性与接近性.

1 灰色相似关联度与接近关联度的改进 1.1 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的定义与计算

定义1^[2]  设系统第i组与第j组序列数据为X_i=(x_i(1), x_i(2), …, x_i(n)), X_j=(x_j(1), x_j(2), …, x_j(n))，它们的始点零化像分别为X_i⁰=(x_i⁰(1), x_i⁰(2), …, x_i⁰(n))，X_j⁰=(x_j⁰(1), x_j⁰(2), …, x_j⁰(n))，其中：i, j表示序列标号；x_i⁰(k)=x_i(k)-x_i(1), x_j⁰(k)=x_j(k)-x_j(1)，k=1, 2, …, n，且n≥3.

定义2  设f_i(t)是第i组序列数据X_i的逼近函数, f_j(t)是第j组序列数据X_j的逼近函数, t∈[1, n]，f_i(t)与f_j(t)的始点零化像分别为f_i⁰(t)与f_j⁰(t)，其中：f_i⁰(t)=f_i(t)-f_i(1)，f_j⁰(t)=f_j(t)-f_j(1)，f_i(t)与f_j(t)可以采用拟合或插值的方法对原始序列数据进行逼近.

当使用分段线性Lagrange插值逼近原始序列数据时会出现光滑性较差, 且精度不高的问题, 而三次样条插值又相对较复杂, 故为了简化计算, 提高计算精度, 下面采用分段二次Lagrange插值.

定义3^[9]  对于如定义1所给的第i组序列数据X_i，任取相邻节点k-1, k, k+1，以[k-1, k+1]作为插值区间构造分段二次Lagrange插值函数，

$ {f_{ik}}\left( t \right) = {x_i}\left( {k - 1} \right){l_{k - 1}}\left( t \right) + {x_i}\left( k \right){l_k}\left( t \right) + {x_i}\left( {k + 1} \right){l_{k + 1}}\left( t \right), $

其中：$ {l_{k-1}}\left( t \right) = \frac{{\left( {t-k} \right)\left( {t-k - 1} \right)}}{2};{l_k}\left( t \right) = $$ - \left( {t - k + 1} \right)\left( {t - k - 1} \right);{l_{k + 1}}\left( t \right) = \frac{{\left( {t - k + 1} \right)\left( {t - k} \right)}}{2}, k = 2, 4, 6, \cdots, n$, 且n≥3.

根据定义3整理出序列数据X_i, X_j的分段二次Lagrange插值函数的整体形式.

当n≥3, 且n=2g+1, g∈Z⁺时,

$ {f_i}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 2}^{2g} {{\mathit{\delta }_k}} {f_{ik}}\left( t \right);{f_i}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 2}^{2g} {{\mathit{\delta }_k}} {f_{ik}}\left( t \right);{\mathit{\delta }_k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1, }&{t \in \left[{k-1, k + 1} \right]}\\ {0, }&{t \notin \left[{k-1, k + 1} \right]} \end{array}} \right.. $

(1)

当n≥4, 且n=2g, g∈Z⁺时,

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{f_i}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 2}^{2g - 2} {{\mathit{\delta }_k}} {f_{ik}}\left( t \right) + \mathit{\delta }{f_i}_{\left( {2g - 1} \right)}\left( t \right);{f_j}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 2}^{2g - 2} {{\mathit{\delta }_k}} {f_{jk}}\left( t \right) + \mathit{\delta }{f_j}_{\left( {2g - 1} \right)}\left( t \right);}\\ {{\mathit{\delta }_k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1, }&{t \in \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {k-1, }&{k + 1} \end{array}} \right]}\\ {0, }&{t \notin \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {k-1, }&{k + 1} \end{array}} \right]} \end{array}} \right.;\mathit{\delta } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1, }&{t \in \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {n-1, }&n \end{array}} \right]}\\ {0, }&{t \notin \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {n-1, }&n \end{array}} \right]} \end{array}} \right..} \end{array} $

(2)

其中

$ {f_{jk}}\left( t \right) = {x_j}\left( {k - 1} \right){l_{k - 1}}\left( t \right) + {x_j}\left( k \right){l_k}\left( t \right) + {x_j}\left( {k + 1} \right){l_{k + 1}}\left( t \right) $

为X_j在t∈[k-1, k+1]时的分段二次Lagrange插值函数, 插值基函数l_k-1(t), l_k(t), l_k+1(t)定义同上, k=2, 4, 6, …，n, 且n≥3.

在得到分段二次Lagrange插值函数f_i(t)与f_j(t)的基础上, 再按照定义2分别对f_i(t)与f_j(t)进行始点零化像操作后可以获得f_i⁰(t)与f_j⁰(t).

定义4  设$\mathit{\Delta }{s_{ij}}-\int_1^n {|f_i^0\left( t \right)-f_j^0\left( t \right)|{\rm{d}}t}, \mathit{\Delta } {S_{ij}} = \int_1^n {|{f_i}\left( t \right)-{f_j}\left( t \right)|{\rm{d}}t} $，则称

$ {\alpha _{ij}} = \frac{1}{{1 + \mathit{\Delta } {s_{ij}}}} $

(3)

为序列数据X_i与X_j基于面积的灰色相似关联度, 称

$ {\mathit{\beta }_{ij}} = \frac{1}{{1 + \mathit{\Delta }{S_{ij}}}} $

(4)

为序列数据X_i与X_j基于面积的灰色接近关联度.

注：Δs_ij表示f_i⁰(t)与f_j⁰(t)对应曲线与直线t=1, t=n所围图形的面积, ΔS_ij表示f_i(t)与f_j(t)对应曲线与直线t=1, t=n所围图形的面积.

对于量纲相同的两组原始序列数据X_i与X_j，基于面积的灰色相似关联度α_ij可以表征X_i与X_j对应曲线的相似程度, X_i与X_j越相似, f_i(t)与f_j(t)也就越相似, 则f_i⁰(t)与f_j⁰(t)重合的可能性就越大, Δs_ij取值越接近于0, α_ij取值就越接近1.基于面积的灰色接近关联度β_ij可以表征X_i与X_j对应曲线的接近程度, X_i与X_j越接近, f_i(t)与f_j(t)也就越接近, 则ΔS_ij取值越接近于0, β_ij取值就越接近1.构建的基于面积的灰色相似关联度与接近关联度均充分考虑了原始序列数据在始点零化处理之前与之后各自在平面直角坐标系中所围封闭图形的面积大小的差异性.对于定义4中的Δs_ij与ΔS_ij，用两种近似数值计算方法.

1) 微元法

$ \mathit{\Delta }{s_{ij}} = \int_1^n {\left| {f_i^0\left( t \right) - f_j^0\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \sum {\left| {f_i^0\left( t \right) - f_j^0\left( t \right)} \right|} \Delta t, $

(5)

$ \mathit{\Delta }{S_{ij}} = \int_1^n {\left| {{f_i}\left( t \right) - {f_j}\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \sum {\left| {{f_i}\left( t \right) - {f_j}\left( t \right)} \right|} \Delta t, $

(6)

其中Δt为采样步长.

2) 梯形求积法(简称梯形法)

$ \mathit{\Delta }{s_{ij}} = \int_1^n {\left| {f_i^0\left( t \right) - f_j^0\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( n \right) - f_j^0\left( n \right)} \\\right|\Delta t{\rm{ + }}\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\left| {f_i^0\left( {1{\rm{ + }}k\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1{\rm{ + }}k\Delta t} \right)} \right|} \Delta t, $

(7)

$ \begin{array}{l} \mathit{\Delta }{S_{ij}} = \int_1^n {\left| {{f_i}\left( t \right) - {f_j}\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( n \right) - f_j^0\left( n \right)} \right|\Delta t{\rm{ + }}\frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( 1 \right) - f_j^0\left( 1 \right)} \right|\Delta t{\rm{ + }}\\ \sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\left| {f_i^0\left( {1{\rm{ + }}k\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1{\rm{ + }}k\Delta t} \right)} \right|} \Delta t, \end{array} $

(8)

其中:Δt为采样步长, m=(n-1)/Δt.

证明  设X_i与X_j是如定义1所给出的两个不同序列数据, f_i(t)与f_j(t)是对应的分段二次Lagrange插值函数.

a) 当始点零化像f_i⁰恒在f_j⁰的一侧时

$ \mathit{\Delta }{s_{ij}} = \int_1^n {\left| {f_i^0\left( t \right) - f_j^0\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\mathit{\Delta} s_{_{ij}}^k}, $

(9)

其中：Δs_ij^k为第k个小梯形的面积, k=0, 1, …, m；Δt为采样步长; m=(n-1)/Δt.因为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\Delta} s_{ij}^k \approx \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + \mathit{k}\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + k\Delta t} \right)} \right|\Delta t + \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + k\Delta t + \Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + k\Delta t + \Delta t} \right)} \right|\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta t, }f_i^0\left( 1 \right) = {f_i}\left( 1 \right) - {f_i}\left( 1 \right) = 0, f_j^0\left( 1 \right) = {f_j}\left( 1 \right) - {f_j}\left( 1 \right) = 0, } \end{array} $

代入(9) 即得公式(7).同理当f_i(t)恒在f_j(t)的一侧时, 使用梯形求积公式可证明公式(8).

b) 当始点零化像f_i⁰与f_j⁰存在除(1, 0) 外的交点(1+k₀Δt, x)时, 则存在某个k=k₀，使得f_i⁰(1+k₀Δt)=f_j⁰(1+k₀Δt)=x，k=0, 1, …, m，则

$ \mathit{\Delta }{s_{ij}} = \int_1^n {\left| {f_i^0\left( t \right) - f_j^0\left( t \right)} \right|} {\rm{d}}\mathit{t} \approx \sum {\mathit{\Delta} s_{ij}^k} + \mathit{\Delta} s_{ij}^{{k_0} - 1} + \mathit{\Delta} s_{ij}^{{k_0}}, $

(10)

其中:Δs_ij^k为第k个小梯形的面积, k=0, 1, …, m; k≠k₀, k≠k₀-1; m=(n-1)/Δt，Δt为采样步长; Δs_ij^k₀-1, Δs_ij^k₀为三角形面积.因为k≠k₀, k≠k₀-1时,

$ \mathit{\Delta} s_{ij}^k \approx \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + k\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + k\Delta t} \right)} \right|\\\Delta t + \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + k\Delta t + \Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + k\Delta t + \Delta t} \right)} \right|\Delta t, $

又由|f_i⁰(1+k₀Δt)-f_j⁰(1+k₀Δt)|=0，可知

$ \begin{array}{l} \mathit{\Delta} s_{ij}^{{k_0}} = \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + {k_0}\Delta t + \Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + {k_0}\Delta t + \Delta t} \right)} \right|\\\Delta t + \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + {k_0}\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + {k_0}\Delta t} \right)} \right|\Delta t, \\ \mathit{\Delta} s_{ij}^{{k_0} - 1} = \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + {k_0}\Delta t - \Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + {k_0}\Delta t - \Delta t} \right)} \right|\\\Delta t + \frac{1}{2}\left| {f_i^0\left( {1 + {k_0}\Delta t} \right) - f_j^0\left( {1 + {k_0}\Delta t} \right)} \right|\Delta t. \end{array} $

代入式(10) 化简即得公式(7).同理当f_i(t)与f_j(t)存在交点时, 使用梯形求积公式亦可证明公式(8).

1.2 基于面积的灰色相似关联度与接近关联度的相关性质

定理1  基于面积的灰色相似关联度为${\alpha _{ij}} = \frac{1}{{1 + \mathit{\Delta }{s_{ij}}}} $，与基于面积的灰色接近关联度${\beta _{ij}} = \frac{1}{{1 + \mathit{\Delta }{S_{ij}}}} $，都满足邓氏灰色关联公理中的规范性、接近性与偶对称性.

证明  1) 规范性.显然Δs_ij≥0, ΔS_ij≥0，故0 < α_ij≤1, 0 < β_ij≤1，当且仅当Δs_ij=0时，α_ij=1，ΔS_ij=0时，β_ij=1.

2) 接近性.由1) 可知，显然成立.

3) 偶对称性.对于X={X_i, X_j}，显然有f_i⁰(t)-f_j⁰(t)=f_j⁰(t)-f_i⁰(t)，Δs_ij=Δs_ji，f_i(t)-f_j(t)=f_j(t)-f_i(t)，ΔS_ij=ΔS_ji，故α_ij=α_ji，β_ij=β_ji.

定理2  在平面直角坐标系下, 当始点零化像X_i⁰恒在X_j⁰的一侧时, α_ij≈ε_ij，当序列数据X_i恒在X_j的一侧时, β_ij≈ρ_ij.其中ε_ij，ρ_ij分别为文献[2]所定义的灰色相似关联度与灰色接近关联度,

$ {\varepsilon _{ij}} = \frac{1}{{1 + \left| {{s_i} - {s_j}} \right|}};{s_i} - {s_j} = \int_1^n {\left( {x_t^0\left( t \right) - x_j^0\left( t \right)} \right)} {\rm{d}}\mathit{t, } $

(11)

$ {\rho _{ij}} = \frac{1}{{1 + \left| {{S_i} - {S_j}} \right|}};{S_i} - {S_j} = \int_1^n {\left( {{x_i}\left( t \right) - {x_j}\left( t \right)} \right)} {\rm{d}}\mathit{t}\mathit{.} $

(12)

证明  当始点零化像X_i⁰恒在X_j⁰的一侧时, 因$ |{s_i}-{s_j}| = |\int_1^n {\left( {x_i^0\left( t \right)-x_j^0\left( t \right)} \right){\rm{d}}t| = } \int_1^n {\left| {x_i^0\left( t \right)-x_j^0\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t \approx \mathit{\Delta }} {s_{ij}}$，故α_ij≈ε_ij.当序列数据X_i恒在X_j的一侧时, 因$|{S_i}-{S_j}| = |\int_1^n {\left( {{x_i}\left( t \right)-{x_j}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t| = } \int_1^n {\left| {{x_i}\left( t \right)-{x_j}\left( t \right)} \right|{\rm{d}}t \approx \mathit{\Delta }} {S_{ij}} $，故β_ij≈ρ_ij.当始点零化像X_i⁰不恒在X_j⁰的一侧时, α_ij≠ε_ij, 当序列数据X_i不恒在X_j的一侧时, β_ij≠ρ_ij.当始点零化像X_i⁰恒在X_j⁰的一侧时, 实际计算中, 由于文献[2]采用了离散点计算, 步长为1, 产生较大误差.对于存在交点的情况刘氏灰色相似关联度与接近关联度模型存在失准甚至错误.

2 算例分析

对于非1-时距序列可以采用相应变换转化为1-时距序列, 故假设下面讨论的均是1-时距序列^[2], 并且要求序列数据的长度是一致的, 而当序列长度不一致时可以采用分层逐次均值填补空缺^[2].

例1  设序列数据X₁=(x₁(1), x₁(2), …, x₁(7))=(0.91, 0.97, 0.90, 0.93, 0.91, 0.93, 0.95)，X₂=(x₂(1), x₂(2), …, x₂(7))=(0.60, 0.68, 0.61, 0.62, 0.63, 0.64, 0.65)，X₃=(x₃(1), x₃(2), …, x₃(7))=(0.82, 0.86, 0.90, 0.89, 0.88, 0.87, 0.86)，X₁, X₂, X₃均是1-时距序列, n=7，试求X₂, X₃与X₁三者之间基于面积的灰色相似关联度α₁₂, α₁₃, α₂₃与灰色接近关联度β₁₂, β₁₃, β₂₃，要求给出与文献[2]方法、基于微元法的相似与接近关联度、基于梯形求积法的相似与接近关联度(简称梯形法)的对比结果.

解  1) 由于n=7，故首先按照公式(1)，计算X₁, X₂, X₃的分段二次Lagrange插值曲线得f₁(t), f₂(t), f₃(t)，见图 1.

2) 计算f₁(t), f₂(t), f₃(t)的始点零化像f₁⁰(t), f₂⁰(t), f₃⁰(t)，为了与其他方法进行对比, 也一并算出X₁, X₂, X₃的始点零化像X₁⁰, X₂⁰, X₃⁰得, f_i⁰(t)=f_i(t)-f_i(1), i=1, 2, 3. X₁⁰=(x₁⁰(1), x₁⁰(2), …, x₁⁰(7))=(0, 0.06, -0.01, 0.02, 0, 0.02, 0.04)，X₂⁰=(x₂⁰(1), x₂⁰(2), …, x₂⁰(7))=(0, 0.08, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05)，X₃⁰=(x₃⁰(1), x₃⁰(2), …, x₃⁰(7))=(0, 0.04, 0.08, 0.07, 0.06, 0.05, 0.04)，其中f₁⁰(t), f₂⁰(t), f₃⁰(t)是f₁(t), f₂(t), f₃(t)的始点零化像, 也是X₁⁰, X₂⁰, X₃⁰的分段二次Lagrange插值曲线, 如图 2所示.

3) 根据微元法与梯形法给定的公式分别计算Δs_ij, ΔS_ij.采用微元法由公式(5) 计算Δs_ij，采样步长Δt=0.01, 由公式(6) 计算ΔS_ij，得Δs₁₂≈0.104 8，Δs₁₃≈0.266 1，Δs₂₃≈0.215 6，ΔS₁₂≈2.061 6，ΔS₁₃≈0.419 3，ΔS₂₃≈1.642 3.

采用梯形求积法由公式(7) 计算Δs_ij，由公式(8) 计算ΔS_ij，得

Δs₁₂≈0.104 9，Δs₁₃≈0.266 1，Δs₂₃≈0.215 6，ΔS₁₂≈2.058 0，ΔS₁₃≈0.418 2，ΔS₂₃≈1.639 7.

4) 最后代入公式(3) 和(4) 计算出基于面积的灰色相似关联度与灰色接近关联度, 结合文献[2]的方法给出对序列数据两两比较的3种结果, 见表 1.

使用微元法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为：

$ {\alpha _{12}} = 0.905\;1, {\alpha _{13}} = 0.789\;8, {\alpha _{23}} = 0.822\;7, $

$ {\mathit{\beta }_{12}} = 0.326\;6, {\mathit{\beta }_{13}} = 0.704\;6, {\mathit{\beta }_{23}} = 0.378\;5. $

使用梯形求积法得灰色相似关联度与灰色接近关联度为α₁₂=0.905 1，α₁₃=0.789 9，α₂₃=0.822 7，β₁₂=0.327 0，β₁₃=0.705 1，β₂₃=0.378 8.

上述两种方法的计算结果表明, X₁, X₂, X₃中的X₁, X₂最相似, X₂, X₃的相似程度次之, 而X₁, X₃的相似程度最低; X₁, X₃最接近, X₂, X₃的接近程度次之, 而X₁, X₂的接近程度最低.对于本算例, 三种方法给出的序列数据的相似程度和接近程度的排序是一致的.

例2  设序列数据

$ \begin{array}{l} {\mathit{X}_1} = \left( {{x_1}\left( 1 \right), {x_1}\left( 2 \right), \cdots, {x_1}\left( 5 \right)} \right) = \left( {1, 2, 3, 4, 5} \right), \\ {\mathit{X}_2} = \left( {{x_2}\left( 1 \right), {x_2}\left( 2 \right), \cdots, {x_2}\left( 5 \right)} \right) = \left( {1, 1, 3, 5, 5} \right), \end{array} $

试给出X₁, X₂基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法与刘氏法的灰色相似关联度与接近关联度.

解  本算例的计算与上例是一样的, 采用上例相同的4步操作可得X₁, X₂基于分段二次Lagrange插值微元法、梯形法的结果，见表 2.显然, 微元法和梯形法的结果是合理的, 而刘氏法的结果是不合理的, 因为差异较大数据的关联度是不可能取1的.原序列数据与分段二次Lagrange插值曲线见图 3.

3 结论

建立不同序列数据的分段二次Lagrange插值, 尽可能以一种简单的方式逼近序列数据, 基于序列数据被逼近曲线与t=1, t=n所围的图形面积，构建了微元法与梯形法两种计算灰色相似关联度与灰色接近关联度的改进算法, 使得灰色关联度的计算更能反映数据间的几何位置关系.改进模型克服了原有灰色相似关联度与接近关联度不能客观反映振荡序列相似性与接近性的弊端, 是对原有模型的有效拓展.通过算例证明了本文所提出的基于面积的两种方法是有效的.当数据较多, 信息包含较多时, 基于分段二次Lagrange插值建立的逼近曲线将具有较高的逼近精度, 随之建立的灰色相似关联度与接近关联度模型也将具有较高的评估精度.