如图 1所示，Delta并联机器人具有运动控制精度高、刚度大、体积小^[1-3]等显著优点，可以实现对轻小物件的快速抓取和放置^[4]。运动分析是机器人应用的基础，目前对Delta系列机器人速度和加速度的分析，通常采用对位置方程的时间求导数的方法^[5-9]，但在实际计算过程中，该种方法通常伴随着复杂的坐标转换及矩阵运算，因而对读者知识水平要求较高。针对上述情况，采用一种基于坐标关系的求解方法^[10]。相较于传统的基于位置关系的求解方法，该方法简化了分析运算过程，通过对约束条件的限定，有效解决了逆运动学分析多解的问题，并能较好的反应运动分析的数学本质，适合于初学者阅读。

1 Delta机器人运动学分析 1.1 位置逆解

图 2为建立的空间直角坐标系。在该空间直角坐标系中，以三条直线导轨在静平台投影的交点作为坐标原点O，静平台与导轨的交点分别为P_A、P_B, P_C。P_A、P_B、P_C与O点的距离为R。静平台与导轨的夹角为α。滑块与导轨交点为m_A、m_B、m_C，滑块与连杆的交点为A、B、C，滑块长度为l。动平台与连杆的交点为A′、B′、C′, 动平台中心用O′表示，A′、B′、C′与O′的距离为r。连杆的长度为L。B导轨与y轴正方向夹角为θ₁，B导轨与x轴负方向夹角为θ₂，C导轨与x轴负方向夹角为θ₃，C导轨与y轴负方向夹角为θ₄。其中：θ₁=30°，θ₂=60°，θ₃=60°，θ₄=30°，α=45°，R=615 mm，r=58 mm，L=600 mm，l=30 mm。

动平台中心O′用4×1列阵表示为：

$ O' = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&1 \end{array}} \right]^T}。$

动平台与连杆交点A′、B′、C′用矩阵分别表示为：

$ A' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{A'}}}\\ {{y_{A'}}}\\ {{z_{A'}}}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&r\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + r}\\ y\\ z\\ 1 \end{array}} \right]。$

同理可得：

$ B' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{B'}}}\\ {{y_{B'}}}\\ {{z_{B'}}}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - r\cos {\theta _2}}\\ {y + r\cos {\theta _1}}\\ z\\ 1 \end{array}} \right]。$

同理可以求得滑块与连杆的交点A, B, C的空间位置矩阵：

$ C' = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{C'}}}\\ {{y_{C'}}}\\ {{z_{C'}}}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - r\cos {\theta _3}}\\ {y - r\cos {\theta _4}}\\ z\\ 1 \end{array}} \right]。$

同理可以求得滑块与连杆的交点A, B, C的空间位置矩阵：

$ A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R - {m_1}\cos \alpha + l\sin \alpha }\\ 0\\ { - {m_1}\sin \alpha - l\cos \alpha }\\ 1 \end{array}} \right], $

$ B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - R\cos {\theta _2} + {m_2}\cos \alpha \cos {\theta _2} - l\sin \alpha \cos {\theta _2}}\\ {R\cos {\theta _1} - {m_2}\cos \alpha \cos {\theta _1} + l\sin \alpha \cos {\theta _1}}\\ { - {m_2}\sin \alpha - l\cos \alpha }\\ 1 \end{array}} \right], $

$ C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - R\cos {\theta _3} + {m_3}\cos \alpha \cos {\theta _3} - l\sin \alpha \cos{\theta _3}}\\ { - R\cos {\theta _4} + {m_3}\cos \alpha \cos {\theta _4} - l\sin \alpha \cos{\theta _4}}\\ { - {m_3}\sin \alpha - l\cos \alpha }\\ 1 \end{array}} \right]。$

由连杆的长度为定值L得：

$ \left| {AA'} \right| = L, $

(1)

$ \left| {BB'} \right| = L, $

(2)

$ \left| {CC'} \right| = L。$

(3)

将各参数代入(1)(2)(3)式得：

$ \begin{array}{l} \left[ {\left( {R - {m_1}\cos \alpha + l\sin \alpha } \right) - \left( {x + r} \right)} \right]2 + \\ {y^2} + \left[ {\left( { - {m_1}\sin \alpha - l\cos \alpha } \right) - z} \right]2 = {L^2}, \end{array} $

(4)

$ \begin{array}{l} \left[ {\left( { - R\cos {\theta _2} + {m_2}\cos \alpha \cos {\theta _2} - l\sin \alpha \cos {\theta _2}} \right) - \left( {x - } \right.} \right.\\ {\left. {\left. {r\cos {\theta _2}} \right)} \right]^2} + \left[ {\left( {R\cos {\theta _1} - {m_2}\cos \alpha \cos {\theta _1} + l\sin \alpha \cos {\theta _1}} \right)} \right.\\ {\left. { - \left( {y + r\cos {\theta _1}} \right)} \right]^2} + \left[ {\left( { - {m_2}\sin \alpha - l\cos \alpha } \right) - z} \right]2 = {L^2}, \end{array} $

(5)

$ \begin{array}{l} \left[ {\left( { - R\cos {\theta _3} + {m_3}\cos \alpha \cos {\theta _3} - l\sin \alpha \cos {\theta _3}} \right) - \left( {x - } \right.} \right.\\ {\left. {\left. {r\cos {\theta _3}} \right)} \right]^2} + \left[ {\left( { - R\cos {\theta _4} + {m_3}\cos \alpha \cos {\theta _4} - } \right.} \right.\\ {\left. {\left. {l\sin \alpha \cos {\theta _4}} \right) - \left( {y - r\cos {\theta _4}} \right)} \right]^2} + \left[ {\left( { - {m_3}\sin \alpha - l\cos \alpha } \right)} \right.\\ \left. { - z} \right]2 = {L^2}. \end{array} $

(6)

1.2 Delta机器人速度分析

推算速度雅可比矩阵时，分别将(4)、(5)、(6)式展开，并作全微分及等式两边同时除以得：

$ \begin{array}{l} \left( {2{m_1} + 2r\cos \alpha - 2R\cos \alpha + 2x\cos \alpha + 2z\sin \alpha } \right)\\ \frac{{d{m_1}}}{{dt}} = \left( {2R + 2l\sin \alpha - 2{m_1}\cos \alpha - 2x - 2r} \right)\frac{{dx}}{{dt}} - 2y\frac{{dy}}{{dt}}\\ + \left( { - 2{m_1}\sin \alpha - 2z - 2l\cos \alpha } \right)\frac{{dz}}{{dt}}, \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left[ {2{m_2} + 2\left( {r\cos {\theta _2} - R\cos {\theta _2} - l\sin \alpha \cos{\theta _2}} \right)\cos \alpha \cos {\theta _2}} \right.\\ - 2\left( {R\cos {\theta _1} + l\sin \alpha \cos {\theta _1} - r\cos {\theta _1}} \right)\cos \alpha \cos {\theta _1} + \\ \left. {2l\cos \alpha \sin \alpha - 2x\cos \alpha \cos {\theta _2} + 2y\cos \alpha \cos {\theta _1} + 2z\sin \alpha } \right]\frac{{d{m_2}}}{{dt}}\\ = \left[ {2{m_2}\cos \alpha \cos {\theta _2} - 2x + 2\left( {r\cos {\theta _2} - R\cos {\theta _2} - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {l\sin \alpha \cos{\theta _2}} \right)} \right]\frac{{dx}}{{dt}} + \left[ {2\left( {R\cos {\theta _1} + l\sin \alpha \cos {\theta _1} - r\cos {\theta _1}} \right) - } \right.\\ \left. {2{m_2}\cos \alpha \cos {\theta _1} - 2y} \right]\frac{{dy}}{{dt}} + \left( { - 2{m_2}\sin \alpha - 2z - } \right.\\ \left. {2l\cos \alpha } \right)\frac{{dz}}{{dt}}, \end{array} $

$ \begin{array}{l} \left[ {2{m_3} + 2\left( {r\cos {\theta _3} - R\cos {\theta _3} - } \right.} \right.\\ \left. {l\sin \alpha \cos{\theta _3}} \right)\cos \alpha \cos {\theta _3} + 2\left( {r\cos {\theta _4} - R\cos {\theta _4} - } \right.\\ \left. {l\sin \alpha \cos{\theta _4}} \right)\cos \alpha \cos {\theta _4} + 2l\cos \alpha \sin \alpha - 2x\cos \alpha \cos {\theta _3} - \\ \left. {2y\cos \alpha \cos {\theta _4} + 2z\sin \alpha } \right]\frac{{d{m_3}}}{{dt}} = \left[ {2{m_3}\cos \alpha \cos {\theta _3} - 2x + } \right.\\ \left. {2\left( {r\cos {\theta _3} - R\cos {\theta _3} - l\sin \alpha \cos {\theta _3}} \right)} \right]\frac{{dx}}{{dt}} + \\ \left[ {2{m_3}\cos \alpha \cos {\theta _4} + 2\left( {r\cos {\theta _4} - R\cos {\theta _4} - l\sin \alpha \cos{\theta _4}} \right) - } \right.\\ \left. {2y} \right]\frac{{dy}}{{dt}} + \left( { - 2{m_3}\sin \alpha - 2z - 2l\cos \alpha } \right)\frac{{dz}}{{dt}}。\end{array} $

将上式中各变量系数以字母表示，即得：

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot m}_1} = \frac{{{B_1}}}{{{A_1}}}\dot x + \frac{{{C_1}}}{{{A_1}}}\dot y + \frac{{{D_1}}}{{{A_1}}}\dot z\\ {{\dot m}_2} = \frac{{{B_2}}}{{{A_2}}}\dot x + \frac{{{C_2}}}{{{A_2}}}\dot y + \frac{{{D_2}}}{{{A_2}}}\dot z\\ {{\dot m}_3} = \frac{{{B_3}}}{{{A_3}}}\dot x + \frac{{{C_3}}}{{{A_3}}}\dot y + \frac{{{D_3}}}{{{A_3}}}\dot z \end{array} \right.。$

表述为矩阵形式即为：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot m}_1}}\\ {{{\dot m}_2}}\\ {{{\dot m}_3}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{B_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{C_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{D_1}}}{{{A_1}}}}\\ {\frac{{{B_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{C_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{D_2}}}{{{A_2}}}}\\ {\frac{{{B_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{C_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{D_3}}}{{{A_3}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x}\\ {\dot y}\\ {\dot z} \end{array}} \right]。$

(7)

令：G为系数矩阵，将(7)式等式两边同时乘以G^-1即得：

$ {{\dot X}_n} = J\dot m。$

(8)

式中：

$ {{\dot X}_n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x}\\ {\dot y}\\ {\dot z} \end{array}} \right], $

表示动平台的空间移动速度

$ \dot m = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot m}_1}}\\ {{{\dot m}_2}}\\ {{{\dot m}_3}} \end{array}} \right], $

表示各轴进给速度列向量

$ J = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{B_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{C_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{D_1}}}{{{A_1}}}}\\ {\frac{{{B_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{C_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{D_2}}}{{{A_2}}}}\\ {\frac{{{B_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{C_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{D_3}}}{{{A_3}}}} \end{array}} \right]^{ - 1}}, $

即为速度雅可比矩阵。

1.3 Delta机器人加速度分析

对(7)式求二次导数，即得：

$ \ddot m = \dot G{{\dot X}_n} + G{{\ddot X}_n}, $

(8)

即：

$ {{\ddot X}_n} = {\rm{J}}\left( {\ddot m - \dot G{{\dot X}_n}} \right)。$

(9)

式中，

$ {{\ddot X}_n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ddot x}\\ {\ddot y}\\ {\ddot z} \end{array}} \right], $

表示动平台空间移动加速度，

$ \ddot m = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot m}_1}}\\ {{{\ddot m}_2}}\\ {{{\ddot m}_3}} \end{array}} \right], $

表示各轴进给加速度列向量。

$ \dot G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\dot B}_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{{\dot C}_1}}}{{{A_1}}}}&{\frac{{{{\dot D}_1}}}{{{A_1}}}}\\ {\frac{{{{\dot B}_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{{\dot C}_2}}}{{{A_2}}}}&{\frac{{{{\dot D}_2}}}{{{A_2}}}}\\ {\frac{{{{\dot B}_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{{\dot C}_3}}}{{{A_3}}}}&{\frac{{{{\dot D}_3}}}{{{A_3}}}} \end{array}} \right], $

即为加速度雅可比矩阵。

2 运动学验证

为了对算法的准确性进行验证，采用如图 3所示的Delta机器人进行验证，实验结果如表 1所示。实验表明，最大误差不超过4 mm。验证了算法的正确性。

误差原因分析及补偿：1)导轨在静平台的投影夹角不是严格的120°角；2)静平台与导轨的夹角不是严格的45°角；3)三条轴不是严格的对称结构，存在导轨及连杆长度不一的情况；4)测量存在误差。基于以上原因，在代码中对竖坐标作30 mm的误差补偿以减小误差，部分代码如下：

$ {\rm{M21}} = {\rm{eq1}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}} + {\rm{30}}} \right); $

$ {\rm{M22}} = {\rm{eq2}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}} + {\rm{30}}} \right); $

$ {\rm{M23}} = {\rm{eq3}}\left( {{\rm{x}},{\rm{y}},{\rm{z}} + {\rm{30}}} \right)。$

3 结论

针对Delta机器人运动分析较少、运算过程复杂、抽象的现象，介绍了一种新的计算方法。该种方法相较传统方法更加简洁且较好地诠释了运动分析的数学本质，因而具有一定的参考价值。