广义系统在很多文献中也叫做奇异系统, 相对于普通的控制系统来说, 广义系统更加广泛^[1-3]。在20世纪70年代左右广义系统开始成熟并得到快速发展, Rosenbrock.H教授第一次提出了广义系统, 并研究了相关的解耦零点和受限等价变换问题。随后, 广大学者对广义系统进行了多方面的研究^{[1, 4-9]}。对于离散和非线性广义系统也有学者进行了相应的研究^[10-11]。

随机系统是指系统受到某些随机性的干扰、或者存在随机误差的系统。对某些随机系统也可以讨论系统的随机过程的分布, 现在很多学者讨论Markov过程来描述随机系统^[12-13]。在实际中, 随机因素虽然有时可以忽略, 此时系统可以近似地当作确定性的来处理, 但会降低系统的精度, 因此, 把动态系统作为随机系统来研究是十分必要的^{[1, 8, 14]}。

另外时滞也是系统中常见的现象, 系统中经常一处或几处的信号传递有时间延迟。严格地说, 控制系统中时滞是普遍存在的, 只有大小的不同。近来很多学者对系统的各种问题进行了探讨^[15-17]。特别是吴敏、何勇等对于多时变时滞系统, 采用牛顿-莱布尼兹公式和自由权矩阵方法, 获得了基于线性矩阵不等式描的时滞相关条件, 所得结果克服了已有结果的保守性^[16-18]。对于广义随机系统的正则无脉冲以及随机可容许问题, 很多学者也进行了详细的阐述^{[5, 7, 9, 14, 18-20]}。

以上文献虽然探讨了广义随机以及时滞等相关问题, 但是对于基于滤波器的广义随机时滞系统的稳定性以及相关问题还很少, 对这个问题的研究具有一定的理论意义。本文所研究的系统中含有状态时滞和Markov跳变参数。其中跳变参数用一个有限

状态的Markov过程来描述。基于这个随机时滞的广义系统我们设计一个滤波器, 基于这个滤波器我们构造一个新型的广义随机滤波系统, 进而讨论该系统的广义随机可容许性以及H∞性能指标。

1 问题描述

现在我们考虑如下的广义随机系统:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} E\dot x\left( t \right) = A\left( {{r_t}} \right)x\left( t \right) + {A_d}\left( {{r_t}} \right)\;\;x\left( {t - d\left( t \right)} \right) + \\ {B_\omega }\left( {{r_t}} \right)\omega \left( t \right), \end{array}\\ \begin{array}{l} y\left( t \right) = C\left( {{r_t}} \right)x\left( t \right) + {C_d}\left( {{r_t}} \right)x\left( {t - d\left( t \right)} \right) + \\ {D_\omega }\left( {{r_t}} \right)\left( t \right)\omega \left( t \right), \end{array}\\ {z\left( t \right) = L\left( {{r_t}} \right)x\left( t \right) + {L_d}\left( {{r_t}} \right)x\left( {t - d\left( t \right)} \right), }\\ {x\left( t \right) = \varphi \left( t \right), t \in \left[ { - h, 0} \right], } \end{array}} \right. $

(1)

其中x(t)∈Rⁿ是状态向量, ω(t)∈R^l为扰动输入向量且属于L₂[0, ∞), z(t)∈R^r为被控输出向量, 常值时滞h>0, φ(t)表示[-h  0]上的连续初始向量函数。系数矩阵E或许是奇异的, 我们假定rank E=r≤n。时滞d(t)是一个时变函数满足0≤d(t)≤h而且$\dot d\left( t \right) \le \mu $。随机参数{r_t, t≥0}表示连续时间离散状态的Markov过程, 取值在有限集S={1, 2, …, N}, 并且转移概率矩阵Π=[π_ij]_{i, j∈N}。从模式i到模式j的转移概率定义为

$ \begin{array}{l} P\left\{ {r\left( {t + h} \right) = j|r\left( t \right) = i} \right\} = \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{ \mathsf{ π} }}_{ij}}h + o\left( h \right), i \ne j, }\\ {1 + {\pi _{ij}}h + o\left( h \right), i = j, } \end{array}} \right. \end{array} $

(2)

其中h>0且$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{o\left( h \right)}}{h} = 0$, π_ij是从模式i到模式j的转移概率, 满足

$ {\pi _{ii}} = - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^N {{\pi _{ij}}} 。$

(3)

为了后面论文描述的方便和简洁我们做如下的记号简化, 当r_t=i, 引入记号A_i(t)表示A(r_t), 其他相关的符合都做类似的处理。

下面我们对系统(1)设计如下的滤波器:

$ \left\{ \begin{matrix} \dot{\hat{x}}={{A}_{Fi}}\hat{x}\left( t \right)+{{B}_{Fi}}y\left( t \right), \\ \hat{z}\left( t \right)={{C}_{Fi}}\hat{x}\left( t \right)+{{D}_{Fi}}y\left( t \right), \\ \hat{x}\left( t \right)=0, \\ \end{matrix} \right. $

(4)

这里A_Fi∈Rⁿ, B_Fi∈Rⁿ, C_Fi∈Rⁿ, D_F∈Rⁿ是待定的滤波参数。为了分析基于滤波(4)的稳定性, 我们需要构造基于这个滤波器的随机系统, 首先我们定义如下的变量:

$ \zeta \left( t \right)=\left[ \begin{matrix} x\left( t \right) \\ \hat{x}\left( t \right) \\ \end{matrix} \right], e\left( t \right)=z\left( t \right)-\hat{z}\left( t \right) $

(5)

根据系统(1)和滤波器(4)以及公式(5)我们得到如下的广义随机滤波系统。

$ \left\{ \begin{matrix} \bar{E}\dot{\zeta }\left( t \right)={{{\bar{A}}}_{i}}\dot{\zeta }\left( t \right)+{{{\bar{A}}}_{di}}S\dot{\zeta }\left( t-d\left( t \right) \right)+{{{\bar{B}}}_{i}}\omega \left( t \right), \\ e\left( t \right)={{{\bar{C}}}_{i}}\dot{\zeta }\left( t \right)+{{{\bar{C}}}_{di}}S\dot{\zeta }\left( t-d\left( t \right) \right)+{{{\bar{D}}}_{i}}\omega \left( t \right), \\ \zeta \left( t \right)={{\left[ {{\varphi }^{T}}\left( t \right)\ \ \ 0 \right]}^{T}} \\ \end{matrix} \right. $

(6)

这里

$ \begin{align} & \bar{E}=\left[ \begin{matrix} E & 0 \\ 0 & I \\ \end{matrix} \right], {{{\bar{A}}}_{i}}=\left[ \begin{matrix} {{A}_{i}} & 0 \\ {{B}_{F}}{{C}_{i}} & {{A}_{Fi}} \\ \end{matrix} \right], \\ & {{{\bar{A}}}_{di}}=\left[ \begin{matrix} {{A}_{d\text{i}}} \\ {{B}_{Fi}}{{C}_{d\text{i}}} \\ \end{matrix} \right], \\ & {{{\bar{B}}}_{i}}=\left[ \begin{matrix} {{B}_{i}} \\ {{B}_{Fi}}{{D}_{i}} \\ \end{matrix} \right], \bar{S}=\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ \end{matrix} \right], \\ & {{{\bar{C}}}_{i}}=\left[ \begin{matrix} {{L}_{i}}-{{D}_{Fi}}{{C}_{i}} & -{{C}_{Fi}} \\ \end{matrix} \right], \\ & {{{\bar{C}}}_{d}}=\left[ {{L}_{di}}-{{D}_{Fi}}{{C}_{di}} \right], {{{\bar{D}}}_{i}}=\left[ -{{D}_{Fi}}{{D}_{i}} \right] \\ \end{align} $

为了证明论文的理论我们先介绍如下的相关概念。首先我们介绍Markov跳跃参数的广义标称系统的正则、无脉冲的概念。

带有Markov跳跃参数的广义标称系统描述如下:

$ E\dot{x}\left( t \right)=A\left( {{r}_{t}} \right)x\left( t \right), $

(7)

$ E\dot{x}\left( t \right)=A\left( {{r}_{t}} \right)x\left( t \right)+{{A}_{d}}\left( {{r}_{t}} \right)x\left( t-d \right) $

(8)

对于标称系统(7)和(8), 我们给出以下定义:

定义1:

1) 系统(7)是正则的如果det(sE-A_i)≠0, i∈S。

2) 系统(7)是无脉冲的如果deg(det(sE-A_i))=rankE_i i∈S。

3) 如果系统(7)是随机稳定的, 则对于任意x₀∈Rⁿ和r₀∈S, 存在标量${\tilde{M}}$(x₀, r₀)>0满足

$ \underset{\text{t}\to \infty }{\mathop{\lim }}\, \left\{ \int_{0}^{t}{{{x}^{T}}}\left( s, {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right)x\left( s, , {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right)ds|{{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right\}\le \tilde{M}\left( {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right) $

其中x(t, x₀, r₀)表示系统(7)在初始条件x₀和r₀下t时刻的解。

4) 如果系统(7)是正则、无脉冲和随机稳定的, 那么称系统(7)是随机可容许的。

定义2:对于给定的标量h>0, 如果广义Markovian跳变时滞系统(5)是正则、无脉冲的, 那么系统(7)和系统$E\dot{x}\left( t \right)$=A(r_t)+A_d(r_t)x(t)都是正则、无脉冲的。如果系统(8)是随机稳定的, 则对于任意x₀∈Rⁿ和r₀∈S, 存在标量, ${\tilde{M}}$(x₀, r₀)>0, 满足

$ \underset{\text{t}\to \infty }{\mathop{\lim }}\, E\left\{ \int_{0}^{t}{{{x}^{T}}}\left( s, {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right)x\left( s, , {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right)ds|{{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right\}\le \tilde{M}\left( {{x}_{0}}, {{r}_{0}} \right) $

其中x(t, x₀, r₀)表示系统(8)在初始条件x₀和r₀下t时刻的解。系统(8)是随机可容许的如果系统(8)是正则、无脉冲和随机稳定的。

定义3:对于给定的标量h>0, γ>0, 广义Markovian跳变时滞系统(1)是随机可容许的并具有H_∞性能γ, 如果系统(6)根据定义2是随机可容许的, 且对任意的非零向量ω(t)∈L₂[0, ∞)和所有的不确定项, 均有

$ \varepsilon \left( {{\left\| z\left( t \right) \right\|}_{2}} \right)<\gamma {{\left\| \omega \left( t \right) \right\|}_{2}}。$

在本文中我们主要探讨系统(6)的H_∞随机可容许问题。

引理1^[20]:广义Markovian跳变系统是随机可容许的, 当且仅当存在矩阵P_i, i=1, …, N, 满足

$ {{E}^{T}}{{P}_{i}}=P_{i}^{T}E\ge 0, $

(9)

$ \sum\limits_{j=1}^{N}{{{\pi }_{ij}}}{{E}^{T}}{{P}_{j}}+P_{i}^{T}{{A}_{i}}+A_{i}^{T}{{P}_{i}}<0. $

(10)

引理2 (Schur引理^[8]):假设对称矩阵F=F^T∈R^(n+m)×(n+m)的分块表示为

$ F=\left[ \begin{matrix} A & {{B}^{T}} \\ B & C \\ \end{matrix} \right], $

其中A∈R^n×n, B∈R^n×m, C∈R^m×m.则以下两个结论等价,

结论a:若C是非奇异的, 则F>0的充分必要条件是C>0且A-B^TC^-1B>0.

结论b:若A是非奇异的, 则F>0的充分必要条件是A>0且C-B^TA^-1B>0.

引理3^[8]:对给定的适当维数正定矩阵Q和任意适当维数矩阵P, R, 则下列结论成立:

$ P{{R}^{T}}+R{{P}^{T}}\le RQ{{R}^{T}}+P{{Q}^{-1}}{{P}^{T}}. $

为了下面理论的证明我们在引入几个自由权公式

$ 2{{\eta }^{T}}\left( t \right)N\left[ Ex\left( t \right)-Ex\left( t-d\left( t \right) \right)-\int_{t-d\left( t \right)}^{t}{E\dot{x}\left( s \right)d\alpha } \right]=0, $

(11)

$ 2{{\eta }^{T}}\left( t \right)M\left[ Ex\left( t \right)-Ex\left( t-d\left( t \right) \right)-\int_{t-d\left( t \right)}^{t}{E\dot{x}\left( s \right)d\alpha } \right]=0, $

(12)

这里

$\eta \left( t \right)={{\left[ {{x}^{T}}\left( t \right), {{{\hat{x}}}^{T}}\left( t \right), {{x}^{T}}\left( t-d\left( t \right) \right), {{x}^{T}}\left( t-h \right), {{\omega }^{T}}\left( t \right) \right]}^{T}}, $M和N适当维数的矩阵。

2 随机可容许问题分析

主要讨论基于系统(1)和滤波器(4)的广义随机滤波系统(6)的随机可容许问题, 我们讨论时滞相关的随机可容许条件。

定理1:考虑广义随机滤波系统(6)给定标量h>0, γ>0和μ, 以及适当维数的矩阵$P=\left[ \begin{matrix} {{P}_{1i}} & {{P}_{2i}} \\ * & {{P}_{3i}} \\ \end{matrix} \right]>0$, i=1, …, N, Q₁>0, Q₂>0, Z>0, X>0, 已及任意适当维数的N, M使得如下不等式, 那么系统(6)是随机可容许的且满足H_∞性能指标γ。

$ {{E}^{T}}{{P}_{1i}}={{P}_{1i}}^{T}E\ge 0, $

(13)

$ {{\Xi }_{i}}\left[ \begin{matrix} {{\Xi }_{1i}}+\Xi _{2i}^{T}+{{\Xi }_{2i}}+hX & h\Xi _{3i}^{T}Z & \Xi _{4i}^{T} \\ * & -hZ & 0 \\ * & * & -Z \\ \end{matrix} \right]<0, $

(14)

$ {\Xi _5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X&N\\ {{N^T}}&Z \end{array}} \right] \ge 0, $

(15)

$ {\Xi _6} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X&M\\ {{M^T}}&Z \end{array}} \right] \ge 0, $

(16)

这里

$ \begin{array}{l} {\Xi _{1i}} =\\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Xi _{11i}}}&{{\Xi _{12i}}}&{{P_{1i}}{A_{di}} + {P_{2i}}{B_{Fi}}{C_{di}}}\\ *&{{P_{3i}}{A_{Fi}} + A_{Fi}^T{P_3}}&{P_{2i}^T{A_{di}} + {P_{3i}}{B_{Fi}}{C_{di}}}\\ *&*&{ - \left( {1 - \mu } \right){Q_2}}\\ *&*&*\\ *&*&* \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{P_{1i}}{B_i} + {P_{2i}}{B_{Fi}}{D_i}}\\ 0&{P_{2i}^{^T}{B_i} + {P_{3i}}{B_{Fi}}{D_i}}\\ 0&0\\ { - {\gamma ^2}I}&0\\ *&{ - {\gamma ^2}I} \end{array}} \right]\\ {\Xi _{2i}} = \left[ {NE\;\;0\;\;ME - NE\; - ME\;\;0} \right], \\ {\Xi _{3i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_i}}&0&{{A_{di}}}&0&{{B_i}} \end{array}} \right], \\ {\Xi _{4i}} = \left[ {{L_i} - {D_{Fi}}{C_i}\;\; - {C_{Fi}}\;\;{L_d} - {D_{Fi}}{C_{di}}\;\;0\;\;{D_{Fi}}{D_i}} \right], \\ {\Xi _{11i}} = {P_{1i}}{A_i} + A_i^T{P_{1i}} + {P_2}{B_{Fi}}{C_i} + C_i^TB_{Fi}^TP_2^T + {Q_1} + \\ {Q_2} + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}{E^T}{P_{1j}}} \\ {\Xi _{12i}} = {P_2}{A_{Fi}} + A_{Fi}^T{P_2} + C_i^TB_{Fi}^T{P_3} \end{array} $

证明:

首先我们证明系统$\bar E\dot \zeta \left( t \right) = {\bar A_i}{\zeta _i}\left( t \right) + {A_{di}}{\zeta _i}\left( t \right)$是正则无脉冲的。

根据(13)我们可以得到:

$ \begin{array}{l} P_i^T{{\bar A}_i} + \bar A_i^T{{\bar P}_i} - {{\bar E}^T}Z\bar E + Q + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {E^T}{P_j} + \\ \left( {P_i^T{{\bar A}_{di}} + {{\bar E}^T}Z\bar E} \right){\left( {Q + {{\bar E}^T}Z\bar EE} \right)^{ - 1}}\left( {P_i^T{{\bar A}_d} + {{\bar E}^T}Z\bar E} \right)T < 0. \end{array} $

(17)

应用引理3, 根据(17)得

$ \begin{array}{l} 0 > P_i^T{{\bar A}_i} + \bar A_i^T{{\bar P}_i} - {{\bar E}^T}Z\bar E + Q + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {{\bar E}^T}{P_j} + \\ P_i^T{{\bar A}_{di}} + {{\bar E}^T}Z\bar E + \left( {P_i^T{{\bar A}_d} + {{\bar E}^T}Z\bar E} \right)T - Q - {{\bar E}^T}Z\bar E > \\ {\left( {{{\bar A}_i} + {{\bar A}_{di}}} \right)^T}{P_i} + P_i^T\left( {{{\bar A}_i} + {{\bar A}_{di}}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {{\bar E}^T}{P_j}. \end{array} $

(18)

那么根据引理1和(13)以及(18)可以得知系统

$ \bar E\dot \zeta \left( t \right) = {\bar A_i}\zeta \left( t \right) + {\bar A_{di}}\zeta \left( t \right) $

是随机可容许的。

由于rankE-=r_E≤n, 则存在非奇异矩阵U_i和V_i 使得

$ {U_i}\bar E{V_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{{r_E}}}}&0\\ 0&0 \end{array}} \right] $

我们令

$ \begin{array}{l} {U_i}{{\bar A}_i}{V_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat A}_{11i}}}&{{{\hat A}_{12i}}}\\ {{{\hat A}_{21i}}}&{{{\hat A}_{22i}}} \end{array}} \right], \\ {U_i} - T{P_i}{V_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat P}_{11i}}}&{{{\hat P}_{12i}}}\\ {{{\hat P}_{21i}}}&{{{\hat P}_{22i}}} \end{array}} \right], \end{array} $

(19)

根据(18), (19)以及(13)容易得知:

$ {\hat P_{11i}} \ge 0. $

(20)

根据(17), 得

$ P_i^T{\bar A_i} + \bar A_i^T{P_i} - {\bar E^T}Z\bar E + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {\bar E^T}{P_j} < 0. $

(21)

现在, 分别用V_i^T和V_i左乘和右乘(21), 可以得到:

$ \hat P_{22i}^T{\hat A_{22i}} + {\hat A^T}_{22i}{\hat P_{22i}} < 0, $

因此我们可以得知$\det {\hat A_{22i}} \ne 0$, i=1, …, N, 从而系统$\bar E\dot \zeta \left( t \right) = {\hat A_i}\zeta \left( t \right)$是正则无脉冲的。根据定义2, 系统(6)对于时滞h>0是正则、无脉冲的。

现在我们证明系统(6)是随机稳定的。构造如下形式的Lyapunov泛函

$ \begin{array}{l} V\left( {\zeta \left( t \right), r\left( t \right)} \right) = {\zeta ^T}\left( t \right){{\bar E}^T}P\left( {r\left( t \right)} \right)\zeta \left( t \right) + \\ \int_{t - h}^t {{x^T}} \left( \alpha \right){Q_1}x\left( \alpha \right)d\alpha + \\ \int_{t - d\left( t \right)}^t {{x^T}} \left( \alpha \right){Q_2}x\left( \alpha \right)d\alpha + \\ \int_{ - h}^0 {\int_{t + \theta }^t {{{\dot x}^T}} \left( \alpha \right){E^T}ZE\dot x\left( \alpha \right)d\alpha } d\beta \end{array} $

(22)

A是随机过程{ζ(t), r(t)}下的弱无穷小算子。则对于任意r_t=i, i∈S可以得到:

$ \begin{array}{l} AV\left( {\zeta \left( t \right), {r_t} = i} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{\mathit{\Delta } \to 0} \frac{1}{\mathit{\Delta }}\left[ {\left\{ {V\left( {\zeta \left( {t + \mathit{\Delta }} \right), r\left( {t + \mathit{\Delta }} \right)} \right)|\zeta \left( t \right), r\left( t \right) = i} \right\} - V(\zeta \left( t \right), r\left( t \right) = i} \right]\\ = 2{\zeta ^T}{{\bar E}^T}{P_i}\dot \zeta \left( t \right) + {x^T}\left( t \right){Q_1}x\left( t \right) - {x^T}\left( {t - h} \right){Q_1}x\left( {t - h} \right) + {x^T}\left( t \right){Q_2}x\left( t \right)\\ - \left( {1 - \dot d\left( t \right)} \right){x^T}\left( {t - d\left( t \right)} \right){Q_2}x\left( {t - d\left( t \right)} \right) + h{{\dot x}^T}{E^T}\left( t \right)ZE\dot x\left( t \right) - \int_{t - h}^t {{{\dot x}^T}} \left( s \right)\\ {E^T}ZE\dot x\left( s \right)ds + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}{{\bar E}^T}} {P_i}\zeta \left( t \right) \end{array} $

(23)

$ \begin{array}{l} 2{\zeta ^T}{{\bar E}^T}{P_i}\dot \zeta \left( t \right) + {x^T}\left( t \right){Q_1}x\left( t \right) - {x^T}\left( {t - h} \right){Q_1}x\left( {t - h} \right) + {x^T}\left( t \right){Q_2}x\left( t \right)\\ - \left( {1 - \mu } \right){x^T}\left( {t - d\left( t \right)} \right){Q_2}x\left( {t - d\left( t \right)} \right) + h{{\dot x}^T}{E^T}\left( t \right)ZE\dot x\left( t \right) - \int_{t - d\left( t \right)}^t {{{\dot x}^T}} \left( s \right)\\ {E^T}ZE\dot x\left( s \right)d\alpha - \int_{t - h}^{t - d\left( t \right)} {{{\dot x}^T}\left( s \right)} {E^T}ZE\dot x\left( s \right)d\alpha + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {{\bar E}^T}{P_i}\dot \zeta \left( t \right) + \\ 2{\eta ^T}\left( t \right)N\left[ {Ex\left( t \right) - Ex\left( {t\;\;\; - \;\;\;d\left( t \right)} \right) - \int_{t - d\left( t \right)}^t {E\dot x\left( s \right)d\alpha } } \right] + \\ 2{\eta ^T}\left( t \right)M\left[ {Ex\left( {t\;\;\; - \;\;\;d\left( t \right)} \right) - Ex\left( {t\; - \;h} \right) - \int_{t{\rm{ - }}h}^{t - d\left( t \right)} {E\dot x\left( s \right)d\alpha } } \right] + \\ h{\eta ^T}\left( t \right)X\eta \left( t \right) - \int_{t{\rm{ - }}h}^{t - d\left( t \right)} {{\eta ^T}} \left( t \right)X\eta \left( t \right)d\alpha - \int_{t - d\left( t \right)}^t {{\eta ^T}\left( t \right)} X\eta \left( t \right)d\alpha \end{array} $

(24)

根据(1)和(6)我们得到

$ \begin{array}{l} 2{\zeta ^T}\left( t \right){P_i}\bar E\dot \zeta \left( t \right)\\ = 2{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)}\\ {\hat x\left( t \right)} \end{array}} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_{1i}}}&{{P_{2i}}}\\ {P_{2i}^T}&{{P_{3i}}} \end{array}} \right]\\ \left[ {({A_i}x\left( t \right) + {A_{di}}x\left( {t - d\left( t \right) + {B_i}\omega \left( t \right)} \right), {A_{Fi}}\hat x\left( t \right) + {B_{Fi}}y\left( t \right)} \right]\\ = 2{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\left( t \right)}\\ {\hat x\left( t \right)} \end{array}} \right]^T}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_{1i}}}&{{P_{2i}}}\\ {P_{2i}^T}&{{P_{3i}}} \end{array}} \right]\\ \left[ {({A_i}x\left( t \right) + {A_{di}}x\left( {t - d\left( t \right) + {B_i}\omega \left( t \right)} \right), {A_{Fi}}\hat x\left( t \right) + {B_{Fi}}\left( {{C_i}x\left( t \right) + {C_{di}}x\left( {t\; - \;d\left( t \right)} \right) + D\omega \left( t \right)} \right)} \right] \end{array} $

(25)

因此根据以上公式我们可以得到

$ \begin{array}{l} AV(\zeta \left( t \right), {r_t} = i) - {e^T}\left( t \right)e\left( t \right) - {\gamma ^2}{\omega ^T}\left( t \right)\omega \left( t \right) = {\eta ^T}\left( t \right)\\ \left[ {{\Xi _{1i}} + {\Xi _{2i}} + \Xi _{2i}^T + hX + h\Xi _{3i}^TZ{\Xi _{3i}} + \Xi _{4i}^T{\Xi _{4i}}} \right]\eta \left( t \right) - \\ \int_{t - d\left( t \right)}^t {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta ^T}\left( t \right)}&{E\dot x\left( s \right)} \end{array}} \right]} {\Xi _5}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta ^T}\left( t \right)}&{E\dot x\left( s \right)} \end{array}} \right]^T} - \int_{t - d\left( t \right)}^t {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta ^T}\left( t \right)}&{E\dot x\left( s \right)} \end{array}} \right]} \\ {\Xi _6}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta ^T}\left( t \right)}&{E\dot x\left( s \right)} \end{array}} \right]^T} \end{array} $

因此, 如果Ξ₅>0, Ξ₆>0, [Ξ_1i+Ξ_2i+Ξ_2i^T+hX+hΞ_3i^TZΞ_3i+Ξ_4i^TΞ_4i] < 0,

根据引理2和公式(16)我们可以得到

$ AV(\zeta \left( t \right), {r_t}\;\; = \;\;\;i) - {e^T}\left( t \right)e\left( t \right) - {\gamma ^2}{\omega ^T}\left( t \right)\omega \left( t \right) < 0 $

根据定义2和定义3, 可以容易的知道系统(6)是随机可容许的而且满足H_∞性能指标γ。证明完毕。

3 广义H∞滤波设计

这里我们根据定理1讨论基于系统(1)的H_∞滤波器的设计问题。

定理2:考虑广义随机滤波系统(6)给定标量h>0, γ>0和μ, 以及适当维数的矩阵P_1i>0V_i>0, i=1, …, N, Q₁>0, Q₂>0, Z>0, X>0, 已及任意适当维数的N, M, A_Fi, B_Fi, C_Fi, i=1, …, N使得如下不等式, 那么系统(6)是随机可容许的且满足H_∞性能指标γ,

$ \begin{array}{l} {E^T}{P_{1i}} = {P_{1i}}^TE \ge 0, \\ \bar \Xi = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar \Xi }_{1i}} + \bar \Xi _{2i}^T + {{\bar \Xi }_{2i}} + hX}&{h\bar \Xi _{3i}^TZ}&{\bar \Xi _{4i}^T}\\ *&{ - hZ}&0\\ *&*&{ - Z} \end{array}} \right] < 0, \\ {{\bar \Xi }_5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X&N\\ {{N^T}}&Z \end{array}} \right] \ge 0, \\ {{\bar \Xi }_6} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X&M\\ {{M^T}}&Z \end{array}} \right] \ge 0, \end{array} $

(26)

这里

$ \begin{array}{l} {{\bar \Xi }_{1i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bar \Xi }_{11i}}}&{{{\bar \Xi }_{12i}}}&{{P_{1i}}{A_{di}} + {{\bar B}_{Fi}}{C_{di}}}&0&{{P_{1i}}{B_i} + {{\bar B}_{Fi}}{D_i}}\\ *&{{{\bar A}_{Fi}} + \bar A_{Fi3}^T}&{{V_i}{A_{di}} + {{\bar B}_{Fi}}{C_{di}}}&0&{{V_i}{B_i} + {{\bar B}_{Fi}}{D_i}}\\ *&*&{ - \left( {1 - \mu } \right){Q_2}}&0&0\\ *&*&*&{ - Q}&0\\ *&*&*&*&{ - {\gamma ^2}I} \end{array}} \right]\\ {{\bar \Xi }_{2i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bar NE}&0&{\bar ME - \bar NE}&{ - \bar ME}&0 \end{array}} \right], \\ {{\bar \Xi }_{3i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_i}}&0&{{A_{di}}}&0&{{B_i}} \end{array}} \right], \\ {{\bar \Xi }_{4i}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_i} - {{\bar D}_i}{C_i}}&{ - {C_{Fi}}}&{{L_d} - {D_{Fi}}{C_{di}}}&0&{{D_{Fi}}{D_i}} \end{array}} \right]\\ {{\bar \Xi }_{11i}} = {P_{1i}}{A_i} + A_i^T{P_{1i}} + {{\bar B}_{Fi}}{C_i} + C_i^T\bar B_{Fi}^T + {Q_1} + {Q_2} + \sum\limits_{j = 1}^N {{\pi _{ij}}} {E^T}{P_{1j}}\\ {{\bar \Xi }_{12i}} = {{\bar A}_{Fi}} + A_{Fi}^T{V_i} + C_i^TB_{Fi}^T \end{array} $

我们可以得到滤波器参数如下:

$ {A_{Fi}} = V_i^{ - 1}\bar A_F^{ - 1}, {B_{Fi}} = V_i^{ - 1}\bar B_F^{ - 1}, {C_{Fi}} = {\bar C_{Fi}}. $

证明:

为了证明定理2我们先做如下定义

$ \begin{array}{l} {X_{1i}} = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}}&I&I&I&I&I \end{array}} \right\}, \\ {X_{2i}} = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}}&I&I&I&I \end{array}} \right\}. \end{array} $

我们把(14)左乘X_1i, 右乘X_1i^T, (15)和(16)分别左乘X_2i和X_2i^T, 然后做如下的变量替换:

$ \begin{array}{l} \bar N = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}}&I&I&I \end{array}} \right\}N, \\ \bar M = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}}&I&I&I \end{array}} \right\}M, \\ \bar X = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}}&I&I&I \end{array}} \right\}X \end{array} $

$ \begin{array}{l} *diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I, {{\left( {{P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}} \right)}^T}}&I&I&I \end{array}} \right\}, \\ {V_i} = {P_{2i}}P_{3i}^{ - 1}P_{2i}^T, \\ {{\bar A}_{Fi}} = {P_{2i}}{A_{Fi}}P_{3i}^{ - 1}P_{2i}^T, \\ {{\bar B}_{Fi}} = {P_{2i}}{B_{Fi}}, \\ {{\bar C}_{Fi}} = {C_{Fi}}P_{3i}^{ - 1}P_{2i}^T \end{array} $

经过以上替换我们可以得到(26)的结果, 证明完毕。

4 总结

在本文中我们讨论了定时滞广义随机混杂系统的广义随机滤波系统的H_∞随机可容许问题。基于随机微分方程稳定性理论和矩阵不等式给出了广义随机滤波系统的H_∞随机可容许条件。通过对一系列关联的线性矩阵不等式的求解, 我们可以对系统的稳定性进行判断并得到相应H_∞性能参数。