引言

人类对自然界的认识总是从特殊的简化现象出发, 逐渐拓宽进而寻找更普遍的复杂现象中的规律.随着人类认识自然界的深入, 从简化情形向普遍真实情形的跨越是一个必然的过程.人类对湍流的认识也是如此.对于自然界中普遍存在的流动, “定常”“各向同性”“均衡”等假设都属于特殊简化, 而实际的流动通常是“非定常”“各向异性”“非均衡”的形态.多年来在应用中考虑“非定常”和“各向异性”, 已经在越来越多的问题中被证明是极其重要的.然而, 由于困难性和复杂性, 湍流“非均衡性”这一相当普遍的能量传输特性, 迄今仍是一个较新颖的研究课题, 甚至“非均衡(non-equilibrium)”(注:有的学者也称之为“非平衡”)还未能成为一个被大家熟知的名词, 对非均衡的定义和理解也都尚未统一.经典的Richardson-Kolmogorov能量级串理论已经在大量的实验及数值模拟中得到了验证, 并作为湍流的基础理论, 极大地推动了湍流研究的发展.但是, 近年来在实验及直接数值模拟(direct numerical simulation, DNS)中多次观察到了与Richardson-Kolmogorov能量级串理论不相符的现象, 这种新现象打破了Kolmogorov理论中最重要的均衡假设, 引起了对非均衡湍流的研究热潮.本文即致力于介绍近年来对非均衡湍流的相关研究, 并对未来的研究方向进行了展望.

本文第1部分将简要介绍经典的Richardson-Kolmogorov能量级串理论及其主要推论.第2部分将回顾验证Richardson-Kolmogorov均衡能量级串理论的相关实验和数值模拟结果, 主要采用耗散系数${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$作为主要的评价湍流能量传输的物理量, 引出非均衡湍流及其对应的耗散标度律.第3部分将讨论采用流向速度梯度扭率S_k来描述湍流非均衡性的相关工作.第4部分将介绍采用Lagrange速度梯度自相关方程来描述复杂湍流中非均衡性的新尝试.

1 Richardson-Kolmogorov能量级串理论

经典Richardson-Kolmogorov能量级串理论^[1-4]在湍流研究中一直被认为是最重要、最基础的理论.该理论做了如下假设: (1)在高Reynolds数湍流场中, 湍流尺度范围很宽广, 且在惯性区内湍流为各向同性的, 并处于均衡状态; (2)在惯性区, 能谱E(k)由耗散律$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$决定, 与黏性系数ν无关^[5].并且描述了湍动能的传输过程, 湍动能从大尺度向小尺度传输, 在小尺度通过黏性作用耗散为热能, 在惯性区形成满足k^-5/3标度律的能谱, 其中k为波数.并且假设在惯性区能量的传输应与耗散平衡, 从而可以得到均衡湍流的耗散标度律

$ \mathit{\boldsymbol{\epsilon}} = {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}{\mathcal{U}^3}/{\cal L} $

其中, $\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$为湍动能${\mathcal{U}^2}$的耗散率, ${\cal L}$为积分尺度, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为耗散系数.值得注意的是, 能谱的k^-5/3标度律是能量分布尺度间的相似性假设的结果, 而在惯性区能量传输与耗散的均衡关系则是描述能量传输过程的假设, 这两者共同组成了Richardson-Kolmo-gorov能量级串理论.从能谱的演化角度来看, 前者是一个瞬时结果, 而后者则意味着前者的瞬时性可以延伸到更长时间.从量纲分析的角度可以对${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的物理意义有更清晰的理解.根据Richardson-Kolmogo-rov能量级串理论, 湍动能从大尺度含能涡向小尺度传输, 并在小尺度耗散.大尺度含能涡所含有的湍动能应与${\mathcal{U}^2}$同一量级, 能量从大尺度传输到小尺度所需的特征时间应与L/${\mathcal{U}}$同一量级, 所以${\mathcal{U}^3}$/${\cal L}$应与能量的传输率为同一量级.因此${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$表征了耗散率与传输率之间的比, 实际上反映的是能量传输与耗散之间的关系.

为了定量描述能量在尺度间的分布及其传输规律, 需要寻找一个可以描述不同空间位置不同尺度能量的量, 2阶结构函数〈|δu|²〉即是一个合适的选择, 其中|δu|²=δu_iδu_i, δu_i=u_i(x+r/2, t)-u_i(x-r/2, t)为两点间的速度增量.粗略来说, 〈|δu|²〉代表了尺度$r = \sqrt {{{\left| \mathit{\boldsymbol{r}} \right|}^2}}$上的湍动能^[6]. Hill^[7]通过不可压缩Navier-Stokes方程推导出了通用的2阶结构函数输运方程, 即没有引入均匀及各向同性假设的Kármán-Howarth方程.随后Marati等^[6]、Danaila等^[8]和Valente等^[9]也得到了类似的结果:

$ \begin{array}{l} \frac{{{{\rm{D}}^ * }}}{{{\rm{D}}t}}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle + {\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}}\left\langle {\left( {\delta \mathit{\boldsymbol{u + }}\delta \mathit{\boldsymbol{U}}} \right){{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle = \\ \;\;\;\;{P^ * }{\rm{ + }}{T^ * } + {D^ * } + \mathit{\boldsymbol{v}}\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}^2\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle - 4{\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^ * } \end{array} $

(1)

其中, 应用Reynolds分解将速度分解为平均速度和脉动速度, 记为U+u, D^*/(Dt)为Lagrange导数算子，定义为${{\rm{D}}^ * }/\left( {{\rm{D}}t} \right) \equiv \partial /\left( {\partial t} \right){\rm{ + }}\left[ {U\left( {{\xi _ + }} \right) + U\left( {{\xi _ - }} \right)} \right]/$ $2 \cdot {\nabla _\mathit{\boldsymbol{x}}}, {\xi _ + } \equiv \mathit{\boldsymbol{x}} + \mathit{\boldsymbol{r}}/2, {\xi _ - } \equiv \mathit{\boldsymbol{x}} - \mathit{\boldsymbol{r}}/2$. P^*是平均流及Reynolds应力带来的生成项, T^*是速度、能量及压力脉动由于x空间湍流输运作用带来的输运项, D^*是x空间的黏性扩散作用带来的扩散项.倒数第2项是r空间的黏性扩散项, 最后一项为${\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^ * } = \left( {\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}\left( {{\xi _ + }} \right)} \right. +$$\left. {\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}\left( {{\xi _ - }} \right)} \right)/2$.各项的具体表达形式及详细物理意义可参见文献[9].

现在考虑高Reynolds数流动, ${\cal L}$小于x空间中物理量随空间变化的特征尺度或者与其相当的区域.由于Reynolds数较高, x空间的黏性扩散项D^*可以忽略, 在远离含能尺度区域, 湍流处于局部均匀状态.所以在高Reynolds数r＜${\cal L}$条件下, 方程(1)可以简化为

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle + \mathit{\boldsymbol{U}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) \cdot {\nabla _x}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle + {\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle = \\ \;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{v}}\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}^2\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle - 4\mathit{\boldsymbol{\epsilon}} \end{array} $

(2)

Valente等^[9]通过规则格栅实验数据发现在r$ \gg$ λ时(其中λ为Taylor尺度, 定义为λ²≡ν${\mathcal{U}^2}$/$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$), 方程(3)中等式右边r空间黏性扩散项与最后一项相比很小可以忽略. Laizet等^[10]在谱空间进行了类似的推导, 由谱空间与r空间表述的等价转化关系, 可以得到相同的结论.于是方程(2)进一步简化为

$ \begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial t}}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle \mathit{\boldsymbol{ + U}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) \cdot {\nabla _x}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle + \\ \;\;\;{\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle = - 4\mathit{\boldsymbol{\epsilon}} \end{array} $

Kolmogorov^[3]所做的关键假设之一就是湍流的小尺度($r \ll{\cal L}$)演化比湍流总体的时间演化要快很多, 所以小尺度处于统计平衡状态, 即

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle + \mathit{\boldsymbol{U}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) \cdot {\nabla _x}\left\langle {{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle \approx 0 $

均衡能量级串便满足${\nabla _\mathit{\boldsymbol{r}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle \approx - 4\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$. Nie等^[11]提出了通过球面积分及时间、空间积分求平均的方法, 用于取代Kolmogorov提出的系综平均, 来综合考虑非均匀及各向异性的影响. Duchon等^[12]及Eyink^[13]在推导3阶结构函数时应用了同样的平均方法.应用上述方法及Gauss通量定理可以得到如下结果:

$ \int {\mathit{\boldsymbol{\hat r}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle {\rm{d}}\mathit{\Omega } \approx - \frac{{16{\rm{ \mathit{ π} }}}}{3}\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}r $

(3)

其中, dΩ是r空间的角度微元, $\mathit{\boldsymbol{\hat r}}{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{r}}/r$.

上述推导简单介绍了借助现代数学在推导Richardson-Kolmogorov均衡能量级串中的进展.球面积分的跨尺度能量传输是负的, 说明能量由大尺度向小尺度传输, 结果中能量传输只与耗散率相关, 印证了能量级串的尺度间相似性. Pope^[14]指出尺度间的相似性是推出能谱E(k)~$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$²k^-5/3标度律的基础, 同时还指出, 在高Reynolds数时, 上述数学表达式蕴含着$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$由${\mathcal{U}^3}$/${\cal L}$决定, 而与ν无关.事实上, 当r~${\cal L}$时, 我们认为$\int {\mathit{\boldsymbol{\hat r}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle {\rm{d}}\mathit{\Omega } \sim {\mathcal{U}^3}$, 于是由方程(3)可以得到均衡耗散标度律

$ \mathit{\boldsymbol{\epsilon}} = {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}\frac{{{\mathcal{U}^3}}}{{\cal L}} $

(4)

其中, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数, 在高Reynolds数下与Reynolds数无关.值得注意的是, 上述推导有一个严重的弱点, 方程(3)应在远离含能尺度的小尺度(即$r \ll{\cal L}$)成立, 但却被用在r~${\cal L}$的大尺度.然而, 有学者也指出不能完全否定上述结论, 因为如果能找到一个小于积分尺度并且与其比例固定的尺度r^′, 并且证明在该尺度$\int {\mathit{\boldsymbol{\hat r'}}} \cdot \left\langle {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}{{\left| {\delta \mathit{\boldsymbol{u}}} \right|}^2}} \right\rangle {\rm{d}}\Omega \sim {\mathcal{U}^3}$, 那么上述证明就完整了^[15].

由方程(4)及Taylor尺度的定义, 可以得到

$ \frac{{\cal L}}{\mathit{\boldsymbol{\lambda }}} \sim {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}\mathit{R}{\mathit{e}_\lambda } $

(5)

其中，Re_λ≡$\mathcal{U}$ λ/ν是当地Reynolds数.方程(5)表示在高Reynolds数情况下, 中间尺度$\mathit{\boldsymbol{\lambda }} \ll r \ll {\cal L}$确实存在, 并且在${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数条件下, Reynolds数越高, 能量耗散所要经过的尺度范围就越宽广.

上述推导中用到的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数, 是对于湍流能量传输过程描述中引入的假设, 这个假设不论是如Tennekes等^[16]和Frisch^[17]那样直接给出, 还是作为Kolmogorov^[3]的均衡假设的结果, 其正确性都尚未有理论上的证明.然而, 该假设却是许多重要推论的基础.首先, 在湍流模型的建立过程中${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数被用作模化湍流黏性系数或者亚格子应力的基础.在单点封闭模型RANS^{[14, 18]}中ν_t~$\mathcal{U}{\cal L}$, 其中特征长度${\cal L}$取积分尺度, 应用方程(4)及${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数可得到${\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{t}}} \sim {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}{\mathcal{U}^4}/\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$.而大涡模拟(large eddy simulation, LES)的建模过程也大多是以Richardson-Kolmogorov均衡能量级串理论为基础的^[19], 均衡能量级串同时就意味着${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$必须为常数.其次, 在估计数值模拟分辨率的时候${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数至关重要.通常用(${\cal L}$/η)³来衡量湍流的自由度, 其中η=(ν³/$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$)^1/4是Kolmogorov尺度.在${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的情况下, 由方程(4)可以得到(${\cal L}$ /η)³~$C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^{3/4}\mathit{Re}_{\rm{L}}^{9/4}$, $\mathit{R}{\mathit{e}_{\rm{L}}}{\rm{ = }}\mathcal{U}{\cal L}/\mathit{\boldsymbol{v}}$为以${\mathcal{U}}$和${\cal L}$定义的Reynolds数.该表达式是选取数值模拟网格大小时较重要的依据.最后, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数在推导自由剪切湍流自相似解的过程中也起到了重要的作用^[20-21].

上面简要回顾了经典Richardson-Kolmogorov能量级串理论及其主要推论, 它们是支撑半个多世纪以来均衡湍流研究的最主要的理论基础.

2 耗散系数(${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$)

在Richardson-Kolmogorov能量级串理论建立后很长一段时间内, 由于实验测量手段及数值模拟技术能力水平的限制, 对于耗散系数${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的研究较少, 学者们更多地是在Kolmogorov理论的基础上进行研究.最近二十多年来, 随着实验能力及数值模拟技术的发展, 对于${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的研究逐渐成为了一个新热点.通过实验及数值模拟得到了很多支持Richardson-Kolmogorov均衡能量级串理论${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的结果, 但也在实验及数值模拟中发现了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$不为常数的新耗散规律, 引出了对非均衡湍流的研究.

2.1 ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的湍流现象

对${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的实验研究可以追溯到Batchelor^[22]在规则格栅实验中的工作, 他在格栅下游的自由衰减湍流中利用测量数据绘制了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ的关系图. Sreenivasan^[23], Lumley^[24]和Saffman^[25]指出Bat-chelor的数据分布太过分散, 不能通过这些数据总结出${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ之间是否存在对数或者弱指数关系. Sreenivasan^[23]收集了不同学者获得的实验结果, 并将它们画在同一张图上, 如图 1所示, 发现在Re_λ较小的时候, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ有关, 而当Re_λ大于100的时候, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ无关.并且对于不同几何形状的格栅, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$有不同的渐近值, 印证了Taylor^[26]的理论.随后Sreenivasan^[27]又在均匀剪切湍流和圆柱尾迹中做了验证, 发现剪切作用对${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值有较弱的影响, 并且${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$趋向于与格栅湍流相似的渐近值.他还绘制了在圆柱尾迹下游50倍圆柱直径处的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与圆柱特征Reynolds数Re_d=U_∞d/ν的关系图, 发现在Re_d>1 000时, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_d无关. Gad-El-Hak等^[28]在喷流格栅实验中发现缓慢改变格栅的喷流注入率可以使${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$缓慢改变.

Antonia等^[29]通过量纲分析推导出了自由剪切湍流中${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与下游距离的负指数关系, 并通过1个平面射流及3个圆射流实验验证了上述结论. Douady等^[30]在研究强旋转流动时提出了一种新的实验方法, 即在一个圆柱筒内注满水, 在筒内上下底面附近设置一对旋向相反的圆盘, 用于在筒内中间区域制造剪切力. Cadot等^[31]利用此装置进行了在光滑旋转圆盘及有垂直于流动方向叶片的圆盘驱动下的实验.在这种流动条件下定义Reynolds数为Re_G=ΩR²/ν, 特征长度尺度选为圆盘半径L~R, 特征速度尺度选为圆盘的最大线速度U~ΩR, 于是可以定义耗散系数${C_{{\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}_{\rm{G}}}}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}_G}R} \right)/{\left( {\mathit{\Omega }R} \right)^3}$.实验结果发现无论是光滑圆盘还是有叶片的圆盘, 在高Reynolds数时, ${C_{{\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}_{\rm{G}}}}}$为与Reynolds数无关的常数.由于在这种实验条件下, 流动为轴对称的, 可能是所能进行的实验中与均匀各向同性DNS模拟情况最为相近的湍流实验.

在数值模拟中, Sreenivasan^[32]也收集了不同学者的不可压缩均匀各向同性湍流的DNS结果, 并画在同一张${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ关系图上, 其中有3组数据为自由衰减湍流, 其余均为驱动湍流.结果显示出在Re_λ>100时, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$确实都倾向于是常数, 尽管不同的大尺度驱动所对应的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值不相同, 但是变化趋势相同. Kaneda等^[33]计算了两组高精度的DNS, 分辨率分别为2 048³及4 096³.通过他们的结果发现在较高Reynolds数时, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$趋向于与Re_λ无关.不同的驱动力下, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值在Re_λ较小时分成两组, 而在Re_λ较大时融合成一个常数值.

上述众多的实验及DNS数值模拟结果为同一个流动中${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的推论提供了证据.虽然${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数, 但是在不同的流动中有不同的常数值, 为了回答这个问题, 学者们也从理论及实验的角度做了很多工作.

Doering等^[34]从不可压缩Navier-Stokes方程出发, 推导出了在三维无边界体积力驱动的统计定常周期湍流中耗散率所应满足的条件

$ \mathit{\boldsymbol{\epsilon}} \le {c_1}\mathit{\boldsymbol{v}}\frac{{{U^2}}}{{{{\cal L}^2}}} + {c_2}\frac{{{U^3}}}{{\cal L}} $

(6)

其中, c₁与c₂是与Reynolds数等参数无关, 仅与大尺度驱动力的形式有关的系数, ${\cal L}$是驱动力的最大长度尺度, 并且驱动力必须满足平方可积的条件.当Reynolds数很高的时候, ν→0, 方程(6)就趋向于方程(4). Rollin等^[35]通过严格的数学推导及DNS数据验证了不同的低波数驱动力形式会使${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的渐近值有所不同, 并且${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值与驱动力的谱空间成分有关. Doering^[36]在其综述中介绍了三维Navier-Stokes方程相关问题及其他的耗散率上界.

Antonia等^[37]在圆柱和垂直平板的尾迹实验中绘制了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与Re_λ关系图.这两个流动实验传统上可认为是同一种流动, 都是二维尾迹湍流.实验发现在相同的Re_λ下, 两种尾迹中${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值也不相同, 说明${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值与初始条件有关系. Burattini等^[38]对格栅湍流、主动格栅湍流、二维尾迹湍流及均匀剪切湍流等不同初始条件下的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$数据进行了对比, 发现在Re_λ>50时, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的取值范围为0.5~2.5, 分布范围很宽广.他们认为这种宽范围的分布与流动条件有关, 而与Reynolds数无关.

Mazellier等^[39]利用Liepmann等^[40]引入湍流研究的Rice理论建立了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与无量纲常数C_s^′的关系. C_s^′在某种意义上代表了积分尺度内所含的大尺度涡的数量, 并指出C_s^′是与Reynolds数无关的量, 它的值只与流动的初始条件有关.最终推导得到关系式${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$=f(log Re_λ)C_s^′3, 值得注意的是, 虽然系数f(log Re_λ)是Reynolds数的函数, 但是当Re_λ$\gg$ 1时, 该系数趋向于常数0.26.通过这种方法将27组不同的结果数据统一成了7种不同的湍流. Goto等^[41]进一步普适化了Rice理论, 并且指出λ=Bl_s, 其中l_s为湍流滞止点间平均距离, B是一个常数(低Reynolds数时或者考虑小尺度间歇性时除外).并且进一步推导出${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~C_s/B³, 并且在24种不同的大尺度湍流结构DNS计算中绘制了${{\tilde C}_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}} = {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}{B^3}/{C_{\rm{s}}}$与Re_λ的关系图, 如图 2所示, 结果显示有两个常数值结果的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$最终统一成了一个${{\tilde C}_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$值. Dallas等^[42]也在槽道湍流DNS模拟中验证了上述结论.

Mouri等^[43]将公式(4)中代表含能涡特征尺度的${\cal L}$替换为

$ {{\cal L}_{{u^2}}} = \frac{{\int_0^\infty {\left\langle {\left[ {{u^2}\left( {x + r} \right) - \left\langle {{u^2}} \right\rangle } \right]\left[ {{u^2}\left( x \right) - \left\langle {{u^2}} \right\rangle } \right]} \right\rangle {\rm{d}}r} }}{{\left\langle {{{\left( {{u^2} - \left\langle {{u^2}} \right\rangle } \right)}^2}} \right\rangle }} $

即基于脉动能量两点相关的长度尺度, 并在格栅湍流、边界层湍流及射流中的17组结果中进行了统计, 发现${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$结果得到了很好的统一. Thiesset等^[44]将L替换为交叉尺度, 计算出的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$结果与初始条件及Re_λ无关.上述二人的论述尽管方法不同, 但都认为是在公式(4)中的特征尺度等特征量的选取不合适导致${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值与流动状况有关.

Bos等^[45]用DNS, LES及湍涡阻尼Markov化准正则(eddy-damping quasi-normal Markovian, ED-QNM)近似方法对衰减湍流及有驱动力的湍流中的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$进行了计算对比, 发现衰减湍流的$C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^{{\rm{decay}}}$是有驱动力湍流的$C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^{{\rm{forced}}}$的两倍左右.他们随后通过简化模型的理论推导对上述现象进行了解释, 认为输入大尺度的能量需要经过一段时间的传输才能到达小尺度进行耗散, 即大尺度的能量输入与一段时间后的小尺度湍动能耗散均衡, 这种时间上的差距导致了$C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^{{\rm{decay}}}$≠$C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}^{{\rm{forced}}}$.

总之, 有很多实验结果认为在一个流动中${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$可以为常数, 但是${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$的值是与流动初始状态及流动类型有关的.一般认为该现象与大尺度驱动力的成分或者特征长度尺度的选取有关.

2.2 不符合${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的非均衡湍流现象

虽然由Richardson-Kolmogorov均衡能量级串推导得出的耗散系数${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为与Re_λ无关的常数的结论在很多实验及数值模拟中得到了证实, 但随着近些年实验技术手段的进步, 也在许多实验中发现了与Richardson-Kolmogorov均衡能量级串所得到的结果不同的耗散律.由于新发现的这种耗散律不满足均衡能量传输规律, 所以也称为非均衡耗散律, 这种湍流状态称为非均衡湍流.

Seoud等^[46]最早在Hurst等^[47]的3种不同宽度比的方形平面分形格栅实验中发现了不符合${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的现象.他们发现在格栅下游中心线上的衰减区Taylor尺度及积分尺度与下游位置无关, 并且发现在此区域内L₁₁/λ为常数, 由公式(5)知${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_λ^-1或${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_L^-1, 这意味着${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$=$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$L₁₁/u₁^′3随着下游距离的增加而增加.在第1节讨论过, ${\cal L}$/λ为能量级串所需的尺度范围, 应随着Re_L的降低而降低, 这显然与Seoud等^[46]发现的耗散律不相同.然而在此区域内能谱却符合Kolmogorov的-5/3指数律, 因此不能简单地将此现象归结为低Reynolds数导致的, 应当是一种有别于Richardson-Kolmogorov均衡能量级串的物理现象.

Mazellier等^[48]继续研究了上述工作, 在4种不同的方形空间填充平面分形格栅实验中对湍流统计量进行了分析.他们发现在衰减区L₁₁/λ虽然与下游距离及分形格栅几何参数无关, 但是却与入口速度有关, 即与入口Reynolds数Re_I有关, 如图 3所示.随着入口Reynolds数Re_I的增加, L₁₁/λ趋向于的数值随下游距离变化更小, 意味着${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_L^-1的关系更加确定. Nagata等^[49]也在分形格栅实验中发现了相同的现象. Mazellier等^[48]在分析过程中应用了尾迹相关长度尺度x_*, 该尺度由格栅的几何形状决定, 通过该尺度预测下游湍流衰减的起始位置. Gomes-Fernandes等^[50]改进了x_*, 在其中考虑了格栅几何及来流流动状况, 并且用此尺度作为特征尺度对格栅下游距离进行无量纲化操作，使多种湍流实验中的湍流强度结果相互重合, 表现出相同的变化趋势.他们还通过水槽实验发现在衰减区x_*^peak~3x_*^peak范围内存在上述L₁₁/λ为常数而Re_L减小的新耗散律区域.

Valente等^[51]在规则格栅和分形格栅实验中对两个主要问题进行了研究, 一是验证上文提到的Mazellier等^[48]发现的结果, 并进一步发现了L₁₁/λ~Re_I^1/2的正相关关系(如图 4所示), 由λ的定义得到${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I/Re_L及${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I^1/2/Re_λ; 二是探索新耗散律能持续多长的距离, 发现在x_peak＜x＜5x_peak的范围内新耗散律成立, x_peak为峰值湍动能处距格栅的距离, 而在x>5x_peak范围内${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的经典耗散律成立. Isaza等^[52]在规则格栅实验中同样发现了上述新耗散律. Hearst等^[53]也在分形格栅实验中验证了该耗散律.

Valente等^[9]对多种分形格栅及规则格栅实验数据利用Kármán-Howarth方程中的各项进行了详细分析, 发现该新耗散律不是流动的非均匀性及各向异性导致的, 也不是在各向异性的条件下不同${\mathcal{U}}$及${\cal L}$的选取方式导致的差异, 从而说明了该新耗散律是湍流能量传输规律从本质上与经典Richardson-Kolmogorov能量级串所描述的规律不同.

在经典自由剪切湍流研究中, 射流尾迹有很强的自相似性, Townsend^[20]及George^[21]详细介绍了由均衡耗散律${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数及尾迹自相似性得到的推论, u₀(x)/U_∞~((x-x₀)/θ)^-2/3, δ(x)/θ~((x-x₀)/θ)^1/3. Nedić等^[54]则在上述推导过程中将均衡耗散律改为非均衡耗散律${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I/Re_L, 从而得到了与经典结论不相同的相似指数, u₀(x)/U_∞~((x-x₀)/θ)^-1, δ(x)/θ~((x-x₀)/θ)^1/2.他们在不规则形状的挡板下游进行了验证, 发现在$5\sqrt A \sim 50\sqrt A$范围内新耗散律成立, 在其下游湍流可能会回归到均衡耗散律. Dairay等^[55]做了相似的实验, 并且进行了相同流动条件的DNS模拟计算.他们推导出了当${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I^m/Re_Lⁿ并满足m=n时的尾迹宽度标度律及中心线速度亏损标度律, u₀(x)/U_∞~((x-x₀)/θ)^α, δ(x)/θ~((x-x₀)/θ)^β, 其中β=(1+m)/(3+m), α=-2β.在DNS结果中发现, 在$5\sqrt A \sim 50\sqrt A$范围内${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I/Re_L近似成立, 而在$5\sqrt A \sim 50\sqrt A$范围内${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I^1/2/Re_L^1/2近似成立, 推测下游应会回归${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的经典耗散律.

上述研究均是在统计定常的流动中进行的, 而在存在非定常大尺度扰动的流动中同样存在着这种新耗散律. Valente等^[56]在周期性均匀各向同性湍流DNS模拟中对存在周期变化的大尺度驱动力的湍流进行了研究.他们用传输谱的过零点波数作为湍动能传输中损失能量与获得能量的分界点.研究发现在传输谱的过零点波数处的湍动能传输率Π与湍动能耗散率$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$并不是如Richardson-Kolmo-gorov能量级串的推论那样Π=$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$, 而是传输率Π随着湍动能的变化而变化, 但是耗散率$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$却不与其同步.并且发现在变化过程中, C_Π=Π${\cal L}$/${\mathcal{U}^3}$可以近似认为是常数, 而${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$却与Re_λ呈负指数关系.他们认为在湍流模型中引入${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数的假设是不合理的, 而更好的选择应是假设C_Π为常数并用输运方程将Π与$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$联系起来.

Goto等^[57]也在周期性均匀各向同性湍流DNS模拟中对非统计定常的有驱动力的湍流及非统计定常的衰减湍流进行了研究.发现不论是在有驱动力作用的湍流中还是衰减湍流中, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$(t)均与之前学者在格栅湍流及自由剪切湍流实验中发现的新耗散律相同, 满足${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$(t)~Re_I^1/2/Re_λ(t), 如图 5及图 6所示.他们还对C_Π(k, t)=Π(k, t)${\cal L}$(t)/${\mathcal{U}}$(t)³在多种波数下的标度律与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$(t)的标度律进行了对比, 发现在Re_λ$\gtrsim$ 100时存在相似的标度律, 而且系数的数值很相似, 但是这并不意味着$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$(t)=Π(k, t), 实际上$\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}$(t)≠Π(k, t)且C_Π(k, t)≠${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$(t), 证实了能量的传输与耗散是不均衡的.

Bos等^[58]提出了一个简单的理论模型用来描述这种新耗散律.他们提出将能谱、传输谱及耗散率等物理量分解为均衡部分及非均衡部分, 并引入简单的传输模型, 通过推导得到

$ {C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}} \sim {\left( {\frac{{\sqrt {\mathit{R}{\mathit{e}_Ⅰ}} }}{{\mathit{R}{\mathit{e}_\lambda }\left( t \right)}}} \right)^{15/14}} $

尽管此标度律与前述的标度指数有微小的区别, 但区别并不明显.此理论推导结果也与Valente等^[51]的实验及Goto等^[57]的DNS模拟结果进行了对比, 得到了很好的一致性.该理论模型本质上是将非均衡部分视为均衡部分的一种类似“谐波”的存在, 从一个崭新的视角对非均衡湍流进行了描述.

综上, 近年来发现在时间/空间非定常湍流中, 在湍流开始衰减时${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$随着Re_λ及Re_L的减小而增大, 在这个非均衡区域内能谱分布即使满足-5/3标度律, 也可以发现新的非均衡耗散律${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I^m/Re_Lⁿ, 其中m≈1≈n, 这种新耗散律不是因为低Reynolds数导致的, 而是对应非均衡湍流现象.在非均衡耗散律区域内能量传输率与耗散率不是像Richardson-Kolmogorov能量级串描绘的那样是互相均衡的, 而是传输率紧随湍动能变化, 而耗散率的变化却存在迟滞, 这可以直观地理解为能量从大尺度向小尺度传输需要一定的时间.非均衡衰减区在空间上是过渡阶段, 不会无限延伸, 但是在多种湍流中都发现了类似的非均衡耗散律.

3 流向速度梯度扭率(S_k)

最近三年来, 速度梯度的统计量逐渐被应用到非均衡湍流的研究中来.最早由Isaza等^[52]在规则双平面格栅下游对统计量研究时发现流向速度梯度的扭率${S_k} = \left\langle {{{\left( {\partial u/\partial x} \right)}^3}} \right\rangle /{\left\langle {{{\left( {\partial u/\partial x} \right)}^2}} \right\rangle ^{3/2}}$在格栅下游x/M＜20范围内不是常数, 而当x/M>20时, S_k近似为常数值, 其中M是网格间距, x是格栅下游距离. Hearst等^[59]进一步通过分形格栅实验对S_k进行了研究.他们发现在格栅下游x/M＜20范围内, S_k不是常数, 而当x/M>20时, S_k近似为常数值, 如图 7(a)所示.进一步研究发现在x/M＜20范围内${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I/Re_L近似成立, 而当x/M>20时, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$近似为常数, 验证了上文所述的新耗散律.最重要的是, 他们发现了不论是在非均衡区还是在均衡区, ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与S_k都表现出了相同的变化趋势, 发现了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与S_k的一致性, 如图 7(b)所示.基于Ayyalasomayajula等^[60]发现的S_k的变化与流体内应变的变化有关, 他们认为格栅下游的非均衡区域是由于格栅下游残余应变的发展导致的.我们最近也在槽道转捩中发现了类似的现象, 在传统意义上的“充分发展湍流区”发现了非均衡湍流的存在^[61].

为了给S_k的研究更好的理论支持, 我们将全尺度非均衡的概念推广为多尺度非均衡的概念^[62]:在惯性区(通常定义为k^-5/3的区域)内, 如果大尺度的能量生成与小尺度的能量耗散是统计均衡的, 该流动就被称为谱均衡湍流; 否则被称为谱非均衡湍流.该定义可以被理解为在惯性区内某一尺度处能量正向与反向传输之间的均衡.在此定义下, 可以将S_k推广为可解尺度流向速度梯度扭率S_k^＜, 即将S_k表达式中的速度改成可解尺度速度, 并提出通过S_k^＜修正LES亚格子模型的方法.我们在更早的研究中曾提出时间逆湍流的概念^[63], 即在充分发展的湍流场中将速度向量u变为-u, 在无黏的条件下, 反转后的湍流将发展回初始状态, 如同时间t变为-t一样; 而在黏性存在时, 该流动为一种简单的谱非均衡流动模型.我们继续应用这个方法将LES中可解尺度的速度分解为谱均衡部分及时间逆湍流部分(时间逆湍流即是我们提出的一种假想的极端的非均衡湍流), 而实际的湍流场为这两种理想模型场的叠加, 通过S_k^＜来表征流动的非均衡程度, 通过理论推导得到一个简单的LES亚格子模型${\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{t}}} = \alpha \cdot {\left( {{C_{\rm{s}}}\mathit{\Delta }} \right)^2} \cdot \left| {{S^＜}} \right|$, 其中α为与S_k^＜有关的系数, 用来表征谱均衡湍流所占的比重, 其余各量的定义与标准Smagorinsky-Lilly模型相同.因为引入了α，该模型只计算谱均衡部分的湍动能耗散, 而时间逆部分的湍流黏性系数ν_t为0.最后我们在大小尺度分别采取不同的时间逆转组合湍流中对不同的亚格子模型进行了对比, 改进的亚格子模型准确地反映出了反转后的短时间发展.该研究首次在各向同性湍流中基于湍流非均衡性建立了定量的亚格子模型, 为非均衡湍流的模型化提供了思路.

根据Bos等^[64]推导的S_k与谱空间物理量之间关系, S_k实质上反映了能量传输与耗散的比, 所以其描述非均衡湍流现象的本质与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$相同.作为同是描述非均衡的物理量, S_k相比于${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$有两个明显的优点: (1)S_k的计算只需要当地量, 不需要计算如积分尺度那样需要全场积分的物理量; (2)应用推广到可解尺度的S_k^＜可以通过可解尺度物理量来反映可解尺度处的非均衡湍流现象, 而${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$一定是全尺度的, 因此S_k^＜可以在LES数据中检测, 而${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$则必须依赖于DNS.

因此, 实验和理论都发现S_k与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$有相似的变化规律, 而可以作为衡量非均衡性的另一个重要参数.通过S_k的谱空间表达式可知S_k反映的是传输与耗散之比, 该参数反映的物理本质与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$是相同的.

4 Lagrange速度梯度自相关方程(Φ_ijij^′)

虽然上述S_k的引入已经使得表征湍流非均衡性的物理量的计算变得更加容易, 但不论是${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$还是S_k都只能定义在均匀各向同性湍流中, 一旦用于各向异性湍流中就失去了理论支持.因此, 很有必要寻找一种能够应用在非均匀各向异性湍流中的表征湍流非均衡性的物理量.

通过Lagrange速度梯度自相关方程对此问题进行了尝试^[65].方程写为

$ \mathit{\Phi }_{_{ijij}}^{'}=\frac{\text{d}\left\langle A_{ij}^{'＜}A_{ij}^{'＜} \right\rangle }{\text{d}t}\text{=}Q_{_{ijij}}^{'}+\mathit{\Pi }_{_{ijij}}^{'}+V_{_{ijij}}^{'}+\mathit{\Gamma }_{_{ijij}}^{'} $

其中, 上标′表示脉动量, $A_{ij}^{'＜}=\partial u_{i}^{'＜}/\partial {{x}_{j}}$为速度梯度张量, d/dt为Lagrange导数.

$ Q_{_{ijij}}^{'}=-2\left\langle A_{ij}^{'＜}A_{kj}^{'＜}A_{ik}^{'＜} \right\rangle $

$ \mathit{\Pi }_{_{ijij}}^{'}=-\frac{2}{\rho }\left\langle A_{ij}^{'＜}\frac{{{\partial }^{2}}{{p}^{'＜}}}{\partial {{x}_{i}}\partial {{x}_{j}}} \right\rangle $

$ \mathit{V}_{_{ijij}}^{'}=2\left\langle vA_{ij}^{'＜}\frac{{{\partial }^{2}}A_{ij}^{'＜}}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{k}}} \right\rangle $

$ \mathit{\Gamma }_{_{ijij}}^{'}=2\left\langle {{v}_{\mathit{t}}}A_{ij}^{'＜}\frac{{{\partial }^{2}}A_{ij}^{'＜}}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{k}}} \right\rangle $

上述4项分别为生成项、压力项、黏性项及亚格子项, ν_t为亚格子湍流黏性.该物理量为当地统计量, 并且可以应用在非均匀各向异性湍流中.通过Champagne^[66]的推导可以得出在均匀各向同性条件下,

$ \begin{align} & Q_{_{ijij}}^{'}\propto \left\langle A_{11}^{'＜}A_{11}^{'＜}A_{11}^{'＜} \right\rangle =S_{k}^{＜}{{\left\langle A_{11}^{'＜}A_{11}^{'＜} \right\rangle }^{3/2}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ V_{_{ijij}}^{'},\mathit{\Gamma }_{_{ijij}}^{'}\propto \left\langle \frac{\partial A_{11}^{'＜}}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\partial A_{11}^{'＜}}{\partial {{x}_{1}}} \right\rangle \\ \end{align} $

而在均匀的条件下Π_ijij^′=0.我们指出在均匀各向同性的条件下Φ_ijij^′实际上反映了Q_ijij^′与V_ijij^′+Γ_ijij^′之间的均衡关系.通过量纲分析, 还可以得到能量传输Q_ijij^′的特征时间远小于耗散V_ijij^′+Γ_ijij^′的特征时间, 这个推论在我们的指定速度分布(prescribed velocity distribution, PVD)叶栅数据中得到了验证.所以假设在Φ_ijij^′=0的均衡湍流经历非均衡过程时, S_k^＜发生改变, 而2阶矩保持不变, 从而导出Φ_ijij^′≠0的结果.因此在均匀各向同性湍流中非常数的S_k^＜与Φ_ijij^′≠0是等价的, 在这种条件下${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$, S_k及Φ_ijij^′均可作为非均衡湍流现象的度量.随后在PVD叶栅的延迟分离涡(delayed detached eddy simulation, DDES)方法模拟结果中计算了Φ_ijij^′, 并对叶栅通道内典型流动结构内的非均衡现象进行了分析.发现非均衡湍流存在于叶片边界层、尾迹及角区内, 如图 8和图 9所示.由于DDES模拟的Reynolds数很大且网格尺度处在惯性区, 所以亚格子项的耗散作用强于黏性项.研究发现在角区内部Φ_ijij^′的绝对值小于角区与主流交界处及其下游, 可以认为这是由非均衡扰动的尺度及网格过滤尺度之间的差异而存在的非均衡时间差导致的, 称之为多尺度非均衡迟滞现象.随后沿4条平均流线观察了Φ_ijij^′的变化情况, 发现受到扰动而偏离均衡湍流的流动会回到均衡湍流, 图 10所示为50%叶高截面尾迹区流体微团沿流线所经历的非均衡过程.通过Kovasznay模型^[67]可以对非均衡时间尺度进行估算, 计算了不同特征长度尺度的扰动所对应的不同的非均衡特征时间, 并与流体流经叶片的特征时间进行了比较, 发现其影响会向下游延续很长的距离.通过4条流线尾迹中Φ_ijij^′峰与谷之间的时间差验证了通过该模型估计的非均衡时间尺度, 得到了很好的一致性, 图 10中P代表峰值, T代表谷值.该研究首次提出了能在非均衡各向异性湍流中描述湍流非均衡性的物理量, 并在叶栅复杂流动中证实了非均衡性的影响是不可忽视的, 为进一步针对非均衡湍流的模型改进工作提供了理论支持.

在可压缩湍流中可以用同样的方法推导出Φ_ijij^′.杨光在其博士论文^[68]中对此进行了详细的推导, 但是并未对可压缩湍流中的非均衡性进行深入分析, 目前对于可压缩性及非均衡性之间的相互关系尚不清楚, 有待进行深入研究.事实上, 可压缩湍流与非均衡性之间很可能在统计意义上有某种相似性, 比如我们曾在一个最近的工作^[69]中发现它们在同一个速度梯度4阶矩相空间中都具有同样的演化趋势, 且都满足Gauss-RE线性关系.

综上, 基于Lagrange速度梯度自相关方程提出的物理量Φ_ijij^′从理论上可以证明在均匀各向同性湍流中与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$及S_k的定义是一致的, 但是Φ_ijij^′克服了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与S_k定义在均匀各向同性湍流中, 不能应用在复杂流动中的弱点. Φ_ijij^′反映的实际上同样是湍动能传输与耗散之间的关系.与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$及S_k不同的是该定义中湍动能传输与耗散不再是比例关系, 而是加减关系.因此该物理量的提出为研究工程实践中的湍流非均衡性问题提供了定量工具.

5 总结与展望

Richardson-Kolmogorov能量级串理论是湍流中最重要的基础理论, 其一个重要推论是${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数, 对应于均衡的能量传输过程, 长期以来也一直作为湍流建模、DNS计算分辨率估算及自由剪切流动平均速度型推导的理论基础. ${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$反映的是湍动能耗散与传输之间的比, 而不为常数的${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$现象则反映了湍流中湍动能输运关系的变化, 对应于非均衡湍流现象.湍流非均衡性定义的正是湍动能传输与耗散之间的均衡关系.

很多实验结果认为${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$为常数, 但近年来在时间/空间非定常湍流中, 在湍流开始衰减时发现了新的非均衡耗散律${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$~Re_I^m/Re_Lⁿ, 其中m≈1≈n.此非均衡衰减区在空间上是过渡阶段, 不会无限延伸.另外, 实验和理论都发现S_k与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$有着相似的变化规律, 因而S_k反映的物理本质与${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$是类似的, 可以作为衡量非均衡性的另一个重要参数.另外, 本文新提出的物理量Φ_ijij^′则克服了${C_\mathit{\boldsymbol{\epsilon}}}$与S_k不能应用在复杂流动中的弱点.该定义的提出为研究工程实践中的湍流非均衡性问题提供了定量工具.

均衡湍流是一种简化的理想流动, 非均衡湍流才是自然界中更普遍的流动形式.由于从非均衡向均衡过渡的特征时间很短, 非均衡湍流最明显的是那些特征时间极短的流动.比如在典型的航空发动机中, 流动经过压气机单级叶栅的时间量级约为10 ms, 而最大尺度涡的非均衡特征时间却长达150 ms左右^[65].这说明在整个压气机中, 非均衡湍流都是主要的流动形式, 因而只有针对非均衡湍流的数值模型才能准确捕捉其真实的流动结构.我们曾经发现角区分离部分具有明显的能量反传, 而螺旋度可以在该流动中表征能量反传这一非均衡现象^[70].在此基础上建立了非均衡Spalart-Allmaras(SA)模型, 有效地提高了模拟角区分离的正确性.但此类工作目前仍处于初步阶段, 如何在工程中更准确和合理地考虑非均衡湍流正是未来的主要研究方向.