有限元数值计算方法在变压器等高压电气设备的设计中的广泛应用，对缩短设备的开发周期、提高高压电气产品的质量起到了巨大的推动作用.材料参数的准确性是提高数值计算精度的前提条件.为减小铁芯的涡流损耗，变压器的铁芯通常采用硅钢片叠制而成，硅钢片的厚度一般小于1 mm，其表面涂有一层厚度小于0.025 mm的绝缘膜.在采用有限元方法分析实际变压器电磁问题时，如果将铁芯计算模型精细到片状结构，将产生海量计算数据，即使在计算机软、硬件技术得到高度发展的今天，也难以满足计算要求.在实际计算中，为减小计算量，通常忽略铁芯的片状结构，而将铁芯视为由均匀材料构成的整体^[1-2].因此，铁芯的磁导率也应该采用等效磁导率.但在实际应用中铁芯的磁导率往往采用厂家提供的数据，而这些数据是通过单片或几片硅钢片采用试验方法测出的^[3-5]，它与将铁芯视为均匀材料时的等效磁导率存在一定的差异.因此，如何得到将铁芯视为整体结构时的等效参数(磁导率)是制约数值计算精度的主要因素之一.

智能反演计算为复杂模型等效参数提供了一种有效计算方法^[6]，该方法已在岩土工程^[7-10]、地球物理^[11-13]、遥感遥测^[13-15]等领域等到广泛应用.

本文拟探索采用遗传智能计算技术，通过硅钢片的磁导率，反演计算出铁芯整体等效磁导率.

1 计算原理

智能反演计算方法是智能算法、非线性科学、系统科学、不确定性科学等交叉融合发展起来的新型边缘分支学科，反演计算也称为反问题求解.

一般电磁学问题均可表示成如下偏微分方程形式边值问题：

式中:u=u(x, t), 为微分方程的解; f(x, t)为源项; φ(x)、φ(x, t)分别为初始值、边界值；L、I、B分别为微分方程算子、初始条件算子、边界条件算子；Ω为求解区域, Γ是其边界.

当u=u(x, t)为待求量, 其余的都为己知量时，构成电磁学正问题.若u=u(x, t)可实测部分或全部值, 而算子L中某些参数未知，则构成参数反演问题.

变压器铁芯材料参数反演的基本思想是忽略铁芯的叠片结构，将铁芯视为均匀材料的整体，计算铁芯周围磁场分布为正问题；在已知铁芯周围实际磁场测量值的条件下，采用遗传等优化算法不断调整仿真模型中材料等效磁导率，使空间磁场的测量值与仿真值一致，此时仿真模型中的材料的磁导率可视为铁芯仿真计算时的等效磁导率.

本文计算原理如图 1所示.图中ψ(u)为适应度函数，ε为收敛精度.

适应度函数，也称为目标函数，是遗传算法中衡量个体优劣程度的函数，它决定个体繁殖的数量或是否消亡.在参数反演计算中，假定在磁场分布的空间取M个测量点，定义适应度函数为归一化后的各个测量点的仿真值与试验值的误差的最小二乘方程：

其中:μ为铁芯磁导率; M为采样点个数; N为待求材料参数的数量；B_k^sim为有限元仿真的磁感应强度值; B_k^exp为试验测试的磁感应强度值.

2 计算模型

从计算原理看，测量点空间磁感应强度的试验值应通过实际装置的测量来得到，由于实际变压器铁芯周围的磁感应强度测量较为困难，本文将分别建立几何尺寸相等的2套铁芯缩比模型，即精细化模型和简化模型.其中精细化模型同时考虑铁芯的叠片结构及硅钢片之间的绝缘层，并将精细化模型的计算结果作为测量值；简化模型忽略铁芯叠片结构，将铁芯视为均匀材料的整体，简化模型为参数优化提供仿真数据.

铁芯缩比计算模型如图 2所示.其中，铁芯直径为20 mm，高度为80 mm；线圈内半径为11 mm，厚度为1 mm.

精细模型与简化模型的外形尺寸相同，其区别主要在铁芯结构.图 3为精细模型与简化模型线圈中央的截面图.图 3(a)为精细模型截面，其中硅钢片厚0.8 mm，硅钢片间绝缘膜厚度0.05 mm，硅钢片相对磁导率为5 000；图 3(b)为铁芯简化模型截面，铁芯为均匀材料的整体结构，其磁导率即为待反演计算值.

3 仿真计算与分析 3.1 精细模型与简化模型磁场分布对比

根据模型的对称性，取1/8模型进行计算，如图 4所示，图中，在铁轭中间沿半径为15 mm的圆弧上取20个等间距采样点.

设硅钢片为无取向钢，相对磁导率为5 000，励磁电流密度为500 kA/m²，分别按精细模型和磁导率为5 000的简化模型计算磁场分布，图 5为铁芯及线圈的磁感应强度分布云图.

2种计算模型采样点的磁感应强度如图 6所示.

由图 6的计算结果可以看出，过铁芯柱中心与硅钢片平面对应位置磁感应强度值较为一致，但与叠片平面垂直方向2种模型的计算值存在较大的差异.因而，将铁芯视为均匀材料的整体，且用硅钢片的磁导率作为铁芯的等效磁导率时，给数值计算结果带来一定的误差.为提高数值仿真的计算精度，有必要探索铁芯整体等效磁导率的等值方法.

3.2 铁芯等效磁导率反演计算

由于硅钢片之间存在绝缘涂膜，且硅钢片之间并非理想接触，即使单片硅钢片是各向同性，叠装成铁芯后沿不同方向的磁导率也不可能相同，因此，设铁芯的等效磁导率为各向异性.

在采用遗传算法进行反演计算时，设铁芯等效相对磁导率的取值范围为

种群的大小为20，最大遗传代数为40，个体长度为20，代沟为0.95，交叉概率为0.7，变异概率为0.01.借助Matlab遗传算法工具箱和电磁场计算软件Ansys联合仿真，按图 1所示的流程，反演计算铁芯的等效磁导率.等效磁导率最优解进化过程如图 7所示.

由图 7可以看出，当进化到第35代时基本收敛，输出铁芯等效磁导率最优解为

以式(4)值作为铁芯简化模型的等效磁导率计算铁芯周围的磁场分布，采样点在精细模型和简化模型下的磁感应强度计算结果如图 8所示，计算结果表明2种模型的计算结果具有很好的一致性.

由以上计算结果可知，当忽略铁芯的叠片结构，将铁芯视为同种材料的整体时，即使硅钢片磁导率是各向同性的非取向钢，铁芯沿不同方向的等效磁导率也应存在差异，其中在与硅钢片平行方向等效磁导率与硅钢片磁导率基本相等，但在与硅钢片平面垂直的方向，等效磁导率较硅钢片磁导率大约减小2.8%.

4 结论

本文采用智能遗传算法，对叠片结构的变压器铁芯等效磁导率参数反演计算方法进行了研究，得到如下结论：

1) 采用智能遗传算法反演计算铁芯等效磁导率的方法是可行的.

2) 在变压器电磁问题的有限元计算中，铁芯采用单片硅片的磁导率参数会带来一定的误差.

3) 即使硅钢片为非取性的各向同性材料，取铁芯平行于硅钢片方向的等效磁导率等于硅钢片磁导率，与硅钢片垂直方向的等效磁导率略小于硅钢片磁导率，可有效提高有限元法计算的精度.