随着人们对海洋资源开发的日益重视和海洋工程技术的发展，各类海上浮动平台如船舶、半潜平台、SPAR和FPSO等已经被广泛应用于海上运输和资源开采, 然而海洋环境中的海上浮动平台在波浪载荷的作用下会产生横摇、纵摇、艏摇、垂荡、横荡、纵荡及其相互耦合运动^[1]，这会对平台上的仪器设备、工程人员等产生不利的影响。

由于并联机构具有可以实现多自由度耦合运动、承载力大、响应速度快等特点^[2]，被各国学者用于运动补偿平台的机构原型。近年来，基于并联机构的运动补偿装置得到了较全面的研究。文献[3]针对船舶的横摇和纵摇，设计了一类有冗余驱动分支的两自由度并联平台，包括2-RPU、2-SPU与2-RRU等型；文献[4]采用并联3SPS/3SS结构研发了T700型运动补偿平台，该平台可以有效补偿驳船的垂荡、纵摇、横摇运动，实现在高海况下的安全吊装；文献[5]提出一种IPTS-1PS-1PRS的三自由度并联机构；文献[6]为补偿船舶的横摇、纵摇、横荡和垂荡，提出了四自由度并联平台；文献[7、8]介绍了人员转移到海上风机塔的装置——Ampelmann，该装置利用Stewart并联机构来补偿波浪导致的多自由度运动；文献[9]研究了应用于舰载稳定平台的6-PUS型并联机构，该机构主要包括起上、下平台和静载平衡装置以及对称分布的六个PUS运动分支；文献[10]设计了一种基于微惯导传感器的6-UPU并联主动波浪补偿平台样机及其试验系统等。

通常认为垂荡、纵摇和横摇运动在海上平台的运动响应中占有主导地位，文献[11]对基于Stewart机构的稳定装置在垂荡、纵摇和横摇方向上的运动补偿空间进行了计算分析。需要指出的是，由于海上平台的空间限制，运动补偿装置往往不能安装在平台的中心位置，因此，补偿横荡、纵荡运动是必要的。因此本文以基于Stewart并联机构的运动补偿装置为对象，利用机构运动分析和边界空间搜索法对其平动运动(垂荡、纵荡和横荡)的补偿空间进行了研究。

如图 1所示为海上浮动平台及Stewart型运动补偿装置示意图，海上浮动平台在波浪载荷下具有六个自由度的运动。在海上浮动平台上建立绝对坐标系O-XYZ，其中心处于船舶的几何中心A点上，在浮动平台上任意一点位置安装有Stewart型的运动补偿装置，该机构由上下两个平台构成，下平台固定在海上浮动平台上，上平台与下平台之间通过六条可以伸缩的杆件组成，建立固连在运动补偿装置上的坐标系o-xyz。

该装置通过位姿传感器监测平台上A点六个方向上的运动，通过设定上平台保持姿态稳定，对机构各杆长度进行求解，进而控制杆件长度实现上平台稳定^[12]。其基本原理如图 2所示。

一般情况下，进行运动补偿装置的设计前需要确定海上浮动平台的运动范围，目前主要通过两种方式，第一种是调研目标海域的环境状况，根据波浪理论设定波浪谱和波浪模型，结合通过海上浮动平台的结构参数和物理参数求取的海上浮动平台的响应幅值算子(Response Amplitude Operator或RAO)，得到海上浮动平台的运动范围；第二种是通过位置姿态传感器等对海上浮动平台的运动进行长时间监测获得海上浮动平台的运动范围。通过将设计的运动补偿装置的补偿空间与海上浮动平台的运动范围进行对比，使之能够实现最大的极限运动范围的补偿，这是进行机构尺度综合及装置详细设计的前提。

由上可见，空间机构的补偿空间分析是进行补偿装置设计的重要环节，为验证所设计运动补偿装置能否满足海上浮动平台的补偿要求提供了依据。

1 运动补偿空间的计算

本文以基于Stewart型并联机构的运动补偿装置为例进行了运动补偿空间的求解。图 3(a)所示为Stewart机构的结构简图及上下平台的两个坐标系。如图 3(b)所示为当下平台随着海上浮动平台运动时，6个驱动杆的变化。

如图 3(c)所示，其中，B₁、B₂…B₆为下平台的六个铰接点，P₁、P₂…P₆为上平台的六个铰接点。θ_B与θ_P为下平台和上平台临近两个铰接点的夹角。θ_Bi与θ_Pi为相邻两对铰接点之间的夹角。θ_Px为上平台第一个铰接点与本体坐标系x轴的夹角。

下平台六个铰接点B₁、B₂…B₆在惯性坐标系下的位置分别表示为p_B1ⁱ、p_B2ⁱ…p_B6ⁱ，其中p_B1ⁱ=[p_B1xⁱ p_B1yⁱ p_B1zⁱ]^T，p_B2ⁱ=[p_B2xⁱ p_B2yⁱ p_B2zⁱ]^T，…，p_B6ⁱ=[p_B6xⁱ p_B6yⁱ p_B6zⁱ]^T。上平台六个铰接点P₁、P₂、…、P₆在本体坐标系O下的位置分别表示为p_P1⁰、p_P2⁰…p_P6⁰，p_P1⁰=[p_P1x⁰ p_P1y⁰ p_P1z⁰]^T，p_P2⁰=[p_P2x⁰ p_P2y⁰ p_P2z⁰]^T，…，p_P6⁰=[p_P6x⁰ p_P6y⁰ p_P6z⁰]^T。采用Z-Y-X欧拉角表示本体坐标系O在惯性坐标系下的姿态角，绕XYZ旋转的欧拉角分别为Φ、θ、ψ，则惯性坐标系与物体坐标系之间的变换矩阵可以表示为

$R_0^i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_\mathit{\Psi }}{c_\theta }}&{{c_\mathit{\Psi }}{s_\theta }{s_\phi } - {s_\mathit{\Psi }}{c_\phi }}&{{s_\mathit{\Psi }}{s_\phi } + {c_\mathit{\Psi }}{s_\theta }{c_\phi }}\\ {{s_\mathit{\Psi }}{c_\theta }}&{{c_\mathit{\Psi }}{s_\phi } + {s_\mathit{\Psi }}{s_\theta }{s_\phi }}&{{s_\mathit{\Psi }}{s_\theta }{c_\phi } - {c_\mathit{\Psi }}{s_\phi }}\\ { - {s_\theta }}&{{c_\theta }{s_\theta }}&{{c_\theta }{c_\phi }} \end{array}。} \right. $

其中c_ψ=cosψ、cθ=cosθ、cφ=cosφ、sψ=sinψ、sθ=sinθ、sφ=sinφ。给定d_oⁱ=[d_o1 d_o2 d_o3]^T为0坐标系原点在惯性坐标系下的坐标，则上平台铰接点位置在惯性坐标系下可以表示为

$ p_{{P_n}}^i = d_o^i + R_0^ip_{{P_n}}^0。$

(2)

其中n=1, 2, ，…，6，表示铰接点的排列位置。

Stewart平台的立体结构如图 3所示，给定l_n(n=1，2，3，4，5，6)为油缸运动过程中的长度，则

$ {l_n}{i_n} = \overrightarrow {{O_i}{O_0}} + \overrightarrow {{O_0}{P_n}} - \overrightarrow {{O_i}{B_n}} 。$

(3)

其中i_n(n=1，2，3，4，5，6)为油缸长度方向的单位矢量。即

$ {l_n}{i_n} = d_o^i + R_0^ip_{{P_1}}^0 - \overrightarrow {{O_i}{B_n}} 。$

通过将六个油缸的长度l_n(n=1，2，3，4，5，6)与给定的油缸长度极限l_min、l_max进行比较，结合其他两个限制量(连接副最大转角θ_Bmax、θ_Cmax，油缸杆的干涉直径)进行比较分析，若三个限制量任意一个都没有超过其极限值，即l_min≤l_n≤l_max、θ_B≤θ_Bmax、θ_C≤θ_Cmax、d≤D，满足以上条件的空间离散点则可以组成补偿空间。

本节基于边界空间搜索法^[13-14]以平动补偿空间为例进行分析，利用补偿空间限制条件的求解方法，结合已经设计出的Stewart平台各个构件的尺寸参数包括驱动杆的杆长极限l_min、l_max，连接副最大转角的限制θ_Bmax、θ_Cmax，驱动杆的干涉直径D，约束条件允许的补偿空间的极限Z_min、Z_max，极角的增量值Δγ，极径的增量值Δρ等，从而可以求解出机构的平动补偿空间。

2 运动补偿空间的计算 2.1 Stewart平台结构参数设计

根据确定的海浪运动参数结合所给的运动补偿空间要求，本文设计的Stewart平台结构参数如表 1所示。其中，上平台的6个球铰链的连接位置和夹角如图 4(a)所示，下平台的6个万向铰链的连接位置和夹角如图 4(b)所示：

2.2 平动补偿空间的求解

Stewart型运动补偿平台在空间上有六个方向的运动，分别为沿X、Y和Z轴的平动以及绕X、Y和Z轴的转动，将沿X、Y和Z轴平动的离散点组成的空间定义为平动补偿空间，通过改变平台在沿X、Y和Z轴的平动初始位置和绕X轴转动的角度即横摇角度得到平动补偿空间。

图 5(a)表示Stewart运动补偿平台的初始位置在绕X、Y和Z轴的转动角度为0°时，沿着Z轴平动的初始位置分别为700、800和900 mm时，平动补偿空间示意图。由图中可以发现平动补偿空间呈对称分布，且随着沿Z轴的初始位置的值增大，平动补偿空间先增大后减小。

图 5(b)表示当Stewart运动补偿平台沿Z轴平动的初始位置为800 mm，绕Y、Z轴初始位置的转动角度为0°时，Stewart运动补偿平台绕X轴的初始位置角度即横摇角度是10°、0°、-10°时，平动补偿空间示意图。由图中可以看出随着Stewart运动补偿平台绕X轴的初始位置角度的绝对值的增大，平动补偿空间逐渐减小且在绕X轴的初始位置角度为10°和-10°时平动补偿空间的大小是相同的。

图 6(a)表示Stewart运动补偿平台的初始位置在绕X、Y和Z轴的转动角度为0°时，沿着Y轴平动的初始位置分别为0、200和400 mm时，平动补偿空间示意图。由图中可以发现此时的平动补偿空间呈对称分布，且随着沿Y轴的初始位置的值增大，平动补偿空间逐渐减小。

图 6(b)表示当Stewart运动补偿平台沿Y轴平动的初始位置为0 mm，绕Y、Z轴初始位置的转动角度为0°时，Stewart运动补偿平台绕X轴的初始位置角度即横摇角度是10°、0°、-10°时，平动补偿空间示意图。通过计算图中虚线内的面积可知绕X轴的初始位置角度为10°和-10°时平动补偿空间的大小基本相同的且当绕X轴的初始位置角度为0°时平动补偿空间是最大的。

图 7(a)表示Stewart运动补偿平台的初始位置在绕X、Y和Z轴的转动角度为0°时，沿着X轴平动的初始位置分别为0、200和400 mm时，平动补偿空间示意图。由图中可以发现随着沿X轴的初始位置的值增大，平动补偿空间逐渐减小。

图 7(b)表示当Stewart运动补偿平台沿X轴平动的初始位置为0 mm，绕Y、Z轴初始位置的转动角度为0°时，Stewart运动补偿平台绕X轴的初始位置角度即横摇角度是10°、0°、-10°时，平动补偿空间示意图。通过对图中虚线内的面积计算可以得出绕X轴的初始位置角度为10°和-10°时平动补偿空间大小基本相同。

图 8表示Stewart运动补偿平台的初始位置在绕X、Y和Z轴的转动角度为0°时，Stewart运动补偿平台只能沿X、Y和Z轴进行平动的状态下平动补偿空间的三维图。

3 结语

本文以Stewart型运动补偿装置为例，对该装置平动运动的补偿空间进行了研究。文中采用并联机构运动分析和边界空间搜索技术给出了运动补偿空间的计算方法，对给定参数的Stewart平台参数进行了分析，获得了平动补偿空间区域，分析了不同初始横摇、纵摇角度等因素对平动补偿空间区域的空间大小和位置的影响, 经过计算得出了当Stewart运动补偿平台的初始位置在绕X、Y和Z轴的转动角度为0°时，平动运动补偿空间约为2.4×10⁸ mm³。为Stewart型运动补偿装置的设计和控制提供了依据。