自1963年Lorenz首次发现混沌系统以来, 具有重要研究价值的热门方向是混沌系统及其现象^[1]。状态变量属于复空间的复混沌系统是另一种重要的混沌动力系统^[2-3]。它在定理和应用上得到了广泛的研究, 成为近年来的热门话题之一。特别是由于复混沌系统是由实数和虚数组成的, 它比实混沌系统具有更好的加密效果^[4-5]。由于复混沌系统的动力学行为比实混沌系统更为复杂, 因此研究此类系统的控制问题非常困难。

传统的线性反馈控制器虽然结构简单, 物理上易于实现, 但也存在过分依赖控制反馈增益值的问题, 极大地限制了系统初始值设定的自由度^[6-8]。目前, 大多数研究人员采用以下方法：首先, 通过分离复状态变量的实部和虚部, 将复混沌系统转化为其等价的实混沌系统, 然后为被控制的实混沌系统设计相应的控制器, 最后根据复混沌与其等价实混沌系统之间的对应关系, 得到复混沌系统的对应控制器, 从而实现对这类复混沌系统的控制问题^[9-10]。但是, 这种方法也存在一些问题：一方面, 第一步缺乏系统的方法, 即对于特定的复混沌系统, 如何找到系统的方法将复混沌系统转化为与其等价的实混沌系统, 不仅具有重要的理论意义, 而且具有广泛的应用价值^[11-12]；另一方面, 前人设计的控制器大多是复杂^[13-15]；因此, 它们很难在实际情况中应用^[16-18]。关于求解非线性系统的控制问题, 物理学上也有控制器可供选择, 动态增益反馈控制器为就是其中之一^[19]。

本文的主要贡献是利用动态反馈控制方法为复4D超混沌系统设计了几个物理控制器。与以往的研究成果相比, 这种控制器将更为简单, 并可以实现复4D超混沌系统的稳定和完全同步。最后通过Matlab进行数值模拟, 模拟结果验证了理论结果的正确性和有效性。

1 理论准备

考虑如下混沌系统：

$ f(x)=\dot{x}, $

(1)

其中, $x \in \mathbb{R}^n$是系统的状态变量, f(x)=(f₁(x), f₂(x), …, f_n(x))^T是连续光滑的向量函数并且f(0)=0。

设系统(1)为主系统, 则相应的受控从系统为：

$ \dot{e}=f(y)-f(x)+\boldsymbol{B} u, $

(2)

其中, $y \in \mathbb{R}^n$是系统的状态变量, f(y)=(f₁(y), f₂(y), …, f_n(y))^T是连续光滑的向量函数, $\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n \times r}$是常数矩阵且r≥1, u是待设计的控制器。

令e=y-x, 则可以得到误差系统如下所示：

$ \dot{e}=\boldsymbol{f}(y)-\boldsymbol{f}(x)+\boldsymbol{B} u, $

(3)

其中, $r \in \mathbb{R}^n$是系统的状态变量, B和u已经在(2)中给出。

2 问题描述

一个复4D超混沌系统, 系统中的每个方程都有一个三项叉积, 表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{m}=a(m-n)+n p q \\ \dot{n}=b(m+n)-m p q \\ \dot{p}=\frac{1}{2}(\overline{m n}+m\;\bar{n}) q-c p, \\ \dot{q}=\frac{1}{2}(\overline{m}n+m\;\bar{n}) p-d q \end{array}\right. $

(4)

其中, a、b、c、d都是正的实常数参数, m和n是复变量, p和q是实变量, ·代表关于时间的导数, -代表复共轭变量且$i=\sqrt{-1}$。

令m=x₁+ix₂, n=x₃+ix₄, p=x₅, q=x₆, 则系统(4)可以转化为以下等价的实系统

$ \dot{x}=\boldsymbol{f}(x)=\left\{\begin{array}{l} a\left(x_3-x_1\right)+x_3 x_5 x_6 \\ a\left(x_4-x_2\right)+x_4 x_5 x_6 \\ b\left(x_1+x_3\right)+x_1 x_5 x_6 \\ b\left(x_2+x_4\right)+x_2 x_5 x_6 \\ \left(x_1 x_3+x_2 x_4\right) x_6-c x_5 \\ \left(x_1 x_3+x_2 x_4\right) x_5-d x_6 \end{array}\right., $

(5)

其中, $x \in \mathbb{R}^6$是系统的状态变量。

设系统(5)为主系统, 则相应的受控从系统为：

$ \dot{y}=\boldsymbol{f}(y)+\boldsymbol{B} u, $

(6)

其中, $y \in \mathbb{R}^6$是系统的状态变量, u是待设计的控制器, B被设计为

$ \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)。$

3 主要结果

在本节中, 我们通过动态反馈增益的方法来实现复4D超混沌系统的镇定和同步问题。

定理3.1  考虑系统(6), 如果被设计的控制器u是

$ u=k_1(t) \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} y, $

(7)

其中

$ \dot{k}_1=-|| y||^2, $

(8)

说明系统(6)实现了镇定。

证明：令x₃=x₄=x₅=0, 则相应的三维子系统为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}_1=-20 x_1 \\ \dot{x}_2=-20 x_{2} \\ \dot{x}_6=-2 x_6 \end{array}\right. 。$

(9)

是渐进稳定的。因此, (f(y), B)是可控的, 这就完成了证明。

定理3.2  考虑主系统(5)和从系统(6), 如果被设计的控制器u是

$ u=k_1(t) \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} e, $

(10)

其中e=y-x,

$ \dot{k}_1=-|| e||^2, $

(11)

说明主系统(5)和从系统(6)实现了完全同步。

证明：令e=y-x, 则误差系统为

$ \dot{e}=\boldsymbol{G}(x, e)+\boldsymbol{B} u, $

(12)

其中$e \in \mathbb{R}^6$且

$ \boldsymbol{G}(x, e)=\left(\begin{array}{l} a\left(e_3-e_1\right)+\left(y_3 y_5 y_6-x_3 x_5 x_6\right) \\ a\left(e_4-e_2\right)+\left(y_4 y_5 y_6-x_4 x_5 x_6\right) \\ b\left(e_1+e_3\right)-\left(y_1 y_5 y_6-x_1 x_5 x_6\right) \\ b\left(e_2+e_4\right)-\left(y_2 y_5 y_6-x_2 x_5 x_6\right) \\ G_5(x, e) \\ G_6(x, e) \end{array}\right), $

(13)

其中：

$ G_5(x, e)=\left(y_1 y_3 y_6-x_1 x_3 x_6\right)+\left(y_2 y_4 y_6-x_2 x_4 x_6\right)-c e_5, $

(14)

$ G_6(x, e)=\left(y_1 y_3 y_5-x_1 x_3 x_5\right)+\left(y_2 y_4 y_5-x_2 x_4 x_5\right)-d e_6, $

(15)

显然, 如果e₃=e₄=e₅=0, 且a=20, b=10, c=1, b=2, 则相应的三维误差系统为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{e}_1=-20 e_1+x_1 x_3 x_6 \\ \dot{e}_2=-20 e_2+x_4 x_5 x_6 \\ \dot{e}_6=x_3 x_5 e_1+x_4 x_5 e_2-2 e_6 \end{array}\right., $

(16)

是渐进稳定的。因此, (G(x, e), B)是可控的, 这就完成了证明。

4 数值仿真

受控复4D超混沌系统的初始值为x(0)=[1, 1, 2, 2, 3, 3, -1], 动态反馈增益k(t)的初始值k(0)=-1, 仿真结果如下图所示。从图 1和图 2中可以看出复4D超混沌系统的每个状态变量是渐进稳定的, 图 3表明动态反馈增益k(t)收敛到一个合适的常数。

主系统的初始值x(0)=[-1, -2, 3, 2, -1, 2], 从系统的初始值y(0)=[3, 2, -1, -2, 3, -2], 动态增益反馈k(t)的初始值k(0)=-1。仿真结果如下图所示。从图 4和图 5中可以看出控制器被激活时的误差系统, 表明已经稳定, 这意味着复4D超混沌系统中完全同步已经实现。图 6和图 7显示了控制器启动时状态变量的动态变化, 主系统和从系统的状态实现了完全同步, 图 8表明动态反馈增益k(t)收敛到一个负常数。

5 结论

本文研究了通过动态增益反馈控制的方法来实现复4D超混沌系统的镇定和同步问题。首先, 通过分离复变量的实部和虚部, 将复4D超混沌系统转化为等价的六维实系统。然后, 设计两个简单的控制器来实现复4D超混沌系统的镇定和同步问题。最后, 通过Matlab进行数值仿真验证了理论结果的正确性和有效性。本文提出的研究方法也可以应用于其他混沌或超混沌系统。