在数学分析教学中，数学概念的教学是数学理论教学不可或缺的环节。王光明教授指出：“数学概念是构筑数学大厦的基础，数学概念教学在提升数学改革效率中有着重要的地位和作用。”^[1]而落实数学概念的教学必须做好数学语言的分析和定义，由于数学概念的定义主要是运用数学语言特别是符号语言来表述的，数学语言是学生认识数学知识最重要的载体之一，是数学概念描述最重要的手段，是数学理论推理的工具。苏联数学教育家斯托利亚尔明确提出, 数学教学也就是数学语言的教学。由此可见，学习数学概念的过程就是数学语言不断形成、不断内化、不断运用的过程。学生对数学语言的理解是对数学分析中概念理解的前提和必要条件。数学思想和数学知识的表达、交流、传播及创建离不开数学语言。

数学分析概念中的数学语言历来被学生视之为认知瓶颈。实际上对它加以归类就可以知道，这些数学语言分为抽象性数学术语和形象性数学术语，例如概念、术语等就是抽象性的，而符号、图形等却可以归结为形象性数学语言。我们还可以将数学语言定义为符号类语言、图形类语言、文字表达性语言。如此众多的类型并不增加数学语言的理解难度，相反，它因为用不同的形式体现出来数学语言的特性，让本来复杂的、难以理解的数学变得容易和浅显。数学概念体现了数学语言的本质性、严密性、科学性、逻辑性、完整性；符号和式子则反映出方便性、简易性、工具性的特色，为学生理解数学分析的本质提供了捷径，帮助了学生对数学分析的认知；图形类则更是直观形象地将数学分析的特色和内涵展现在学生的面前，它更为直观、便于记忆、有助运算。总之就如大家通常所理解的数学语言既具有抽象性，还具有逻辑性，同时也具有科学、简洁和通用的特性。之所以学生对学习数学有恐惧心理，一是数学语言本身的抽象性，二是教师对数学语言教学的忽视，没有把数学语言的方便性、简洁性、直观性、形象性等特点展示给学生。当然学生对数学语言的敏感性差异也是阻碍学生顺利解决数学分析问题的原因之一。有些对数学语言敏感度较差的学生，课堂上其数学思维显得缓慢而无章法，数学语言之间的转换既不自然也不流畅，从而造成对数学概念接受、处理的迷茫与困惑。笔者长期奋战于教学实践第一线，深深感到，不解决数学语言问题，数学分析教学就犹如沙滩上的房屋，缺乏根基，而如果解决了数学语言的教学问题，那么数学分析教学就会走上高速公路，起到事半功倍的效果，为高校数学教学插上飞翔的翅膀。

荷兰数学家和数学教育家指出了数学教学中语言有失规范的问题。^[2]陈永明教授研究了数学课堂教学中语言问题的重要性和目前的不良现状。^[3]1-6依据他们的发现，结合笔者在大学的教学实践，大学数学分析教学中数学语言教学存在的问题也不容乐观，特别是在概念学习过程中存在的问题更为突出。究其原因在于没有把概念和数学语言的深层关系在头脑中构建起来，从而导致种种错误。首先，这些错误表现为学生无法识别数学符号表面的基本性质及含义，更无法体验符号深层所表达的意义，如$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{n}{{{n^2} + {k^2}}}} $就是用符号语言表达极限的计算问题，学生不能从该表达式中挖掘出隐含的“无限和”的含义，因而就不能给出正确的解题思路。其次，教师和学生不能顺畅地进行符号语言的相互转换，它包括文字语言、符号语言、几何语言之间的相互转换。不会数学语言的转换，就无法用不同的数学语言表达同一概念，灵活地用不同的表达式解决相关问题，给出一题多解的解题思路，发散思维得不到培养。再次，教师无法构建和组织数学语言，在数学分析概念的教学中，经常会出现构建数学语言来表达所研究的对象，如导数的定义就是构造性的定义。实际上数学分析在解决问题的过程中，经常会出现构建数学符号，如构建函数、构建数列等，当然这个过程对学生来讲有一定的难度，主要原因在于数学思维不够健全。最后，无法运用数学语言进行正确推理，如学生在学习数列极限的定义时，由于对关键性的符号无法深入理解，因此在采用“适当放大法”“限制变量法”证明数列的收敛性问题时困难重重，更为后续其他相关问题的解决埋下了隐患。

针对以上问题，教师应该及时采取积极有效的措施予以解决，绝不能任其长期发展下去，让它影响学生对数学分析课程学习的效率及后续课程和其他一些专业课程的学习，甚至将来从事教学工作后对自己的学生造成意想不到的消极影响。因此，作为教师就要客观地面对当前数学语言问题严重的教学现状，在分析主客观原因的基础上，带领学生消解现存的问题，提高教育教学质量。为此，我们要创造条件，坚持以学生为主体，师生互动，在培养学生学会数学交流上狠下功夫。根据数学语言的特点及教学要求，结合数学分析概念的教学经验，探讨数学分析概念教学中如何进行数学语言教学，采取积极的教学策略，指导学生把数学语言内化到自己的语言系统中去，学会对数学问题进行阅读、理解、转换和操作，克服学习数学语言过程中的重重困难，学好数学分析这门专业基础课。

在数学分析教学中，把运用数学语言的能力，作为“双基”的核心部分来要求，牢固树立数学语言意识。作为教师教育基础理论的数学语言学和应用数学语言的基本功训练，不应再忽视下去了。目前数学分析教学中浮躁和所谓的新潮教学方法严重干扰了师生的基本功训练，使缺乏数学语言素质的人大大增多，造成数学分析教学中的许多障碍。故此，我们应该充分运用数学语言特征，采取各种措施，如听、说、读、写并举，促成学生数学语言意识的形成，推进数学专业学生数学语言素质不断提高。

在数学分析概念的起始阶段，数学语言的入门起着十分重要的作用。首先要结合数学分析教材的特点给学生讲解常用数学符号的来源、表述及其数学意义，指导学生正确地读和写，让学生进入数学分析中符号所表达的特定环境；其次要引导学生学会对概念定义中所用的文字语言的关键词句进行深入探究，掌握其中所表达的数学意义并能够用自己理解的语言准确叙述，养成对文字语言的数学化表述习惯；再次，引导学生在日常生活中使用数学语言，把数学语言与日常活动紧密联系在一起，让数学语言成为日常生活中的通用语言，用数学语言进行交流，进而完成数学语言的入门教学。不仅如此，在教学起始阶段，教师还应注重学生数学语言意识的形成和培养，具体做法是：第一，强化训练学生数学语言的科学性、简练性、准确性。第二，养成在数学课堂用数学语言说数学和读数学的习惯。第三，让学生在运用数学语言时充分体会数学语言的优越性，感受数学语言之美，显现数学语言之奇效，进而产生对数学语言的挚爱之情。这些正如同我们从平常的教学中可以体会到的，也就是把数学语言的特性在教学中体现出来，展示出它的科学性、简洁性、适用性等，以此为契机引导兴趣形成，感情凝结，并逐步通过由浅入深地反复训练养成运用数学语言的思维习惯。在课堂教学中，必须重视对学生阅读教材的指导，让他们在阅读教材过程中体会数学语言的美妙，理解数学语言的奇妙，观摩数学语言的简练，逐步提高学生阅读教材的能力，把阅读教材当作提升数学语言素养的基础来抓。当然，在数学语言里，符号语言是用来记录数学概念、命题和验算的^[4]347, 是数学语言的抽象语言，是各种各类文字的缩写或变形，是最难把握的数学语言。数学家梁宗巨先生指出：“一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用，他能够精确地表达某种概念、方法和逻辑关系，一个较复杂的公式，如果不用符号而用语言来叙述，往往十分冗长而且会含混不清。”^[5]134-237对于符号语言，笔者在教学中的做法是设置情景、反复演练，让学生深刻理解每一个符号所代表的数学意义。例如对于数列极限概念的定义中规范的、简练的符号语言，把极限概念中的两个无限刻画得淋漓尽致，表达了精深的数学思想，即用局部的有限表达整体的无限的数学思想。对于学生来讲，如在雾里一般，无法接受。这就需要教师在开始学习时就要从定义中所含符号的读、写、数学意义入手，让学生理解每个符号的表面含义，即“∀”来源于英文ALL第一个字母，为了区别写成倒A；“∃”源于英文Exist，取第一个字母，反写。对于“ε－N”中的ε的任意性，不等式|a_n－a| < ε才描述了数列{a_n}趋于a的无限性，从整个过程来说，正数ε是任意变化的，但是从过程的每个瞬间来说，正数ε又是固定的、有限的，如取$\varepsilon = \frac{1}{{10}}, \frac{1}{{1000}}, \cdots $，通过不等式可找出对应的N。经过反复举例让学生明白正是因为ε的两重性及不等式|a_n－a| < ε把数列极限的概念描述得既准确又简明。并能够让学生正确地书写及阅读每个符号，让每个冰冷的符号活灵活现，体现它最美的价值及最有效的功能，最终让学生达到充分理解极限概念并能熟练运用概念证明数列极限的目的，为后续的连续、导数、积分等概念的极限式的引入奠定良好的基础。

客观对象在一定条件下，可以从一种状态转变为另一种状态。客观对象系统的状态及其可能变换，正是数学研究的涉猎范围，只有用数学的形、数或别的数学语言来描述和刻画它才最为确切。所以，学生要养成在看待具体数学概念、理解数学概念时，具有自觉、鲜明的状态意识和状态变换意识的习惯。^[6]数学语言虽然有简洁性、科学性、适用性，但是它和我们日常生活中的语言还有一定差距。我们习惯了日常生活中的语言表达方式，感受到它的适用性，体会到它的亲切和美妙，养成了用日常生活语言思维、思考、表达的习惯，对于其他类型的语言我们都有一定的排斥。因此，将数学语言转化为我们日常的普通语言就成为完成数学分析概念教学的首要任务，这两者之间实际上有着非常微妙的联系，将数学语言转化为普通语言关键在于让它在现实生活中找到借鉴，由此去理解抽象的数学概念，并以此为契机将数学概念的结论能够自如地运用。如一致连续的定义用数学语言表达出来抽象难以理解，但可用普通语言表达为函数所表示的曲线不能“太陡”，学生就容易理解且接受，但注意它只能起到理解概念的作用，没有可操作性。用几何语言即图形语言也可以直观理解一致连续的概念，但同样没有可操作性。可这两种语言对学生理解一致连续起到了关键性的作用。教学实验证明，能将数学语言顺利转化为普通语言的数学分析概念教学，学生对所涉及的概念理解就非常到位，印象会十分深刻。同样将普通语言可转化为数学语言，数学语言以数学符号作为其主要载体，合适的符号揭示了数学抽象创造的本质，同时也与一定的自然现象、自然规律紧密相连，这就为将数学语言转化为普通语言奠定了基础。例如与变化率有关的事物，就抽象出导数的概念；与几何及物理有关的事物就抽象出黎曼积分。同样数学语言内部相互转化，即文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化。如在学习上确界概念时，学生对上确界定义：对于∀α < η, ∃x₀∈S, x₀>α的理解经常出现障碍，那么就利用符号的相互转换，用另外一个表达式∀ε>0, ∃x₀∈S, x₀>η-ε通过逐句分析探讨让学生明白二者之间的等价关系即a=η-ε，新的表达式既有利于学生对上确界概念的理解，又与后续的极限概念建立了关联，这样就可以灵活地用不同的表达式表述同样的问题，给出一题多解的解题思路，培养了学生发散思维的意识，并对后续上确界概念的应用奠定了良好的基础。总之，课堂上经常进行数学语言的转化训练，有利于教师与学生对数学分析概念的理解与掌握，教师应该把握训练的严谨性，十分准确地指导学生进行数学语言的转化，并灵活地展现数学语言转化的条件及其转化的奇妙过程和结果，让学生对数学语言的转化产生好奇心，引导学生把这种好奇心落实在课堂学习的实际行动中，转化成学生学习数学语言的动力。活学活用是数学分析课堂教学的基本特点，其核心就体现在教师与学生对数学语言的转化能否顺利，转化完成后能否固化，转变为思维习惯。如果达到了这样的教学效果，那么学生对数学分析知识的辨别能力就会大大提高，学习数学分析的兴趣也会大为增加，运用数学分析概念、数学语言解决问题的动手能力也相应增强。

教学实践的经验告诉我们，数学分析概念和数学语言的形成一定有三个相对应的过程，即逻辑过程、心理过程及教学过程。这三个过程存在着不可分割的联系，其中逻辑过程揭示了数学概念和语言的各种逻辑关系，让学生从整体上认识和理解数学分析概念和语言的本质特征；而心理过程则是学生从了解到认识再到掌握数学概念和语言的一个认知过程。这种认知因人而异、因时而异，教师只有指导学生顺利完成这一复杂而微妙的过程，才能让学生真正理解数学概念和语言的魅力，体会到数学概念和语言历史的核心实质，掌握数学概念和语言的运用技能和技巧；教学过程则重在强调数学概念和语言学习过程中的师生互动，重在教师的灵活引导，根在学生的扎实训练，这一过程的顺利完成将会为数学分析概念和数学语言教学任务完成奠定扎实的基础。教师在数学分析概念教学中引导学生抓住概念中的数学语言的核心词句，反复推敲，充分让学生领略数学语言的特点，领会数学语言的定义性能和延伸性能，明确关键词句之间的依存和制约关系即逻辑关系，从而创造性地学习数学分析。人类思维的发展一般都是由形象思维到抽象思维，再由抽象思维到辩证思维。^[7]数学分析的每个数学符号和规则都有其对应的现实背景，如果从背景出发来研讨数学概念中的关键词句，丰富学生对概念的数学表象，那就可以快速理解并掌握概念。如学生在学习定积分概念时知道了定积分是“和式”的极限，用表达式$\mathop {\lim }\limits_{\left| T \right| \to 0} \sum\limits_{i = 1}^\infty {f\left( {{\xi _i}} \right)\Delta {x_i} = \int_a^b {f\left( x \right)dx} } $来表达，即也可以用极限定义的“ε－δ”来刻画。由于该表达式的复杂性, 学生对于定义中的关键词ε与δ无法理解，这时教师就应该反复举例，用不同的具体的划分表达出相应的δ，从具体数字到抽象符号，让学生真正明白定积分实质上也是连续求和，其符号“∫”是summa(和)第一个字母s拉长后的结果，通过极限把离散量的和转化为连续量的和，并同时给出各种不同的表达式来演绎概念，既给出相似的表达式，又给出相反意义的表达式，也就是既有原命题，又有否命题等各种变形。抓住了关键，学习就有了劲头，在数学分析概念学习中指导学生经常对关键词句进行推敲变形，帮助学生理解数学语言的逻辑关系，促成学生理解概念并能熟练地掌握它们的各种用法，这也对后续的理论知识理解和应用有着非常重要的意义。

数学语言中的符号语言在数学概念中有着极其重要的作用，它几乎就是数学学科发展的动力所在，在数学语言中具有简练性、通用性和直观性的特点，它是人类思考数学问题、发展数学思维的一种独特的、专业的、有效的语言表达方式。数学的有效能力来自数学符号，美国数学家怀尔德(L.Wilder)指出，整个数学的一个重要特征就是对新的更合适的符号的不断追求，合适的符号系统的建立为数学发展创造了一个具有“遗传特性”的力量。在数学分析概念教学中，出现或者引用新的数学符号，教师必须首先搞清它的本质意义，弄清它的来龙去脉，考察它的转化方式，然后清楚地向学生加以引介，指出该符号所代表的具体模型，让学生感受和体会该符号的形象意义和特点，进而根据定义对该符号进行理性分析。例如在学习无穷级数概念时，先引入数学史上重要的例子——古希腊伊利亚学派的芝诺提出的“阿基里斯永远追不上他前面的一只乌龟”的悖论，来说明“无穷”的意义，用故事将数学分析概念中的数学语言活化，让学生对无穷和产生十足的兴趣，此后引出无穷级数的概念及所引用的符号$\sum\limits_{i = 1}^\infty {{u_n}} $，该符号简明、意义明确，接着教师可以用无穷级数理论来推翻芝诺的逻辑悖论，获得正确的结论，这就实现了在趣味中教学的目标。数学符号语言具有简明、直观、准确等许多优点，要求学生对符号语言具有相当的理解能力，善于将简约的符号语言译成一般的数学语言，从而有利于问题的转化与处理。例如在引入微分概念时，学生对dy的数学意义一时间难以理解，教师可以在课堂上穿插微分的来源，综述历代中外数学家千辛万苦的努力过程，从最早的流数述到差的计算再到点主义，后来又称为“d主义”，也就是d意味着差，让学生明白dy就表示相邻两个实数y的差。既学习了数学史，培养了兴趣，也懂得了符号的数学意义，为理解微分概念的本质属性做好了准备，提高了效率。

数学概念教学中离不开数学语言的教学，数学语言的教学脱离不了数学分析课程的大环境，它与数学教学理念、教学方法、教学目标都紧密相关。教师在教学中要有意识地归纳学习技巧和方法，提炼学习策略和思维方法，特别是加强思维方法训练融化于数学分析教学的全过程，融合于数学语言教学的每个环节，日积月累，就能在数学分析概念教学中收获细节、收获思想、收获技巧，就会学会数学思维，特别是辩证思维方法，科学的方法蜕变升华为科学思想。如在积分概念的定义表达式$\mathop {\lim }\limits_{\left| T \right| \to 0} \sum\limits_{i = 1}^\infty {f\left( {{\xi _i}} \right)\Delta {x_i} = \int_a^b {f\left( x \right)dx} } $里就隐含了许多的数学思想，如离散量的和$\sum {f\left( {{\xi _i}} \right)} \Delta {x_i} $与连续量的和${\int_a^b {f\left( x \right)dx} } $通过极限符号$\mathop {\lim }\limits_{\left| T \right| \to 0} $利用辩证的联系观点把它们联系在一起，实现了从熟悉的局部到不熟悉的整体变化、计算值的近似到精确的飞跃，完成了定积分概念的建立。这些问题的研究解决，将使数学语言框架充实和丰满起来，使得数学分析概念的教学和数学语言的运用灵动超俗，将深奥转化为简约，将僵化变为灵活，将复杂变为简单，将陌生变为熟悉，这就为学生辩证思维创造了空间，开拓了道路。

数学语言的组织能力是指学生接收数学语言信息时，能够有效地进行筛选、整合、存储、加工等，得到有价值的信息。数学语言只有力求达到组织的有序化，才能使学生的创新思维清晰化、层次化、系统化，数学分析概念的教学是按照一定的程序展开的，无论是教材内容的逻辑性还是学生的认知性，都有一定的顺序。因此，要求教师组织教学时一定要按照顺序，依据内容，结合学生的认知规律和特点，由浅入深、由表及里、循序渐进地设计出一种内涵丰富、外延饱满的阶梯形的课程规划，在引入新的数学分析概念时要根据所研究的对象找出合适的切入点，把握提出问题的时间点，恰如其分地突破问题，有效地承接前后知识，积极引导学生把待解决的问题用简练的数学语言完整地表述出来。这样的数学语言教学过程必然是指向具有明确性、思路具有明晰性、内在具有逻辑性等特点，可以让学生在轻松愉快中获得知识，达到良好的教学效果。因此，只有有效地组织数学语言教学，才能达到培养学生分析问题、解决问题的能力，同时也给学生提供了美丽的思维方法及广阔的思维空间，提高学生数学语言组织的能力。

在数学分析概念教学中，培养学生正确、熟练地应用数学语言的能力，实在是太重要了。重视概念中数学语言的入门教学，让学生学会数学式的交流与沟通；注重概念中数学语言的相互转化，有利于培养学生的发散思维。要善于推敲概念中数学语言的关键词句，使学生学会创造性地学习等。通过对数学语言的教学，让学生养成严谨的学习态度、规范的学习方法、有理有据的学习策略，提高学生分析问题和解决问题的能力。当然，学生的数学语言表达能力的培养，不是一个概念教学就能解决的，更不是一朝一夕的事情，而是在数学分析概念及理论教学中要进行长期的培养和训练。教师要从学生入学开始，就对学生的数学语言进行有计划、有目的、有步骤的培养和提高，对不同年级的学生根据教学内容、学生的年龄特征分层要求，要把培养学生的数学语言表达能力，贯穿于整个数学分析的教学中。因此，也要求学生在整个数学分析概念学习和研究的过程中，一定要以语言思维为主要思维，而数学语言思维尤为重要，进而养成数学学习习惯、数学语言运用习惯、数学思维习惯。