引言

分数阶微分方程被视为非线性微分方程的替代模型，作为有效的数学建模工具之一，在对物理学、生物学、信号处理、控制理论、系统识别等科学领域的非线性现象进行数学建模的过程中发挥了重要作用。^[1-3]此外，分数阶微分方程还被用于社会科学领域，如气候、金融和经济学^[4]，是研究的热点内容之一。越来越多的研究者致力于寻找分数阶微分方程的解析解或精确解，并提出了一些有效的求解方法，如分数阶Adomian分解法^[5]、变分迭代法^[6]、有限差分法^[7]、首次积分法^[8]、分数阶子方程法^[9-11]、指数函数法^[12-13]、(G′/G)-展开法^[14-15]等。

Li和He^[16-17]提出了一个分数阶复变换，可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程，使求解过程变得简单。最近，分数阶复变换已经被用于处理具有修正Riemann-Liouville导数^[18]的分数阶微分方程向整数阶微分方程的转换，转化后的方程可以通过符号计算系统Maple来求解。本文将分数阶复变换与(G′/G)-展开法^[19]相结合，得到了如下时空分数阶Cahn-Hilliard方程^{[4, 20]}新的精确解

$ D_{t}^{\alpha }u-\eta D_{x}^{\beta }u-6u{{\left( D_{x}^{\beta }u \right)}^{2}}-\left( 3{{u}^{2}}-1 \right)D_{x}^{2\beta }u+D_{x}^{4\beta }u=0, 0 < \alpha, \beta \le 1, $

(1)

其中:u=u(x, t)，η为任意非0常数。

1. 分数阶微积分定义

分数阶微积分研究提出了许多种定义，目前最常使用的3种是：Caputo定义、Grünwald-Letnikov定义^[21-22]和Riemann-Liouville定义。

定义1(Caputo分数阶导数定义^[21])   对于正实数α, 令n-1＜α≤n，函数f(x)为定义在区间[a, b]上的可积函数, 则f(x)的α阶Caputo分数阶导数为

$ _{a}^{c}D_{x}^{\alpha }f\left( x \right)=\frac{1}{\mathit{\Gamma }\left( n-\alpha \right)}\int_{\alpha }^{x}{\frac{f^\left( n \right)\left( \xi \right)}{{{\left( x-\xi \right)}^{\alpha-n+1}}}d\xi, } $

(2)

其中:Γ(x-α)是伽玛函数, 其广义定义为

$ \mathit{\Gamma }\left( x \right)\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-y}}{{y}^{x-1}}dy, } $

(3)

且满足Γ(x+1)=xΓ(x), 则当n∈N时，有Γ(n)=(n-1)！。

定义2(Riemann-Liouville分数阶导数定义^[21-22])   对于正实数α和a，令n-1≤α＜n，函数f(x)为定义在区间[a, b]上的可积函数，则f(x)的α阶Riemalnn-Liouville分数阶导数为

$ _{a}D_{x}^{\alpha }f\left( x \right)=\frac{1}{\mathit{\Gamma }\left( n-\alpha \right)}\frac{{{d}^{n}}}{d{{x}^{n}}}\left( \int_{a}^{x}{\frac{f\left( \tau \right)}{{{\left( x-\tau \right)}^{\alpha-n+1}}}d\tau } \right)。 $

(4)

Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数为^{[18, 23-24]}

$ D_{x}^{\alpha }f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} &\frac{1}{\mathit{\Gamma }\left( 1-\alpha \right)}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}{{{\left( x-\xi \right)}^{-\alpha }}\left( f\left( \xi \right)-f\left( 0 \right) \right)d\xi, 0 < \alpha < 1, } \\ &{{\left( {{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right) \right)}^{\alpha-n}}, n\le \alpha < n+1, n\ge 1, \\ \end{align} \right. $

(5)

且具有如下性质^[24]

$ \ \begin{array}{c} d^{\alpha}x\left( t \right) =\varGamma \left( 1+\alpha \right) dx\left( t \right), \\ f^{\left( \alpha \right)}\left[x\left( t \right) \right] =\frac{df}{dx}x^{\left( \alpha \right)}\left( t \right), \\ D_{x}^{\alpha}x^{\beta}=\frac{\varGamma \left( 1+\beta \right)}{\varGamma \left( 1+\beta -\alpha \right)}x^{\beta -\alpha}。\\ \end{array} $

(6)

Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数具有Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数二者的优点，可成功应用于分数阶拉普拉斯问题^[25]、概率演算^[26]、多变量的分数阶变分法^[27]、分数阶变分迭代方法^[28]和自然边界条件的分数阶变分法^[29]等。

2. (G′/G)-展开法概述

给定时空分数阶偏微分方程

$ P\left( u, \ D_{t}^{\alpha}u, \ D_{x}^{\beta}u, \ D_{t}^{2\alpha}u, \ D_{x}^{2\beta}u, \ ... \right) =0, \ \ 0 < \alpha, \beta \le 1, $

(7)

其中:u=u(x, t)是一个关于自变量x, t的未知函数，$ D_{t}^{\alpha}u, \ D_{x}^{\beta}u, \ D_{t}^{2\alpha}u, \ D_{x}^{2\beta}u $是未知函数u(x, t)关于自变量x, t的Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数，P是u及u关于x, t的各阶偏导数的多项式。该方法具体步骤如下：

步骤1：文献[16]中，Li和He提到的一个分数阶复变换可将分数阶偏微分方程转化为常微分方程。该分数阶复变换为：

$ u\left( x, t \right) =U\left( \xi \right), \ \xi =\frac{Kx^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}+\frac{Lt^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, $

(8)

其中:K, L为任意非0常数，当α=β=1时，ξ=Kx+Lt为行波变换。

将(8) 式代入(7) 式可得如下常微分方程

$ Q\left( U, \ U', \ U'', \ U''', \ ... \right) =0, $

(9)

其中: $U' = dU/d\xi ,\;U'' = {d^2}U/d{\xi ^2},\;U''' = {d^3}U/d{\xi ^3},...$, Q是含U及U对ξ各阶导数的多项式。

步骤2：设常微分方程(9) 的解可表示为关于(G′/G)的多项式

$ U\left( \xi \right) = \sum\limits_{i = - n}^n {{a_i}{{\left( {\frac{{G'}}{G}} \right)}^i}} , $

(10)

其中：G=G(ξ)满足如下二阶非线性常微分方程

$ G''G=\lambda G'^2+\mu GG'+\omega G^2。 $

(11)

这里a_-n, …, a_n, λ, μ, ω均为待定常数。

直接求解方程(11) 可得以下3种形式的解

$ \frac{G'\left( \xi \right)}{G\left( \xi \right)}=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{C_1\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)}{C_1\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)} \right) +\\ \frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)}, \left( \mu ^2-4\left( \lambda -1 \right) \omega >0, \ \lambda \ne 1 \right), \\ \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{-C_1\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)}{C_1\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)} \right) +\\ \frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)}, \left( \mu ^2-4\left( \lambda -1 \right) \omega <0, \ \lambda \ne 1 \right), \\ \frac{1}{1-\lambda}\left( \frac{C_1}{C_1\xi +C_2}+\frac{\mu}{2} \right), \ \left( \mu ^2-4\left( \lambda -1 \right) \omega =0, \ \lambda \ne 1 \right), \\ \end{array} \right. $

(12)

其中:C₁, C₂为任意常数。

步骤3：(10) 式中的正整数n是由(9) 式中线性最高阶导数项和非线性项通过齐次平衡原理^[30]来确定的。此处假设U(ξ)的阶数为Deg[U(ξ)]=n，则其他表达式的阶数为

$ D\left( \frac{d^qU}{d\xi ^q} \right) =n+q, \ \ \ \ \ D\left[U^p\left( \frac{d^qU}{d\xi ^q} \right) ^s \right] =pn+s\left( n+q \right), $

(13)

由此即可确定(10) 式中n的值。

步骤4：将(10) 式代入(9) 式，运用关于(G′/G)的二阶常微分方程(11) 来合并(G′/G)的相同幂次项，并令(G′/G)的各次幂的系数为0, 得到一个关于未知数a_-n, …, a_n, K, L, λ, μ, ω的非线性代数方程组。

步骤5：求解上述代数方程组，将所得结果代入(10) 式，并利用(11) 式在不同情况下的通解，即可获得方程(7) 的多个不同类型的精确解。

3. 时空分数阶Cahn-Hilliard方程的精确解

结合Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数，对方程(1) 作分数阶复变换(8)，可得如下常微分方程

$ LU'-\eta KU'-6K^2U\left( U' \right) ^2-3K^2U^2U''+K^2U''+K^4U''''=0, $

(14)

其中:′=d/dξ, η, K, L是任意非0常数。

对(14) 式关于行波变量ξ积分一次，取积分常数为0得

$ LU-\eta KU-3K^2U^2U'+K^2U'+K^4U'''=0。 $

(15)

对方程(15) 应用齐次平衡原理，即平衡线性最高阶导数项U³U′和非线性项U²U′, 有3n+1=n+3，从而n=1。将n=1代入(10) 式，可知方程(1) 的解具有如下形式

$ U\left( \xi \right) =a_0+a_1\left( \frac{G'}{G} \right) +a_{-1}\left( \frac{G'}{G} \right) ^{-1}。 $

(16)

将(16) 式代入常微分方程(15) 可得关于(G′/G)的各阶幂次项，合并(G′/G)相同的幂次项，并令各次幂项的系数为0, 得到如下非线性代数方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} 3\, K^2a_{-1}^{3}\omega -6\, K^4a_{-1}\omega ^3=0, \\ -12\, K^4a_{-1}\mu \, \omega ^2+3\, K^2a_{-1}^{3}\mu +6\, K^2a_{-1}^{2}a_0\omega =0, \\ 8\, K^4a_{-1}\omega ^2+6\, K^2a_{-1}^{2}a_0\mu +3\, K^2a_{-1}a_{0}^{2}\omega +3\, K^2a_{-1}^{2}a_1\omega +3\, K^2a_{-1}^{3}\lambda -K^2a_{-1}\omega -\\ 8\, K^4a_{-1}\lambda \, \omega ^2-3\, K^2a_{-1}^{3}-7\, K^4a_{-1}\mu ^2\omega =0, \\ 6\, K^2a_{-1}^{2}a_0\lambda -6\, K^2a_{-1}^{2}a_0+8\, K^4a_{-1}\mu \, \omega -\eta \, Ka_{-1}+3\, K^2a_{-1}a_{0}^{2}\mu +3\, K^2a_{-1}^{2}a_1\mu +\\ La_{-1}-8\, K^4a_{-1}\lambda \, \mu \, \omega -K^2a_{-1}\mu -K^4a_{-1}\mu ^3=0, \\ 3\, K^2a_{-1}^{2}a_1\lambda -3\, K^2a_{-1}a_{0}^{2}+K^4a_{-1}\mu ^2-K^4a_{-1}\lambda \, \mu ^2+K^4a_1\mu ^2\omega -3\, K^2a_1a_{0}^{2}\omega -\\ 2\, K^4a_{-1}\omega +2\, K^4a_1\lambda \, \omega ^2-\eta \, Ka_0+4\, K^4a_{-1}\lambda \, \omega\\ +3\, K^2a_{-1}a_{0}^{2}\lambda -2\, K^4a_{-1}\lambda ^2\omega +K^2a_{-1}-3\, K^2a_{-1}a_{1}^{2}\omega -2\, K^4a_1\omega ^2+La_0-\\ 3\, K^2a_{-1}^{2}a_1+K^2a_1\omega -K^2a_{-1}\lambda =0, \\ -\eta \, Ka_1-6\, K^2a_{1}^{2}a_0\omega +K^4a_1\mu ^3+La_1-8\, K^4a_1\mu \, \omega +8\, K^4a_1\lambda \, \mu \, \omega -\\ 3\, K^2a_1a_{0}^{2}\mu -3\, K^2a_{-1}a_{1}^{2}\mu +K^2a_1\mu =0, \\ -3\, K^2a_{-1}a_{1}^{2}\lambda -K^2a_1+3\, K^2a_{-1}a_{1}^{2}-3\, K^2a_{1}^{3}\omega \\ -16\, K^4a_1\lambda \, \omega +8\, K^4a_1\lambda ^2\omega -3\, K^2a_1a_{0}^{2}\lambda\\ +3\, K^2a_1a_{0}^{2}-6\, K^2a_{1}^{2}a_0\mu +7\, K^4a_1\lambda \, \mu ^2+K^2a_1\lambda -7\, K^4a_1\mu ^2+8\, K^4a_1\omega =0, \\ 12\, K^4a_1\mu +12\, K^4a_1\lambda ^2\mu -3\, K^2a_{1}^{3}\mu +6\, K^2a_{1}^{2}a_0-6\, K^2a_{1}^{2}a_0\lambda -24\, K^4a_1\lambda \, \mu =0, \\ 3\, K^2a_{1}^{3}-18\, K^4a_1\lambda ^2+18\, K^4a_1\lambda -3\, K^2a_{1}^{3}\lambda +6\, K^4a_1\lambda ^3-6\, K^4a_1=0。\\ \end{array} \right. $

(17)

利用符号计算系统Maple求解方程组(17)，获得3组解：

第一组解：

$ \begin{array}{l} K=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}, \ \ L=\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}, \ \ a_0=\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}, \ \\\ a_1=\pm \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}, \ \ a_{-1}=\pm \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}。\\ \end{array} $

(18)

其中:λ≠1，μ，ω，η为任意非0常数。

将(18) 式代入(16) 式可得

$ U\left( \xi \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm \frac{2\left( \lambda-1 \right) \left( \frac{G'}{G} \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm \frac{2\omega \left( \frac{G'}{G} \right) ^{-1}}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}。 $

(19)

将(12) 式代入(19) 式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1) 不同形式的精确解。

情形1-1   当μ²-4(λ-1)ω＞0，λ≠1时，可得双曲函数解

$ \begin{array}{l} u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm\\ \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}} \left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{C_1\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)}{C_1\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) \pm\\ \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{C_1\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)}{C_1\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 \\ \end{array} $

(20)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $, G₁, G₂是任意常数。

对于(20) 式，考虑以下两种特殊情况，可得其如下形式的孤立波解。

情形1-1-1   当C₁≠0, C₂=0时，孤立波解为

$ \begin{array}{l} u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm\\ \, \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\tanh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) \pm\\ \, \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\tanh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。\\ \end{array} $

(21)

情形1-1-2   当C₁=0, C₂≠0时，孤立波解为

$ \begin{array}{l} u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm\\ \, \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\coth\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) \pm\\ \, \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\coth\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。\\ \end{array} $

(22)

若将(21) 式中的常数分别取值为：α=0.9, β=0.23, λ=3, μ=5, ω=2, η=10，则图 1为孤立波解(21) 的三维图，其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

情形1-2   当μ²-4(λ-1)ω＜0, λ≠1时，可得三角函数解

$ \begin{array}{l} u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm\\ \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega-4\, \omega-\mu ^2}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{-C_1\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)}{C_1\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) \pm\\ \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{-C_1\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)}{C_1\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 \\ \end{array} $

(23)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}\ $, C₁, C₂是任意常数。

若将(23) 式中的常数分别取值为：α=0.504 6，β=0.006，λ=3，μ=2，ω=5，η=2，C₁=C₂=1，则图 2为精确解(23) 的三维图，其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

情形1-3   当μ²-4(λ-1)ω=0, λ≠1，即$ \omega =\frac{\mu ^2}{4\lambda-4} $时，可得有理函数解

$ \begin{array}{l} u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\pm \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{1}{1-\lambda}\left( \frac{C_1}{C_1\xi +C_2}+\frac{\mu}{2} \right) \right) \pm\\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\left( \frac{1}{1-\lambda}\left( \frac{C_1}{C_1\xi +C_2}+\frac{\mu}{2} \right) \right) ^{-1}。\\ \end{array} $

(24)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}\ $, C₁, C₂是任意常数。

将$ \omega =\frac{\mu ^2}{4\lambda-4} $代入(24) 式，(24) 式可简化为

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\pm \frac{2\sqrt{3}\left( \lambda-1 \right)}{3\mu}\left( \frac{1}{1-\lambda}\left( \frac{C_1}{C_1\xi +C_2}+\frac{\mu}{2} \right) \right) \pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\sqrt{3}\left( \lambda-1 \right)}{3\mu}\left( \frac{1}{1-\lambda}\left( \frac{C_1}{C_1\xi +C_2}+\frac{\mu}{2} \right) \right) ^{-1}。 $

(25)

其中: $ \xi =\pm \frac{\sqrt{6}}{3\mu}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \frac{\sqrt{6}\eta}{3\mu}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $C₁, C₂是任意常数。

若将(25) 式中的常数分别取值为：α=0.8，β=0.02，λ=3，μ=5，η=2，C₁=0.001, C₂=5，则图 3为精确解(25) 的三维图，其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2-8\omega +8\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}$。

第二组解：

$ \, \, \, \, \, \, K=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \ \ L=\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \\ a_0=\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \ \ a_1=\pm \frac{2\left( \lambda -1 \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}, \ \ a_{-1}=0。 $

(26)

其中:λ≠1, μ, ω, η为任意非0常数。

将(26) 式代入(16) 式可得

$ U\left( \xi \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \frac{2\left( \lambda-1 \right) \left( \frac{G'}{G} \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}。 $

(27)

将(12) 式代入(27) 式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1) 如下不同形式的精确解。

情形2-1   当μ²-4(λ-1)ω＞0, λ≠1时，可得双曲函数解

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{C_1\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)}{C_1\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) 。 $

(28)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $C₁, C₂是任意常数。

对于(28) 式，考虑以下两种特殊情况，便可获得其如下形式的孤立波解。

情形2-1-1   当C₁≠0，C₂=0时，孤立波解为

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\tanh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) 。 $

(29)

情形2-1-2   当C₁=0，C₂≠0时，孤立波解为

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\coth\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) 。 $

(30)

若将(29) 式中的常数分别取值为：α=0.9，β=0.01，λ=3，μ=5，ω=1，η=6，则图 4所示为孤立波解(29) 的三维图，其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

情形2-2   当μ²-4(λ-1)ω＜0, λ≠1时，可得三角函数解

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\left( \lambda-1 \right)}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{-C_1\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)}{C_1\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) 。 $

(31)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $C₁, C₂是任意常数。

若将(31) 式中的常数分别取值为：α=0.9，β=0.8，λ=3，μ=2，ω=5，η=28，C₁=C₂=1，则图 5所示为精确解(31) 的三维图，其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

第三组解：

$ K=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \, \, \, \, \ L=\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \\ a_0=\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}, \, \, \ \text{ }a_1=0, \, \, \ \text{a}_{-1}=\pm \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}。 $

(32)

其中：λ≠1, μ, ω, η为任意非0常数。

将(32) 式代入(16) 式可得

$ U\left( \xi \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \frac{2\omega \left( \frac{G'}{G} \right) ^{-1}}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}。 $

(33)

将(12) 式代入(33) 式，可在不同的参数约束条件下，获得方程(1) 不同形式的精确解。

情形3-1   当μ²-4(λ-1)ω＞0, λ≠1时，可得双曲函数解

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm\\ \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{C_1\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)}{C_1\cosh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right) +C_2\sinh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega -4\, \lambda \, \omega}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 $

(34)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $C₁, C₂是任意常数。

对于(34) 式，考虑以下两种特殊情况，便可获得其如下形式的孤立波解。

情形3-1-1   当C₁≠0，C₂=0时，孤立波解为

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\tanh\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 $

(35)

情形3-1-2   当C₁=0，C₂≠0时，孤立波解为

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\, \omega-4\, \lambda \, \omega}}{2\left( 1-\lambda \right)}\coth\left( \frac{\sqrt{\mu ^2+4\omega -4\lambda \omega}}{2}\xi \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 $

(36)

若将(35) 式中的常数分别取值为：α=0.8，β=0.1，λ=3，μ=5，ω=2，η=6，则图 6所示为孤立波解(35) 的三维图，其中：$ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

情形3-2   当μ²-4(λ-1)ω＜0, λ≠1时，可得三角函数解

$ u\left( x, t \right) =\pm \frac{\mu}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\pm \\ \, \, \, \, \, \frac{2\omega}{\sqrt{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega-4\, \omega -\mu ^2}}{2\left( 1-\lambda \right)}\left( \frac{-C_1\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)}{C_1\cos \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right) +C_2\sin \left( \frac{\sqrt{4\, \lambda \, \omega -4\, \omega -\mu ^2}}{2}\xi \right)} \right) +\frac{\mu}{2\left( 1-\lambda \right)} \right) ^{-1}。 $

(37)

其中: $ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)}, \ $C₁, C₂是任意常数。

若将(37) 式中的常数分别取值为：α=0.8，β=0.6，λ=3，μ=2，ω=5，η=2，C₁=2.1, C₂=0.1，则图 7所示为孤立波解(37) 的三维图，其中：$ \xi =\pm \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{x^{\beta}}{\varGamma \left( \beta +1 \right)}\pm \eta \sqrt{\frac{2}{\mu ^2+4\omega-4\lambda \omega}}\frac{t^{\alpha}}{\varGamma \left( \alpha +1 \right)} $。

4. 结语

本文利用分数阶复变换和Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数，结合齐次平衡原理，通过(G′/G)-展开法研究了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的精确解，获得了该方程含有多参数的新双曲函数、三角函数和有理函数等不同形式的精确解，且当双曲函数解中部分参数取特殊值时即可获得其孤立波解，从而丰富了时空分数阶Cahn-Hilliard方程的解系，并给出了其中孤立波解、周期波解和行波解的三维图。