三角模(三角余模)作为典型的合取型(析取型)聚合算子，已在多个领域取得了广泛应用。例如：文献[1]利用三角模和三角余模构造推理空间的蕴涵算子；文献[2]基于三角模优化RPL协议路，综合考虑能量指标和逻辑距离对网络构建和路由过程进行了优化；文献[3]给出三角模诱导粗糙集间的相似性度量，并运用到模糊识别问题中。一致模作为三角模和三角余模的推广形式，更具有研究价值。如文献[4]综述了各类一致模的相关结论，并指出应用领域，如模糊系统建模、模糊决策、神经网络等方面；文献[5]初步讨论了一致模的序关系。本文沿着文献[5]的思路，进一步研究一致模的序关系。

本文的组织结构如下：第一部分给出一致模的相关概念；第二部分研究四类一致模的内部序关系，并举例解释说明；第三部分做出总结。

1 预备知识

本节给出一致模的概念及相关的部分结论。

定义1^[6]：若二元算子U:[0, 1]×[0, 1]→[0, 1]，∀x, y, z∈[0, 1]，满足以下条件，则称U为一致模，其中e称为U的单位元：

1) U(x, y)=U(y, x)

2) U(x, U(y, z))=U(U(x, y), z)

3) U(x, y)≤U(x, z), y，y≤z

∃e∈[0, 1]，有U(e, x)=x, x∈[0, 1]

当e=1时，U退化为三角模；当e=0时，U退化为三角余模。本文约定e∈]0, 1[。

根据一致模U，可以构造如下的三角模和三角余模^[6]，分别称为U的基础三角模和基础三角余模：

$ \left. 1 \right){T_U}\left( {x,y} \right) = \frac{{U\left( {ex,ey} \right)}}{e},\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2} $

(1)

$ \begin{array}{l} \left. 2 \right){S_U}\left( {x,y} \right) = \frac{{U\left( {e + \left( {1 - e} \right)x,e + \left( {1 - e} \right)y} \right) - e}}{{1 - e}},\\ \left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2} \end{array} $

(2)

另外，U(0, 1)∈{0, 1}。若U(0, 1)=0，称U为合取一致模；若U(0, 1)=1，称U为析取一致模。

一致模U在A(e)=[0, 1]²\([0, e]²∪[e, 1]²)的取值介于取大和取小之间，即：

$ \begin{array}{l} min\left( {x,y} \right) \le U\left( {x,y} \right) \le \max \left( {x,y} \right)\\ \left( {x,y} \right) \in A\left( e \right) \end{array} $

(3)

下面将给出一致模序关系的定义。

定义2^[5]：设一致模U₁, U₂，若U₁(x, y)≤U₂(x, y)，(x, y)∈[0, 1]²，则称U₁弱于U₂，记为U₁≤U₂。

在众多的文献中，一致模的研究集中于如下四类一致模：

1) 可表示一致模U_rep^[6]：具有加法生成子；

2) U_min^[6-7]：min(x, y)≤U(x, y)≤max(x, y)，其中(x, y)∈A(e)；

3) 幂等一致模U_ide^[8]：U(x, y)=x，x∈[0, 1]；

4) 带有连续、Archimedean基础算子的一致模U_cA^[9-10]：基础三角模T_U和基础三角余模S_U均是连续、Archimedean的。

2 主要结论

根据一致模序关系的定义，有如下结论^[5-6]：

1) 若一致模U₁, U₂分别带有单位元e₁, e₂，则：

$ {U_1} \le {U_2} \Rightarrow {e_1} \ge {e_2} $

2) 不存在比合取一致模弱的析取一致模；

3) U_e(x, y)≤U(x, y)≤U_e(x, y)，其中：

$ {{\bar U}_e}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in A\left( e \right) \end{array} \right. $

$ {{\bar U}_e}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in A\left( e \right) \end{array} \right. $

基于以上结论，本文着重分析带有相同单位元e∈]0, 1[的合取一致模U₁, U₂之间的序关系。

2.1 可表示一致模U_rep

定理1：设U₁, U₂∈U_rep，则U₁≤U₂⇔${h_1} \circ {h_2}^{ - 1}$是超可加的，其中h₁, h₂分别为U₁, U₂的加法生成子。

证明：文献[5]已经给出定理1的结论，为了保证本文的完整性，给出相关证明。

设U₁, U₂∈U_rep，根据文献[6]中的定理3知：存在加法生成子(严格递减的函数)h_i:[0, 1]→R，i=1, 2，h_i(0)=-∞，h_i(e)=0，h_i(1)=∞，满足U_i(x, y)=h_i-1(h_i(x)+h_i(y))，(x, y)∈[0, 1]²\{(0, 1), (0, 1)}。

因此，U₁≤U₂⇔h₁^-1(h₁(x₁)+h₁(x₂))≤h₂^-1(h₂(x₁)+h₂(x₂))

$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow {h_1} \circ {h_1}^{ - 1}\left( {{h_1}\left( {{x_1}} \right) + {h_1}\left( {{x_2}} \right)} \right) \le {h_2} \circ {h_2}^{ - 1}\\ \left( {{h_2}\left( {{x_1}} \right) + {h_2}\left( {{x_2}} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow {h_1}\left( {{x_1}} \right) + {h_1}\left( {{x_2}} \right) \le {h_1} \circ {h_2}^{ - 1}\left( {{h_2}\left( {{x_1}} \right) + } \right.\\ \left. {{h_2}\left( {{x_2}} \right)} \right) \end{array} $

(4)

令w₁=h₂(x₁)，w₂=h₂(x₂)，则式(4)等价于${h_1} \circ {h_2}^{ - 1}({w_1}) + {\rm{ }}{h_1} \circ {h_2}^{ - 1}({w_2}){\rm{ }} \le {h_1} \circ {h_2}^{ - 1}({w_1} + {\rm{ }}{w_2})$，即${h_1} \circ {h_2}^{ - 1}$是超可加的。

下面通过例子说明定理1。

例1：设U₁, U₂∈U_rep，加法生成子分别为：

$ {h_1}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \log \left( {3/\left( {{4^{2x}} - 1} \right)} \right)\;\;\;\;\;\;x \le \frac{1}{2}\\ \log \left( {3/\left( {{4^{2 - 2x}} - 1} \right)} \right)\;\;\;\;\;\;x \ge \frac{1}{2} \end{array} \right. $

$ {h_2}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \log \left( {1/\left( {{2^{2x}} - 1} \right)} \right)\;\;\;\;\;\;x \le \frac{1}{2}\\ \log \left( {1/\left( {{2^{2 - 2x}} - 1} \right)} \right)\;\;\;\;\;\;x \ge \frac{1}{2} \end{array} \right. $

经计算可知：${h_1} \circ {h_2}^{ - 1}$是超可加的，U₁≤U₂。

根据定理1，我们可以得到一致模的序关系与基础算子之间的关系。

推论1：若U₁, U₂∈U_rep，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2；S_U1≤S_U2。

证明:

1) 必要性：明显成立。

2) 充分性：根据文献[6]中定理3知，若一致模U∈U_rep，则U的基础算子T_U、S_U均是严格的。根据文献[7]中定理5.1，严格的三角模和三角余模均存在加法生成子。设f₁、f₂、g₁、g₂分别为T_U1、T_U2、S_U1、S_U2的加法生成子，根据文献[7]中定理6.2知：若T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2，则$ {f_1} \circ {f_2}^{ - 1}$是次可加的，$ {g_1} \circ {g_2}^{ - 1}$是超可加的。根据文献[6]中定理2知：U₁, U₂的加法生成子分别为：

$ {h_1} = \left\{ \begin{array}{l} - {f_1}\left( {\frac{x}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;x \le e\\ {g_1}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;x \ge e \end{array} \right. $

$ {h_2} = \left\{ \begin{array}{l} - {f_2}\left( {\frac{x}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;x \le e\\ {g_2}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;x \ge e \end{array} \right. $

此时$ {h_1} \circ {h_2}^{ - 1}$是超可加的，由此根据定理1知U₁≤U₂。

命题1:不存在U₁, U₂∈U_rep，使得对任意的U∈U_rep满足U₁≤U≤U₂。

证明：设U的基础三角模T_U∈(T_λ^F)_{λ∈]0, +∞[}，根据文献[7]中定理6.8知：T_U关于参数λ严格递减，因此T_L≤T_U≤T_M。根据推论1和文献[6]中定理3知：不存在U₁, U₂∈U_rep使得U₁≤U≤U₂成立。

2.2 U_min

定理2：设U₁, U₂∈U_min，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2, S_U1≤S_U2。

证明：根据文献[6]中定理1可知：当U∈U_min时，U具有表达式(5)，因此结论明显成立。

例2：设U₁, U₂∈U_min，其中：

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ \max \left( {x,y} \right)\\ \min \left( {x,y} \right) \end{array}&\begin{array}{l} \left( {x,y} \right) \in [0,e{[^2}\\ \left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 其他 \end{array} \end{array}} \right. $

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} e{T_U}\left( {\frac{x}{e},\frac{y}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \le x,y \le e\\ e + \left( {1 - e} \right){S_U}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}},\frac{{y - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e \le x,y \le 1\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in A\left( e \right) \end{array} \right. $

(5)

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \max \left( {x + y - e,0} \right)\\ \min \left( {x + y - e,1} \right)\\ \min \left( {x,y} \right) \end{array}&\begin{array}{l} \left( {x,y} \right) \in [0,e{[^2}\\ \left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 其他 \end{array} \end{array}} \right. $

明显有：U₁≤U₂。

U₁, U₂基础三角模和三角余模分别为：

T_U1(x, y)=T_D(x, y)

$ \begin{array}{l} {T_{{U_1}}}\left( {x,y} \right) = {T_D}\left( {x,y} \right)\\ = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in [0,1{[^2}\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. \end{array} $

$ {S_{{U_1}}}\left( {x,y} \right) = \max \left( {x,y} \right),\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2} $

$ \begin{array}{l} {T_{{U_2}}}\left( {x,y} \right) = \max \left( {x,y - 1,0} \right),\left( {x,y} \right)\\ \in {\left[ {0,1} \right]^2} \end{array} $

$ \begin{array}{l} {S_{{U_2}}}\left( {x,y} \right) = \min \left( {x + y,1} \right),\left( {x,y} \right)\\ \in {\left[ {0,1} \right]^2} \end{array} $

T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2显然成立。

推论2：∀U∈U_min，存在U₁, U₂∈U_min，使得U₁≤U≤U₂，其中：

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ \max \left( {x,y} \right)\\ \min \left( {x,y} \right) \end{array}&\begin{array}{l} \left( {x,y} \right) \in [0,e{[^2}\\ \left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 其他 \end{array} \end{array}} \right. $

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in ]e,1{]^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;x = e,y \in ]e,1[或\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in ]e,1],y = e\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

证明：U₁, U₂的基础三角模和三角余模分别为T_U1, T_U2和S_U1, S_U2，其中：

$ {T_{{U_1}}}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in [0,1{[^2}\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

$ {S_{{U_1}}}\left( {x,y} \right) = \max \left( {x,y} \right),\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2} $

$ {T_{{U_2}}}\left( {x,y} \right) = \min \left( {x,y} \right),\left( {x,y} \right) \in {\left[ {1,1} \right]^2} $

$ {S_{{U_2}}}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in [0,1{[^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

因为U的基础算子T_U, S_U满足：T_D≤T_U≤T_M, S_D≤S_U≤S_M，由定理2知结论成立。

2.3 幂等一致模U_ide

参考文献[4]、^[8]分别探讨了左连续和右连续的幂等一致模的有关性质，就此我们也分别考虑左连续和右连续的幂等一致模的序关系。

定理3：设左连续一致模U₁, U₂∈U_ide，则U₁≤U₂⇔g₁(x)≥g₂(x)，其中：g₁(x)、g₂(x)分别为U₁、U₂的关联函数。

证明：由文献[8]知：任意左连续一致模U(x, y)∈U_ide，具有如下形式：

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;y \le g\left( x \right)\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;y > g\left( x \right) \end{array} \right. $

其中：g(x)为U的关联函数，左连续，单调递减，g(e)=e，满足g(g(x))≥x，x∈[0, 1]。

1) 充分性：设g₁(x)≥g₂(x)，x∈[0, 1]。下面分三种情况进行说明：

(ⅰ)当y≤g₂(x)时，U₁(x, y)=U₂(x, y)=min(x, y)；

(ⅱ)当y≥g₁(x)时，U₁(x, y)=U₂(x, y)=max(x, y)；

(ⅲ)当g₂(x)≤y≤g₁(x)时，U₁(x, y)=min(x, y)≤U₂(x, y)=max(x, y)。

2) 必要性：显然成立。

例3：设左连续一致模U₁, U₂∈U_ide，其中：

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cup \left( {x = 0,y \in ]e,1]} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cup \left( {y = 0,x \in ]e,1]} \right)\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

明显有：U₁≤U₂。它们各自的关联函数如下：

$ {g_1}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;x \le e\\ e\;\;\;\;x > e \end{array} \right. $

$ {g_2}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1\;\;\;\;\;x = 0\\ e\;\;\;\;\;x \in ]0,e]\\ 0\;\;\;\;\;x \in ]e,1] \end{array} \right. $

明显有：g₁(x)≥g₂(x)。

定理4：设右连续一致模U₁, U₂∈U_ide，则U₁≤U₂⇔w₁(x)≥w₂(x)，其中：w₁(x)、w₂(x)分别为U₁、U₂的关联函数。

证明：由文献[8]知：对于任意的右连续一致模U(x, y)∈U_ide，具有如下形式：

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;y \ge w\left( x \right)\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;y < w\left( x \right) \end{array} \right. $

其中：w₁(x):[0, 1]→[0, 1]为U的关联函数，右连续，单调递减，w(e)=e，满足w(w(x))≥x，x∈[0, 1]。证明与定理3类似。

注1：定理3和定理4均要求一致模U左连续或者右连续，此条件必不可少。下面通过例子进行说明。

例4：设U₁, U₂∈U_ide，既不左连续也不右连续，关联函数为：g₁(x)=g₂(x)=1-x，x∈[0, 1]。

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;y < g\left( x \right)\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;y = g\left( x \right),且\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \left[ {0,\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {\frac{7}{8},1} \right]\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \max \left( {x,y} \right)\;\;\;y = g\left( x \right),且\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \left[ {0,\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {\frac{7}{8},1} \right]\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

显然，U₁(x, y)和U₂(x, y)无法比较。

推论3：对任意的U∈U_ide，存在U₁, U₂∈U_ide，使得U₁≤U≤U₂，其中：

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \max \left( {x,y} \right)\\ \min \left( {x,y} \right) \end{array}&\begin{array}{l} \left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 其他 \end{array} \end{array}} \right. $

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;x = 0\;或\;y = 0\;或\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,1} \right]^2}\backslash {\left[ {0,e} \right]^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;其他 \end{array} \right. $

2.4 带连续、Archimedean基础算子的一致模U_cA

若U∈U_cA，则U对应的基础算子T_U、S_U是严格的或幂零的^[4]。本文中仅考虑U₁, U₂∈U_cA的基础算子T_Ui, S_Ui, i=1, 2均为严格或幂零的。

定理5：设一致模U₁, U₂∈U_cA，则下列结论成：

(ⅰ)若T_Ui, S_Ui, i=1, 2均为幂零的，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2；

(ⅱ)若T_Ui, i=1, 2均为幂零的，S_Ui, i=1, 2均为严格的，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2；

(ⅲ)若T_Ui, i=1, 2为严格的，S_Ui, i=1, 2为幂零的，且存在x₀∈]0, e[，使得U₂(x_{0, 1})=1，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2。

证明：

(ⅰ)+(ⅱ)：根据文献[9]中定理5和文献[10]中定理3知：U₁, U₂∈U_min，由定理2知结论成立；

(ⅲ)：由文献[9]中定理4知：若T_U为严格的，S_U为幂零的，则合取一致模U具有如下形式：

① U∈U_min或

② 式(6)

若存在x₀∈]0, e[，使得U₂(x₀, 1)=1，则U₂具有式(6)的表达式，根据定理2和式(3)可知结论成立。

注2：定理5(ⅲ)中条件：存在x₀∈]0, e[，使得U₂(x₀, 1)=1，必不可少。

定理6：设U₁, U₂∈U_cA，且T_Ui, S_Ui, i=1, 2均为严格的，则下列结论成立：

1) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 0[，使得U₂(x₀, y₀)=max(x₀, y₀)，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2；

2) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 1[，使得U₁(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，U₂(x₀, y₀)∈]x₀, y₀[，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2, S_U1≤S_U2；

3) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 1[，使得U₂(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，U₂(x₀, 1)=1，U₁(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，则U₁≤U₂⇔T_U1≤T_U2，S_U1≤S_U2。

证明：根据文献[9]中定理3知：若T_U、S_U均为严格的，则合取一致模U具有如下形式：

① U∈U_min或

② U为合取的可表示一致模或

③ 式(7)或

④ 式(8)

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} e{T_U}\left( {\frac{x}{e},\frac{y}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ e + \left( {1 - e} \right){S_U}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}},\frac{{y - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\;或\;y = 1\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

(6)

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} e{T_U}\left( {\frac{x}{e},\frac{y}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ e + \left( {1 - e} \right){S_U}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}},\frac{{y - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 1,y \ne 0\;或\;x \ne 0,y = 1\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

(7)

$ U\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} e{T_U}\left( {\frac{x}{e},\frac{y}{e}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {0,e} \right]^2}\\ e + \left( {1 - e} \right){S_U}\left( {\frac{{x - e}}{{1 - e}},\frac{{y - e}}{{1 - e}}} \right)\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ 0\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

(8)

需要注意的是：若U为合取的可表示一致模，则有：

$ U\left( {0,y} \right) = 0,\forall y \in \left[ {e,1} \right] $

$ U\left( {x,1} \right) = 1,\forall x \in ]0,e] $

$ U\left( {x,1} \right) \in ]x,y[ $

其中：∀(x, y)∈]0, e[×]e, 1[

1) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 1[，使得U₂(x₀, y₀)=max(x₀, y₀)，则U₂具有表达式(8)，结论明显成立；

2) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 1[，使得U₁(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，U₂(x₀, y₀) ∈]x₀, y₀[，则U₁属于①或②或③，U₂为合取的可表示一致模。因此结论明显成立；

3) 若存在(x₀, y₀)∈]0, e[×]e, 1[，使得U₁(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，U₂(x₀, 1)=1，U₂(x₀, y₀)=min(x₀, y₀)，则U₁属于①或③，U₂具有表达式(7)。因此结论明显成立。

推论4：对任意的一致模U∈U_cA，存在U₁, U₂使得U₁≤U≤U₂，其中：

$ {U_1}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\;或\;y = 0\;或\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in ]0,e{[^2}\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in {\left[ {e,1} \right]^2}\\ \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

$ {U_2}\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \min \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;x = 0\;或\;y = 0\;或\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {x,y} \right) \in ]0,e{]^2}\\ 1\\ \max \left( {x,y} \right)\;\;\;\;\;其他 \end{array} \right. $

注3：推论4中U₁, U₂基础三角余模为S_M(x, y)=max(x, y), (x, y)∈[0, 1]²，S_M(x, y)不是Archimedean的，所以U₁, U₂∉U_cA。

3 总结

本文讨论了四类一致模的序关系问题，给出例子解释说明，分析了相应的最大元和最小元。

对于四类一致模中的链结构，以及文献[11]中]0, 1[²上连续的一致模类的序关系，将进行后续讨论。