0 引言

随着排队论的发展，国内外许多学者对不同的排队模型进行了大量的研究。文献[1-3]提出了多种队列模型，并给出相应的分析方法。文献[4]提出了H₂^*服务时间分布，并得到了G/H₂^*/n/m队列模型的高负荷极限。文献[5-6]提出M_t/G/∞队列模型，并研究此模型的一些性质及当到达率函数为正弦函数时的情况。文献[7]提出到达率随时间变化的队列模型，并建立了G_t/GI/s_t+GI队列模型的流体极限。文献[8]应用稳态生灭过程模型求解生灭过程局部平衡稳态方程，估计M_t/GI/s队列模型的稳态分布，并对数据进行模拟仿真以验证逼近结果的有效性。文献[9-10]研究了具有周期到达过程的M_t/GI/s队列中，关于顾客人数的高负荷极限以及无穷服务台队列的高负荷流体极限。文献[11]建立了GI/GI/1队列平稳离去过程的高负荷极限及其方差函数。文献[12]研究了在无穷队列中双参数表示下系统中各指标函数的高负荷极限。文献[13]得到了具有正弦到达率的M_t/GI/∞队列模型的流体稳态累积分布函数及局部极限。文献[14]研究了到达率随时间变化的网络队列模型。文献[15]探讨了有界成批到达的GI/G/1排队系统的逼近问题。文献[16]讨论了一个具有不耐烦顾客的M/M/1单重工作休假排队系统。本文根据文献[5-6]，利用傅里叶级数表示到达率函数，进而建立具有周期性到达率函数的M_t/H₂^*/∞队列模型的稳态分布，给出一种周期性到达率函数的特殊情况，即到达率函数为正弦函数的M_t/H₂^*/∞队列模型，并给出关于忙服务台数量的均值和方差表达式、偏度和峰度的高负荷极限及其流体极限，从而得到此模型的稳态分布。

1 具有非齐次泊松到达的M_t/H₂^*/∞队列模型

本文主要研究M_t/H₂^*/∞队列模型，到达过程为非齐次泊松过程^[3]，到达率为随时间变化的周期函数λ(t)，H₂^*服务时间是独立同分布的^[4]且与到达过程独立，具有无穷等待空间，服从先到先服务的原则。H₂^*服务时间分布是由概率为p的指数分布和概率为1－p的零点集混合而成的。设指数分布的均值为1/v，则H₂^*服务时间的均值为1/μ=p/v。不失一般性，设其中指数服务部分的均值为1，即v=1，则有E[S]=p。

假设M_t/H₂^*/∞队列模型在过去某一时刻开始时系统为空，设X(t)表示t时刻系统中的人数(包括在服务中的人数)，即在t=－∞时，X(t)=0。在(－∞, ∞)区间上，系统具有非齐次泊松到达过程，且有确定的到达率函数λ≡{λ(t):－∞ < t < ∞}，设其周期为T，λ是非负可测且在任何有界区间上可积。假设λ是分段光滑的，可知在任何间隔[s, t]，到达人数具有泊松分布，均值为∫_s^tλ(u)du。由于服务时间是独立同分布的且与到达过程独立，设S是关于H₂^*服务时间的随机变量，G是其累积分布函数，S_e是相关的平稳剩余累积分布函数G_e的随机变量，即

$ {G_e}\left( t \right) \equiv P\left( {{S_e} \le t} \right) \equiv \frac{1}{{E\left[ S \right]}}\int_0^t {{G^c}} \left( u \right){\rm{d}}u = \frac{1}{p}\int_0^t {{G^c}} \left( u \right){\rm{d}}u, t \ge 0, $

式中：G^c(t)=1－G(t)。S与S_e的关系为

$ E\left[ {S_e^k} \right] = \frac{{E\left[ {{S^{k + 1}}} \right]}}{{\left[ {k + 1} \right]E\left[ S \right]}} = \frac{{E\left[ {{S^{k + 1}}} \right]}}{{p\left( {k + 1} \right)}}, k \ge 1。$

2 主要结果及证明 2.1 一般周期到达率函数

定理1  在M_t/H₂^*/∞队列模型中，Q(t)表示t时刻忙服务台的数量，对于每个t，Q(t)具有泊松分布，其均值为m(t)=E[Q(t)]=E[∫_t－S^tλ(u)du]=E[λ(t－S_e)]E[S]=pE[λ(t－S_e)]。带有离去率函数δ的离去过程也是泊松过程，其中δ(t)=E[λ(t－S)]。对于每个t，在(－∞, t]区间上Q(t)与离去过程是独立的。

证明  假设到达和服务时间在(－∞, ∞)×[0, ∞)上产生泊松随机测度，用u表示到达时间，v表示服务时间，则区域上的点可以用(u, v)来表示。在区域(a, b]×(c, d]上点的数量是泊松随机变量，其均值为∫_a^bλ(u)du[G(d)－G(c)]。在两个不相交的区域(a, b]×(c₁, d₁]和(a, b]×(c₂, d₂](其中c₁ < d₁ < c₂ < d₂)上点的数量是独立的泊松随机变量, 因为泊松过程的独立分解产生独立泊松过程。不相交区域的任何有限集合中，点的数量是独立的泊松变量，从而确定了泊松随机测度的分布。因为Q(t)表示当u≤t且u+v>t时(u, v)点的数量，则Q(t)的均值为

$ \begin{array}{l} m\left( t \right) = \int_{ - \infty }^t {{G^c}} \left( {t - u} \right)\lambda \left( u \right){\rm{d}}u = \int_0^\infty {\int_{t - S}^t \lambda } \left( u \right){\rm{d}}u{\rm{d}}G\left( S \right) = E\left[ {\int_{t - S}^t \lambda \left( u \right){\rm{d}}u} \right] = \\ \int_0^\infty {{G^c}} \left( u \right)\lambda \left( {t - u} \right){\rm{d}}u = E\left[ {\lambda \left( {t - {S_e}} \right)} \right]E\left[ S \right] = pE\left[ {\lambda \left( {t - {S_e}} \right)} \right]。\end{array} $

同理，D(s, t)表示在区间[s, t]离开的人数，即为当s≤u+v≤t时(u, v)点的数量，其均值为∫_S^tδ(u)du，其中δ(t)=∫₀^∞λ(t－u)dG(u)=E[λ(t－S)]。因为在不相交集合中点的数量是具有泊松随机测度的独立泊松变量，所以对于每个t，在(－∞, t]区间上Q(t)与离去过程是独立的。

综上可得，定理1得证。

在M_t/H₂^*/∞队列模型中, 设Z是关于Q(t)稳态概率质量函数的随机变量，有

$ P\left( {Z = k} \right) = \frac{1}{T}\int_0^T P \left( {Q\left( t \right) = k} \right){\rm{d}}t, k \ge 0。$

Z的k阶矩为

$ E\left[ {{Z^k}} \right] = \frac{1}{T}\int_0^T E \left[ {Q{{\left( t \right)}^k}} \right]{\rm{d}}t, k \ge 1。$

假设λ在区间[0, T](其中T=2π/ω)上是周期函数，利用傅里叶级数来分析相关的M_t/H₂^*/∞模型。这种周期情况包括了在有限间隔的一般到达率函数，因为任何一个到达率函数都可以被扩展为一个周期函数。在区间[0, T]上，λ具有周期性，则m(t)在区间[0, T]上也具有周期性。在处理一般到达率时，假设λ可以表示为傅里叶级数，即

$ {\lambda _n}\left( t \right) = {a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{a_k}\sin \left( {k\omega t} \right) + {b_k}\cos \left( {k\omega t} \right)} \right)} , $

式中：${a_k} = {\rm{ }}\frac{1}{\mathsf{π} }\smallint _0^{2\mathsf{π} }\lambda \left( t \right)\sin \left( {k\omega t} \right){\rm{d}}t；{b_k} = \frac{1}{\mathsf{π} }\smallint _0^{2\mathsf{π} }\lambda \left( t \right)\cos \left( {k\omega t} \right){\rm{d}}t$。

为了确保当n→∞时λ_n的收敛性，假设λ在区间[0, T]上是分段光滑的，即λ在除有限多个点外的任意点有连续的偏导数，其中λ及其偏导数在不连续点有相同的跳跃。即对于每个t(λ的连续点)，当n→∞时有λ_n(t)→λ(t)，且在每个不连续点有λ_n(t)→[λ(t⁺)+λ(t^－)]/2，若λ在任意点都连续，则为一致收敛。由定理1知，当λ_n一致收敛到λ时，m_n一致收敛到m^[6]，可得${m_n}\left( t \right) = {a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {({a_k}{m_{k1}}\left( t \right) + {b_k}{m_{k2}}(t))} $。由于cos(kt)=sin(kt+π/2)m_k2(t)=m_k1(t+π/2)，因此由文献[5]中定理4，可得m_k1(t)=λE[S]+β(sin(kωt)E[cos(kωS_e)]－cos(kωt)E[sin(kωS_e)])+E[S]。在M_t/H₂^*/∞队列模型中，由于E[S]=p，可得

$ \begin{array}{l} {m_n}\left( t \right) = p\left( {{a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \left[ {\sin \left( {k\omega t} \right) - k\omega \cos \left( {k\omega t} \right)} \right] + } \right.\\ \left. {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{b_k}}}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \left[ {\sin \left( {k\omega t + \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right) - k\omega \cos \left( {k\omega t + \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right)} \right]} \right) = \\ p\left( {{a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \sin \left( {k\omega t} \right) + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \cos \left( {k\omega t} \right)} \right)。\end{array} $

由于系数中有一项为$\frac{1}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}$，可知当k较大时，m可以通过较少的一些项来逼近。则有

$ \begin{array}{l} E\left[ Z \right] = \frac{1}{T}\int_0^T E \left[ {Q\left( t \right)} \right]{\rm{d}}t = \frac{1}{T}\int_0^T m \left( t \right){\rm{d}}t = \\ \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} p \left( {{a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \sin \left( {k\omega t} \right) + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \cos \left( {k\omega t} \right)} \right){\rm{d}}t = p{a_0}, \end{array} $

$ \begin{array}{l} \frac{1}{T}\int_0^T {{m^2}} \left( t \right){\rm{d}}t = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {{p^2}} {\left( {{a_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \sin \left( {k\omega t} \right) + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \cos \left( {k\omega t} \right)} \right)^2}{\rm{d}}t = \\ {p^2}a_0^2 + \frac{{{p^2}}}{2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} } \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} E\left[ {{Z^2}} \right] = \frac{1}{T}\int_0^T E \left[ {Q{{\left( t \right)}^2}} \right]{\rm{d}}t = \frac{1}{T}\int_0^T {\left( {m\left( t \right) + {m^2}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t} = \\ p{a_0} + {p^2}a_0^2 + \frac{{{p^2}}}{2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} } \right), \end{array} $

$ \begin{array}{l} Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] - {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2} = p{a_0} + {p^2}a_0^2 + \\ \frac{{{p^2}}}{2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} } \right) - {\left( {p{a_0}} \right)^2} = \\ p{a_0} + \frac{{{p^2}}}{2}\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{a_k} + k{b_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{{{b_k} + k{a_k}\omega }}{{1 + {{\left( {k\omega } \right)}^2}}}} \right)}^2}} } \right)。\end{array} $

2.2 正弦到达率函数

考虑具有正弦到达率函数的M_t/H₂^*/∞队列模型，设到达率函数为λ(t)≡λ (1+βsin(ωt))，其中：λ为平均到达率；β为振幅；ω为时间刻画因子，其周期T=2π/ω。设系统在过去的某一时刻开始时是空的且在每一时刻t具有泊松分布，系统中忙服务台的数量用Q(t)表示，则其均值为m(t)=E[Q(t)]=pλ (1+s(t))，其中$s\left( t \right) = {\rm{ }}\frac{\beta }{{1 + {\omega ^2}}}\left( {\sin \left( {\omega t} \right) - \omega \cos \left( {\omega t} \right)} \right)$。s(t)的上确界${s^U} \equiv \mathop {\sup }\limits_{t \ge 0} s\left( t \right) = \frac{\beta }{{\sqrt {1 + {\omega ^2}} }}$，可知当t₀^m= $\frac{{{\rm{arccot}}\left( {1/\omega } \right)}}{\omega }$时，s(t₀^m)=0，s′(t₀^m)>0。s(t)从时刻t₀^m增加到时刻$t_0^m + \frac{\mathsf{π} }{{2\omega }}$时有最大值${s^U} = \frac{\beta }{{\sqrt {1 + {\omega ^2}} }}$，可知间隔$[t_0^m, t_0^m + \frac{\mathsf{π} }{{2\omega }}]$对应$\frac{{1}}{{4}}$个周期。因为Z是关于Q(t)稳态概率密度函数的随机变量，可得：当k=1时，E[Z]=pλ。

定理2(方差和高阶矩)   对于M_t/H₂^*/∞队列模型，设系统在过去的某一时刻开始时是空的，则有

$ E\left[ {{Z^2}} \right] = \left( {p\bar \lambda + {p^2}{{\bar \lambda }^2}} \right) + {p^2}\frac{{{{\bar \lambda }^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, \;\;\;\;\;Var\left( Z \right) = p\bar \lambda + {p^2}\frac{{{{\bar \lambda }^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, $

$ E\left[ {{Z^3}} \right] = \left( {p\bar \lambda + 3{p^2}{{\bar \lambda }^2} + {p^3}{{\bar \lambda }^3}} \right) + \frac{{\left( {3{p^2}{\lambda ^2} + 3{p^3}{\lambda ^3}} \right){\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, $

$ E\left[ {{Z^4}} \right] = \left( {p\bar \lambda + 7{p^2}{{\bar \lambda }^2} + 6{p^3}{{\bar \lambda }^3} + {p^4}{{\bar \lambda }^4}} \right) + \frac{{\left( {7{p^2}{{\bar \lambda }^2} + 18{p^3}{{\bar \lambda }^3} + 6{p^4}{{\bar \lambda }^4}} \right){\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}} + \frac{{{p^4}{{\bar \lambda }^4}{\beta ^2}\left( {3 + 6{\omega ^2} + 3{\omega ^4}} \right)}}{{8{{\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}^4}}}。$

证明  对于均值为m的泊松分布，它的前四阶矩分别为m₁=m；m₂=m+m²；m₃=m+3m²+m³；m₄=m+7m²+6m³+m⁴。因此，可得关于稳态变量Z的前四阶矩分别为

$ E\left[ Z \right] = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} m \left( t \right){\rm{d}}t = p\bar \lambda , E\left[ {{Z^2}} \right] = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {\left( {m\left( t \right) + m{{\left( t \right)}^2}} \right){\rm{d}}t} , $

$ E\left[ {{Z^3}} \right] = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {\left( {m\left( t \right) + 3m{{\left( t \right)}^2} + m{{\left( t \right)}^3}} \right){\rm{d}}t} , E\left[ {{Z^4}} \right] = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{{\rm{2 \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {\left( {m\left( t \right) + 7m{{\left( t \right)}^2} + 6m{{\left( t \right)}^3} + m{{\left( t \right)}^4}} \right){\rm{d}}t} 。$

为方便计算，设$S_{k}=\frac{\omega}{2 \mathsf{π}} \int_{0}^{\frac{2 \mathsf{π}}{\omega}} s(t)^{k} \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \mathsf{π}} \int_{0}^{2 \mathsf{π}} s\left(\frac{u}{\omega}\right)^{k} \mathrm{d} t$，k≥1，其中$s\left(\frac{u}{\omega}\right)=\frac{\beta}{1+\omega^{2}}(\sin u-\omega \cos u)$，u=ωt。运用三角函数的倍角降阶公式，可得S₁=S₃=0，且对所有k≥0，S_2k+1=0。由于

$ {S_2} = {\left( {\frac{\beta }{{1 + {\omega ^2}}}} \right)^2}\left( {\frac{{1 + \omega }}{2}} \right), {S_4} = {\left( {\frac{\beta }{{1 + {\omega ^2}}}} \right)^4}\left( {\frac{{3 + {\omega ^2} + 3{\omega ^4}}}{8}} \right), $

则有

$ \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} m {\left( t \right)^2}{\rm{d}}t = {p^2}{{\bar \lambda }^2}\left( {1 + {S_2}} \right) = {p^2}{{\bar \lambda }^2} + \frac{{{p^2}{{\bar \lambda }^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, $

$ \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} m {\left( t \right)^3}{\rm{d}}t = {p^3}{{\bar \lambda }^3}\left( {1 + 3{S_2}} \right) = {p^3}{\lambda ^3} + \frac{{3{p^3}{{\bar \lambda }^3}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, $

$ \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} m {\left( t \right)^4}{\rm{d}}t = {p^4}{{\bar \lambda }^4}\left( {1 + 6{S_2} + {S_4}} \right) = {p^4}{{\bar \lambda }^4} + \frac{{6{p^4}{{\bar \lambda }^4}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}} + \frac{{{p^4}{{\bar \lambda }^4}{\beta ^2}\left( {3 + 6{\omega ^2} + 3{\omega ^4}} \right)}}{{8{{\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}^4}}}, $

$ Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] - {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2} = \left( {p\bar \lambda + {p^2}{{\bar \lambda }^2}} \right) + \frac{{{p^2}{{\bar \lambda }^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}} - {p^2}{{\bar \lambda }^2} = p\bar \lambda + \frac{{{p^2}{{\bar \lambda }^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}。$

下面给出方差的另一种证明方法。

$ \begin{array}{l} Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] - {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2} = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {\left( {m\left( t \right) + m{{\left( t \right)}^2}} \right){\rm{d}}t} - {p^2}{{\bar \lambda }^2} = p\bar \lambda + {p^2}{{\bar \lambda }^2}\frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} s {\left( t \right)^2}{\rm{d}}t = \\ p\bar \lambda + {p^2}{{\bar \lambda }^2}\frac{{{\beta ^2}}}{{{{\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}^2}}}\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{2{\rm{ \mathsf{ π} }}} {{{\left( {\sin u - \omega \cos u} \right)}^2}} {\rm{d}}u = p\bar \lambda + {p^2}{{\bar \lambda }^2}\frac{{{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}。\end{array} $

综上可得，定理2得证。

定理3(偏度和峰度的高负荷极限)   当λ →∞时，Z的偏度和峰度接近于一个较简单的极限，即

$ {\omega _1}\left( Z \right) \equiv \frac{{E\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^3}} \right]}}{{E{{\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^2}} \right]}^{3/2}}}} \to 0, {\omega _2}\left( Z \right) \equiv \frac{{E\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^4}} \right]}}{{E{{\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^2}} \right]}^2}}} - 3 \to - 1.5。$

证明  当λ →∞时，有

$ \frac{{E\left[ Z \right]}}{{\bar \lambda }} \to p;\frac{{E\left[ {{Z^2}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^2}}} \to {p^2}\left( {1 + \frac{{{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}} \right); $

$ \frac{{E\left[ {{Z^3}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^3}}} \to {p^3}\left( {1 + \frac{{3{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}} \right);\frac{{E\left[ {{Z^4}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^4}}} \to {p^4}\left( {1 + \frac{{6{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}} + \frac{{{\beta ^4}\left( {3 + 6{\omega ^2} + 3{\omega ^4}} \right)}}{{8{{\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}^4}}}} \right)。$

则有

$ \frac{{Var\left( Z \right)}}{{{{\bar \lambda }^2}}} \equiv \frac{{E\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^2}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^2}}} \to \frac{{{p^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}};\frac{{E\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^3}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^3}}} \to 0;\frac{{E\left[ {{{\left( {Z - E\left( Z \right)} \right)}^4}} \right]}}{{{{\bar \lambda }^4}}} \to \frac{{3{p^4}{\beta ^4}}}{{8{{\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}^2}}}。$

综上可得，定理3得证。

考虑M_t/H₂^*/∞模型的一个序列，n为平均到达率，建立关于Z整体分布的极限。特别地，假设λ =n。设服务时间分布中指数分布的均值为1/v=1，假设系统开始时是空系统，可知在时刻0，系统是周期稳态的。因为λ =n，对于每个t，由大数定理，可得

$ \frac{{{Q_n}\left( t \right)}}{n} \Rightarrow p\left( {1 + s\left( t \right)} \right), $

则其相关的确定性流体逼近为Q_n(t)≈np(1+s(t))。

设Z_n是第n个模型中稳态分布的随机变量，Z_n≡Z_n/n，是稳态随机变量的相关刻画，即流体刻画。

定理4 (流体极限)   对于M_t/H₂^*/∞模型的序列，当n→∞时，有Z_n⇒Z。对于所有的n，有

$ E\left[ {{{\bar Z}_n}} \right] = E\left[ Z \right] = p;Var\left( {{{\bar Z}_n}} \right) \to Var\left( Z \right) \equiv \frac{{{p^2}{\beta ^2}}}{{2\left( {1 + {\omega ^2}} \right)}}, n \to \infty , $

(1)

其中Z在区间[1－s^U, 1+s^U]，且有非退化的累积分布函数为

$ F\left( x \right) \equiv P\left( {Z \le 1 + {s^U}} \right) = 1 - F\left( { - x} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\left[ {{s^{ - 1}}\left( {x{s^U}} \right) - t_0^m} \right], 0 \le x \le 1。$

(2)

证明   Z_n⇒Z可以由大数定理得到。Z的累积分布函数为

$ \begin{array}{l} P\left( {{{\bar Z}_n} \le 1 + x} \right) = P\left( {{Z_n} \le n\left( {1 + x} \right)} \right) = \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {{\mathit{\Pi }_{n\left( {1 + x} \right)}}} \left( {n{m_1}\left( t \right)} \right){\rm{d}}t \Rightarrow \\ \frac{\omega }{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_0^{\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\omega }} {{1_{\left( { - \infty , x} \right]}}} \left( {s\left( t \right)} \right){\rm{d}}t \equiv P\left( {Z \le 1 + x} \right), n \to \infty , \end{array} $

(3)

式中：Π_x(m)表示均值为m的泊松分布的累积分布函数；1_A(x)为示性函数。可见(3)式与(2)式是相等的。因为m(t)在前$\frac{{1}}{{4}}$周期是连续的严格增函数，则式(1)的方差可由定理2得到。

综上可得，定理4得证。

3 结束语

本文对具有周期性到达率函数的M_t/H₂^*/∞队列模型进行研究，用傅里叶级数表示到达率函数，得到队列中忙服务台数量的均值和方差表达式，从而得到具有非齐次泊松到达且到达率随时间变化的M_t/H₂^*/∞队列模型的稳态分布。本文还分析了到达率函数为正弦函数的特殊情况，得到M_t/H₂^*/∞队列模型中关于Q(t)的稳态分布及其流体极限。