碰撞是引起船舶与海洋结构物损伤的重要因素，也是船舶工程上的热点问题。海洋平台一般在海况恶劣的深海海域工作，由于作业需要，附近常有穿梭油轮和供应船的航行或停靠，因此系泊状态下的平台被碰撞的机会较多。

对于复杂的碰撞问题，有限元分析方法和简化解析法具有高效、简便和精确的优点，因此应用最为广泛。

目前，非线性显式有限元软件能够精确地计算碰撞力和结构损伤，模拟船体的运动过程。学者们通过研究碰撞有限元法的关键技术，提高数值仿真结果的准确性。顾永宁等^[1]阐述了材料本构和网格质量对计算结果精确程度的直接影响；Getter^[2]等通过确定钢材断裂极限应变和应变率等材料参数，保证分析结果的正确性；Sören^[3]得到失效应变与单元长度的关系曲线，为有限元建模和参数设置提供了依据。

在简化解析方面，学者们建立不同的力学模型，多角度解释了碰撞机理。Minorsky^[4]根据完全非弹性碰撞理论，求解船舶舷侧撞击时的能量耗散，提出简化解析公式。Pedersen和Zhang^[5]提出外部动力学的二维理论模型，利用动能定理和动量方程，求解碰撞系统的耗散能，与Minorsky^[4]的计算结果相吻合。Stronge^[6]针对多种碰撞形式，阐述了刚体的三维碰撞理论解法。Liu和Amdahl^[7]基于Stronge^[6]的理论发展了局部坐标系下的三维碰撞理论，验证结果的准确性。

本文研究的被撞平台主船体和系泊系统以一定的方式相连接，组成多体系统。多体系统的碰撞问题有两种解决思路：“分段”分析法将碰撞过程视为瞬时的，分别对碰撞前后进行动力分析。Wehage^[8]首次通过求解平衡、动量和冲量方程，获得碰撞后的结果，并根据多体连接处的铰接形式，建立约束方程求解其运动状态。“连续”分析法将碰撞载荷视为持续作用力，把各时刻的碰撞力作为已知载荷加入系统方程求解。Khulief和Shabana^[9]采用等效质量法简化多体系统，并验证曲轴连杆算例。Lankarani和Nikravesh^[10]基于两球碰撞模型推导出碰撞力与撞深的函数关系，并应用于Khulief^[9]的连杆系统。

本文采用ANSYS建立了单点系泊状态下的平台模型，其中系泊装置间连接部分的模拟是本文的难点。使用LS-DYNA计算了不考虑流体情况下，平台在碰撞载荷作用下的运动状态。基于外部动力学理论，对比了有、无系泊工况的结果，探究平台整体运动的普适性规律。

1 碰撞有限元分析方法

本文采用显式有限元数值仿真方法分析碰撞过程，其基本原理是：将碰撞体模型离散化，定义合适的时间步长Δt，根据t时刻的位移计算碰撞力，建立t+Δt时刻的运动方程，采用中心差分法求解出该时刻的位移。由于中心差分法是条件稳定的，设定的时间步长Δt应满足以下关系：

$ \Delta t \leqslant \alpha\left(\frac{L_{\min }}{c}\right)。$

(1)

式中：α为时步因子，根据经验取0.9；L_min是模型最小单元长度；材料声速c通过式(2)计算。

$ c=\sqrt{\frac{E}{\left(1-\nu^{2}\right) \rho}}。$

(2)

式中：E为材料的弹性模量；ν为泊松比；ρ为材料密度。

1.1 碰撞力计算

在每个时间步上，应将载荷作为已知条件施加到结构上，需优先计算。通过罚函数法可计算平台和船之间的碰撞力：在两碰撞体的接触面上定义主、从节点，考察各时刻从节点是否穿透主面；若没有穿透，不做任何处理；若穿透，则在主、从面间引入法向接触力，其大小与穿透深度、主面的刚度成正比。

$ f_{\mathrm{s}}=-\overrightarrow{l }k_{i} n_{i}。$

(3)

式中：f_s为法向接触力；$\vec{l} $为由从节点指向主节点的矢量；n_i为接触面上的法线方向。主面刚度k_i可由以下公式计算：

$ k_{i}=\frac{f K_{i} A_{i}}{L_{i}}。$

(4)

式中：f为接触刚度比例因子，取0.1；K_i为接触单元的体积模量；A_i为主面的单元面积；L_i为接触单元的最大对角线长度。

将作用在主面上的接触力-f_s(法向接触力的反作用力)等效分配到主单元(通常是是四节点单元)的节点上：

$ f_{j m}=-\phi_{j} f_{\mathrm{s}}, j=1, 2, 3, 4。$

(5)

式中：f_jm为主单元等效接触力；ϕ_j为主单元面上的二维形函数，下标j为节点号。

1.2 建立碰撞运动方程

本文采用更新拉格朗日算法建立t时刻的运动方程。将平台和船的结构空间离散化，单元上任一质点X在t时刻的位移u_i(X, t)为^[12]：

$ u_{i}(X, t)=N_{I} u_{i I}(t)。$

(6)

式中：N_I为单元内的形函数；u_iI(t)为单元上节点I的位移，下标i为坐标系方向。对u_i(X, t)作变换可得：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot u}_i}(X, t) = {N_I}{{\dot u}_{iI}}(t)}\\ {{{\ddot u}_i}(X, t) = {N_I}{{\ddot u}_{iI}}(t)}\\ {{D_{ij}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{u_{iI}}\frac{{\partial {N_I}}}{{\partial {x_j}}} + {u_{jI}}\frac{{\partial {N_I}}}{{\partial {x_i}}}} \right) = {B_{iI}}{u_{iI}}}\\ {\partial {v_i} = {N_I}\delta {v_{iI}}} \end{array}} \right.。$

(7)

式中：${{{\dot u}_i}} $和$ {{{\ddot u}_i}}$分别为质点X的速度和加速度；$ {{{\dot u}_{iI}}}$和${{{\ddot u}_{iI}}} $为节点I的速度和加速度；δv_i和δv_iI分别为质点X和节点I的虚速度；D_ij为单元的变形率矩阵，B_iI为节点I的应变矩阵。

虚功率方程表示为：

$ \int_V {\left[ {\frac{{\partial \left( {\delta {v_i}} \right)}}{{\partial {x_j}}}{\sigma _{ji}} - \delta {v_i}\rho {b_i} - \delta {v_j}\rho {{\ddot u}_j}(t)} \right]} {\rm{d}}V = \int_A \delta {v_i}{f_{jm}}{\rm{d}}A。$

(8)

式中：ρ为t时刻的密度；σ_ji为应力张量；b_i为作用在物体单位质量上的力。

将式(7)写成矩阵形式，代入虚功率方程(8)中，整理得到碰撞的运动方程：

$ M \ddot{u}_{t}+f^{\mathrm{int}}=f^{e x t}。$

(9)

质量阵M为∫_VρN^TNdV，内力和外力分别为f^int=∫_VB^TσdV，f^ext=∫_VN^TρbdV+∫_ANf_jmdA。

1.3 多体系统约束方程的建立

由于平台是主船体和系泊装置所组成的多体系统，各部分的位移相互约束，系统的运动方程不同于单体，因此需要对式(9)进行补充。

对于N个质点组成的系统，一阶线性约束方程表示的限制条件为：

$ \sum\limits_{i = 1}^{3N} {{A_{\alpha i}}} {\dot u_i} + {A_{a0}} = 0, \alpha = 1, 2, \cdots , m。$

(10)

式中：A_αi和A_α0均为各质点在t时刻的变换矩阵；α为约束方程数。$\dot{u}_{i} $为各质点的瞬时速度。式(10)可表示为C_q(u, t)=0。

利用拉格朗日乘子法，在运动方程式(9)中加入广义约束力C_q^Tλ，整理得：

$ M \ddot{u}_{t}+C_{q}^{T} \lambda+f^{\mathrm{int}}=f^{e x t}。$

(11)

式中，λ为拉格朗日乘子向量，系数满足C_q(u, t)=0。

1.4 节点位移求解

基于以上结果，假定0~(t-Δt)时刻的节点位移、速度和加速度均已求得，利用中心差分法求解t时刻的位移，迭代公式如下所示：

$ \left\{\begin{array}{l}{\ddot{u}_{t-\Delta t}=\frac{1}{\Delta t^{2}}\left(u_{t-2 \Delta t}-2 u_{t-\Delta}+u_{t}\right)} \\ {\dot{u}_{t-\Delta t}=\frac{1}{2 \Delta t}\left(-u_{t-2 \Delta t}+u_{t}\right)}\end{array}\right.。$

(12)

将式(12)代入式(11)中，反复迭代求出t时刻的节点位移。

2 碰撞分析模型 2.1 碰撞仿真模型

单点系泊FPSO平台和单点系泊系统如图 1(a)所示，主尺度如表 1所示，撞击船主尺度如表 2所示。采用ANSYS软件建立有限元模型，LS-DYNA软件进行碰撞计算和后处理。为降低计算时间，将撞击船模型简化为刚性船首。平台和撞击船模型均采用SHELL163单元模拟。平台重量为24 610 t，重心在纵向上位于船后部距船中3.5 m，垂向上距基线7.6 m。

平台模型共有255 087个单元，撞击船模型有4 388个单元，如图 1(b)所示。

平台及撞击船所用钢材为船体235钢，材料本构采用线性强化的弹塑性模型，相关的参数为：材料密度为7 850 kg/m³，弹性模量为206 GPa，泊松比为0.3，硬化模量1.18 GPa。考虑到碰撞的应变率作用，钢材本构采用Cowper-Symonds模型，其本构方程为^[13]：

$ \frac{\sigma_{0}^{\prime}}{\sigma_{0}}=1+\left(\frac{\dot{\varepsilon}}{D}\right)^{\frac{1}{q}}。$

式中:σ₀为材料的静屈服应力; σ′₀为塑性应变率$ \dot{\varepsilon}$对应的动屈服应力; D和q为影响系数，对于船用钢，D取40.4，q取5；材料硬化模量为1 180 MPa，屈服应力为235 MPa，失效应变为0.35。

2.2 系泊系统铰接模拟

本文将平台主船体与系泊装置作为多体系统考虑，在YOKE端部采用铰支，比一般碰撞问题中铰支或固支的单一主船体模型更为真实，在数值模拟方法上也更为复杂。系泊系统包括MSS、连接臂和YOKE，各构件之间以球铰相连。为了模拟构件间的球铰连接，建立如图 2所示的模型，在构件端部增加圆锥面，使得两构件的连接集中于一点，采用Couple命令耦合两端点的平动自由度。这样，实现了构件端点处所有平动运动一致、转动不受限制，且其他部位互不影响的目的，简便地模拟了系泊装置的铰接。

2.3 碰撞场景设置

根据DNV-OS-A101给出的碰撞分析要求，给定排水量为5 000 t的撞击船以2 m/s的速度垂直于平台舷侧碰撞，撞击位置为船体后侧距船中15.2 m的堆舱处。

3 碰撞分析 3.1 碰撞力分析

图 3对比了有、无系泊条件下碰撞力与撞深的关系曲线。由于系泊系统的约束作用，有系泊工况的最大碰撞力比无系泊大13.2%(1.4 kN)，极限撞深大1.86%(0.007 7 m)。在曲线后半段(撞深0.3~0.45 m)上，两种工况的卸载路径均与相应的加载路径不同，说明碰撞力和撞深的关系具有路径相关性。

图 4展示了有、无系泊工况碰撞力随时间的变化趋势。由于碰撞中存在着大量的接触非线性，碰撞力经历多次加载和卸载过程，呈现反复波动的特征。碰撞力在0.36~0.76 s内显著下降，后又急剧上升。这是因为0.36 s之前，只有形状尖锐的撞击船上部与平台碰撞，接触单元的应力较大，碰撞力也因此较大；0.36~0.76 s内，撞击船上部因挤压发生形变，接触面积增大，应力也随之减小，碰撞力呈下降趋势；0.76 s后，撞击船下部球鼻艏也开始与舷侧接触，加速度急剧上升，使得碰撞力曲线呈上升趋势。1.3 s后，平台和船仍沿原方向运动，但彼此分离，碰撞力也随之降低。此外，对比两种工况的曲线情况，在0~1.3 s内，两种工况的曲线基本重合，说明此阶段系泊作用还未显现；在1.3 s后的碰撞力卸载阶段，无系泊工况的碰撞力直接降为0，而系泊工况降为0.25 kN(约为最大碰撞力的2%)左右并维持了约2.89 s，即有系泊工况的碰撞持续时间比无系泊长120%。

3.2 多体系统能量分析

图 5比较了两种工况下平台舷侧外板和实肋板能量吸收的比率(结构变形吸收的能量与总能量的比值)。两种工况的同一舷侧结构在撞深0.1 m范围内吸能比率几乎相同；在0.1~0.4 m内，系泊工况比无系泊的吸能比大0.1%~0.9%；在最大撞深处，前者比后者大0.8%。撞击船的初始动能通过碰撞力做功，转化为平台的动能和舷侧构件的势能(即吸收的能量)。在系泊系统的约束作用下，碰撞强度和持续时间的增加导致碰撞力做功变大，因此舷侧构件的吸能比率也相应提高。对比同一工况的不同舷侧结构，舷侧外板的吸能比率比实肋板大2%~4%，在最大撞深处有、无系泊工况的舷侧外板吸能分别为15.3%和14.4%，实肋板吸能分别为12.6%和11.6%。舷侧板由于较大的膜拉伸变形，吸能较大，成为第一吸能构件，而实肋板因弯曲变形较小，吸能相对较少。

3.3 平台运动响应分析

如图 6所示，碰撞结束时有系泊工况的横荡速度大于无系泊，分别为0.37和0.26 m/s，大约是撞击船初始速度2 m/s的18.5%和13%，而纵荡和垂荡速度均小于0.03 m/s，说明相当一部分初始动能转化为平台在Y方向的动能，X、Z方向的平动影响很小。

图 7中显示，在有、无系泊工况下横荡位移均最大，碰撞结束时达到1~1.5 m。而垂荡和纵荡位移在0.12 m以下，分别为横荡的7.19%和10.87%、4.77%和1.3%，说明在垂直舷侧碰撞中，平台最主要的运动是横荡，然而由于碰撞力的偏心作用，平台发生弯曲变形，产生了少量的垂荡和纵荡位移。

在Y方向上，一方面，有系泊状态的碰撞强度更大、持续时间更长，因此平台重心的横荡位移较大。在图 7中，1.5 s后有、无系泊工况的横荡位移近似线性地增加至1.53和1.03 m，前者始终大于后者，并比后者高48.50%。另一方面，系泊系统对平台的整体偏转有限制作用，平台艏、尾位移远小于无系泊状态。图 8显示，有系泊的艏、尾位移在3 m以下，仅为无系泊工况的25%。

无系泊状态下的碰撞过程可近似看做二维碰撞，如图 7所示，垂荡位移只有0.0137 m，远小于X、Y方向的位移，可忽略不计。而在有系泊工况下，由于多体系统间的作用，平台在三个方向上的运动相互影响，因此纵荡和垂荡幅值分别降低和提高，导致碰撞扩展到三维空间。图中显示，在X方向，有系泊工况的纵荡位移始终小于无系泊工况，最大值为0.073 m，比后者低34.29%；在Z方向，垂荡位移则一直大于无系泊，在碰撞结束时上升到最大值0.11 m，是后者的8.1倍。

在图 9中，平台在横摇、纵摇和艏摇角速度幅值在0~0.06 rad/s，由此判断，仅有少部分初始动能转化为平台的转动动能。其中纵摇角速度在零值附近波动，并且幅值极小，可忽略不计。与无系泊工况不同，有系泊工况横摇和艏摇的变化趋势近似正弦曲线，有一定的周期性。

在图 10中，两种工况均是艏摇角度最大，横摇和纵摇角度幅值分别为艏摇的53.51%和14.11%、19.92%和2.78%，说明平台三个方向的旋转运动都比较明显，而艏摇最为剧烈。

与平动位移类似，系泊系统极大地限制了平台的艏摇运动，同时平衡了纵摇和横摇运动。图 9中显示，有系泊工况的艏摇角度始终远小于无系泊，其艏摇角度在3s时刻达到最大值2.56°，比无系泊工况的12.91°小80.17%；横摇角度于1.12 s达到最大值1.37°，比无系泊工况小25.05%；有系泊工况的纵摇角度于3.75s上升至最大值0.51°，比无系泊大41.67%。

总体来看，两种工况平台的运动情况有所不同：无系泊工况下平台的运动集中在X-Y平面内，发生剧烈的横荡和小幅纵荡运动，产生明显的右倾，同时匀速地顺时针旋转；有系泊工况下平台也发生右倾，在六个自由度上的运动均有变化，其中横荡、垂荡和纵摇幅值较大，艏摇、横摇和纵荡位移明显减小。

3.4 平台运行轨迹分析

系泊条件下，平台的系泊装置是整个多体系统的重要部分，其运动状态也影响着主船体的运动。将MSS与连接臂、连接臂和YOKE的铰点定义为D和D’、E和E’，YOKE的铰支端点定义为O，如图 11所示。

图 12和13展示了铰点E和E’、D和D’的运动轨迹在3个平面上的投影，分别反应了YOKE和连接臂的运动情况。

图 12(a)和(b)显示，E和E’在Y-Z和X-Z平面上的路径完全对称，并且X-Y平面内的轨迹近似于直线(拟合度高达99%)，拟合后的关系式为y=1.04×10^-3-2.40x和y=-9.84×10^-4+2.49x，可推断YOKE在过这两条直线的竖直平面内做圆周运动。由于受撞击位置的影响，YOKE左右两侧的运动趋势不同，因此两铰点的轨迹形状差异很大。E、E’在Z方向的位移变化范围分别是-0.3~0.2 m和-0.35~0.15 m，是X、Y的变化范围的10~20倍，说明YOKE在Z方向的运动更剧烈。

D和D’与平台主船体焊接在一起，又与连接臂的端点相耦合，其运动轨迹是复杂的三维曲线，如图 12所示，其中Y方向的范围(-2~0.5 m)均为是X、Z的5倍。此外，D和D’点在X-Y平面内的轨迹关于Y轴(x=0)近似对称，即X方向位移反向，验证了3.3中的结论：连接臂对主船体的艏摇运动施加了回复力约束。

在图 14中，连接臂和YOKE(左侧OE和DE、右侧OE’和D’E’)、MSS和连接臂(左侧ED和DF、右侧E’D’和D’F’)的夹角随主船体平动和旋转运动而变化，其变化量的时程图线与正弦曲线近似。OE和DE、OE’和D’E’的曲线大致对称，变化范围分别是-1.35°~5.88°和-6.05°~0.86°；ED和DF、E’D’和D’F’在-4.98°~5.79°和-10.42°~4.23°变化，说明同侧的两个夹角同增减(变化量同号)，异侧相反(变化量反号)；两侧的连接臂和YOKE夹角变化量基本相同，而右侧的MSS和连接臂夹角约为左侧的2倍。

4 结论

(1) 单点系泊状态下的平台在船舶侧向垂直撞击过程中，碰撞强度、作用时间及极限撞深均显著增加，舷侧结构的能量吸收比率也相应提高。

(2) 系泊系统的约束作用对平台的运动响应有较大影响：横荡速度和位移显著增加，但整体偏转幅度降低(即艏尾位移减小)；出现垂荡位移，碰撞过程由二维扩展到了三维，并且在该方向上平台振动明显，速度波动较大；在系泊系统提供的回复力作用下，横摇和艏摇的角速度和角度幅值降低，沿近似正弦曲线变化。

(3) 系泊系统左右两侧的运动情况差异较大，应分开考虑。YOKE的两臂在不同的竖直平面内做圆周运动，在竖直方向运动最剧烈。连接臂在三维空间做复杂的曲线运动，其左右两侧沿船长方向交替错动，控制平台的艏摇角度。