机械臂作为机器人系统的一个重要分支, 是21世纪应用最广泛的工业产品之一^[1]。当前, 机械臂越来越多的应用在远程手术、航空航天、高精密产品装配等方面, 因此, 对于机械臂的高精度的轨迹跟踪控制是必不可少的, 国内外学者们聚焦于此。但是, 机械臂是一个多自由度的非线性系统, 由于复杂的工作环境对其产生的干扰影响, 如风速、粉尘、噪声等等, 使得机械臂精确控制成为学者们的研究难点和热点。如何设计一个处理非线性和扰动的控制器, 国内外许多学者提出了新的控制方法, 例如, 鲁棒控制^[2]、模糊控制^[3]、神经网络控制^[4], 不确定性和扰动估计(UDE)控制^[5]等。

文献[6]提出了一种基于神经网络的控制策略, 控制具有学习能力、容错能力和鲁棒性, 在机械臂跟踪控制中应用较多, 缺点是需要大量的训练和样本。文献[7]提出了有限时间滑模控制, 通过了收敛速度, 但是在实际应用中机械臂会产生高频抖动的问题, 会加剧机械元件磨损, 导致系统控制效果降低, 甚至失去控制。文献[8]提出了一种自适应轨迹跟踪控制方法, 但该方法移植性差, 工程实现难度较大。到目前为止, UDE控制方法已经在非线性系统中取得了很好的理论成果^[9-10]。然而, 传统的UDE控制的缺点是使用低通滤波器^[11]只能处理有界的不确定性和扰动。而新的UDE控制器可以处理无界的外部扰动, 保证系统的渐近稳定。因此, 尽管系统存在干扰, 机械臂仍可以在整个控制过程中跟踪理想轨迹。由上述可知, 目前含有无界外部扰动的机械臂跟踪控制研究还是比较少的, 且控制器复杂, 不容易实现。

UDE控制是一种通过设计滤波器进行估计不确定性和扰动来实现控制效果的策略^[12-13], 具有较好的鲁棒性, 且可以处理外部扰动, 控制器设计简单, 效果明显。目前在实际应用中, 无界的外部扰动也是真实存在的^[14]。为了研究机械臂轨迹精确跟踪控制问题, 本文针对二自由度机械臂轨迹精确跟踪控制的问题, 对于系统存在无界外部扰动, 设计了反馈线性化控制器和UDE控制相结合的轨迹跟踪方法, 并进行仿真验证了机械臂轨迹跟踪的准确性和有效性。

1 模型建立与预备知识 1.1 机械臂动力学模型

两关节机械臂如图 1所示, 其系统的动力学模型可表示为:

$ \boldsymbol{D}(q) \ddot{q}+\boldsymbol{C}(q, \dot{q})+\boldsymbol{G}(q)=f, $

(1)

其中, q, $\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$, $\mathit{\boldsymbol{\ddot q}}$∈R²分别表示机械臂系统关节的位置向量、速度向量和加速度向量。D(q)表示机械臂系统的惯性矩阵；C(q, $\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$)是机械臂系统的哥氏力和离心力矩阵；G(q)表示系统的重力矩阵；f∈R²为关节控制力矩输入向量。各矩阵的表达式可表示为:

$ \boldsymbol{D}(q)=\left[\begin{array}{ll} m_1 l_1^2+m_2\left(l_1^2+l_2^2+2 l_1 l_2 \cos q_2\right) & m_2\left(l_2^2+l_1 l_2 \cos q_2\right) \\ m_2\left(l_2^2+l_1 l_2 \cos q_2\right) & m_2 l_2^2 \end{array}\right], $

(2)

$ \boldsymbol{C}(q, \dot{q})=\left[\begin{array}{c} -m_2 l_1 l_2 \sin q_2 \dot{q}_2\left(2 \dot{q}_1+\dot{q}_2\right) \\ m_2 l_1 l_2 \dot{q}_1^2 \sin q_2 \end{array}\right], $

(3)

$ \boldsymbol{G}(q)=\left[\begin{array}{c} \left(m_1+m_2\right) g l_1 \sin q_1+m_2 g l_2 \sin \left(q_1+q_2\right) \\ m_2 g l_2 \sin \left(q_1+q_2\right) \end{array}\right], $

(4)

其中, m₁和m₂分别为连杆的质量；l₁和l₂分别是两个连杆的长度；g表示重力加速度。然而, 由于机械臂在工作中会受到周围环境等因素的影响, 所以外部扰动对于机械臂运动的干扰是不可避免的。因此, 机械臂动力学模型可以重新表示为:

$ \ddot{q}=\boldsymbol{D}^{-1}(q)[f-\boldsymbol{C}(q, \dot{q})-\boldsymbol{G}(q)]+d, $

(5)

其中, d表示无界的外部扰动。

我们的目标是设计一个控制器, 使机械臂各关节跟踪给定的目标路径。

1.2 UDE控制方法

UDE控制器主要用于处理模型不确定性和外部干扰。该方法的基本思想是通过设计合适的滤波器来估计模型不确定性和外部干扰。考虑如下的受控非线性系统:

$ {\dot x}=f(x)+\mathit{\boldsymbol{b}} u+d^{\prime} \text {, } $

(6)

其中, x∈Rⁿ是状态变量, u=u_s+u_ude；u_s为跟踪控制器；u_ude表示不确定性和扰动估计控制器；b∈R^n×r是一个常数矩阵；r≥1, d′表示有界的外部扰动。

引理1:对于系统(6), 如果设计的滤波器y_f(t)满足以下条件:

$ \tilde{d}=\hat{d}-d^{\prime}=0, t \rightarrow \infty, $

(7)

其中, $\hat d = (\dot x - f(x) - \mathit{\boldsymbol{b}}u)*{y_f}(t)$, 那么基于UDE的控制器可以设计为以下的形式:

$ u_{\mathrm{ude}}=b^{+}\left\{\ell^{-1}\left[\frac{\varphi_f(s)}{1-\varphi_f(s)}\right] *\left(f(x)+u_s\right)\right\}-b^{+}\left\{\ell^{-1}\left[\frac{s \varphi_f(s)}{1-\varphi_f(s)}\right] * e\right\}, $

(8)

其中, b⁺=(b^Tb)^-1b^T, ℓ^-1表示Laplace逆变换, *表示卷积, φ_f(s)=ℓ[y_f(t)], e表示系统与期望轨迹的误差。

2 基于UDE的反馈线性化控制器设计

接下来分三个步骤设计控制器去实现含有不确定性和扰动的机械臂跟踪。(1)设计反馈线性化控制器实现机械臂的跟踪控制；(2)设计合适的滤波器估计无界扰动；(3)设计UDE控制器消除机械臂的不确定性和扰动。

2.1 反馈线性化控制器设计

对于标称的机械臂系统(1), 可以改写为以下的形式:

$ \ddot{q}=D^{-1}(q)[f-C(q, \dot{q})-G(q)], $

(9)

根据文献[15], 反馈线性化控制器设计如下: 对于系统(9), 不需要进行非线性变换, 可以得到线性反馈控制为:

$ f = C(q, \dot q) + G(q) + D(q){\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}, $

(10)

其中, u_l=[u₁  u₂]是输出闭环控制。把等式(10)带入到系统(9), 得到输入输出的线性解耦关系为:

$ \ddot q = {\mathit{\boldsymbol{u}}_\mathit{\boldsymbol{l}}}, $

(11)

那么, 得到闭环控制u_l为:

$ {u_l} = \ddot x + {k_1}(\dot x - \dot q) + {k_2}(x - q){\rm{, }} $

(12)

其中, x∈R²表示机械臂系统的参考轨迹。

将式(12)代入式(11), 得到动力学跟踪误差表示如下:

$ \ddot e + {k_1}\dot e + {k_2}e = 0, $

(13)

其中, e=x-q, e∈R²表示跟踪误差；k₁, k₂是为了达到预期跟踪性能选择的控制器增益。因此, 很容易得到上述反馈线性化控制器是成立的。

2.2 对于无界扰动滤波器的设计

定理1 : 对于指数函数无界扰动d(t)=Ae^at+C, 其中A, C是未知常数, a>0, 一个合适的滤波器表示为以下形式:

$ G_f(s)=\frac{k}{s+k-a}, $

(14)

其中, k≫a>0, 通常取k=100a, 并且满足以下性质:

$ \stackrel{\gg}{d}(t)=\ell^{-1}\left[G_f(s)\right]=d(t) * g_f(t) \rightarrow d(t), t \rightarrow \infty, $

(15)

其中, ℓ^-1表示拉普拉斯反变换, *表示卷积。

证明: 由G_f(s)=ℓ[g_f(t)]可得:

$ g_f(t)=\ell^{-1}\left[G_f(s)\right]=k \mathrm{e}^{t(a-k)}, $

(16)

因此, 计算卷积得到:

$ \begin{aligned} \left(A \mathrm{e}^{a t}+C\right) * g_f(t) & =A \mathrm{e}^{a t}+\mathrm{e}^{t(a-k)} \frac{(A k-A a+C k)}{(a-k)}-\frac{C k}{a-k} \\ & =\left(A \mathrm{e}^{a t}+C\right), t \rightarrow \infty。\end{aligned} $

(17)

所以, 我们设计的滤波器是合理的。

2.3 UDE控制器设计

因为外部扰动的存在, UDE控制被用来抑制这些扰动, 改善跟踪控制的性能。带有扰动的机械臂动力学模型为:

$ \ddot{q}=D^{-1}(q)[f-C(q,\dot{q})-G(q)]+\boldsymbol{d}+u_{\mathrm{UDE}}, $

(18)

其中, d=[d₁, d₂]^T, u_UDE是被设计的控制器。

根据引理1, 控制器u_UDE可以表示为:

$ u_{\mathrm{UDE}}=\ell^{-1}\left[\frac{G_f(s)}{1-G_f(s)}\right] *\left(D^{-1}(q)[f-C(q, \dot{q})-G(q)]\right)-\ell^{-1}\left[\frac{s G_f(s)}{1-G_f(s)} * e\right], $

(19)

其中, ℓ^-1表示拉普拉斯逆变换；*表示卷积；滤波器G_f(s)在等式(14)给出。

那么, 在控制器u=u_l+u_UDE的作用下, 含有无界扰动的机械臂跟踪控制被实现。

3 数值仿真

为了说明上述控制方法的有效性和正确性, 我们进行了数值仿真。机器人机械臂系统的详细参数如表 1所示。

其他初始值选择如下: 机械臂的初始位置为: q=[0  0]^T, $\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$=[0  0]^T, 参考轨迹为: x₁=5sin(t), x₂=-5sin(t)。扰动参数设置为: A=3, C=1。如图 2和图 3所示, 结果表明, 在基于UDE的反馈线性化控制器的作用下, 机械臂渐近跟踪上期望轨迹。机械臂的跟踪误差如图 4和图 5所示, 系统的状态变量与期望轨迹的误差逐渐收敛到了一个接近零的值。从图 6和图 7可以看出扰动估计值趋向于实际值。因此, 对于所提出的UDE控制方案其可行性而言, 仿真结果已经表明, 能够使的机械臂具有更好的跟踪效果。

4 总结

针对复杂无界扰动下二自由度机械臂轨迹跟踪问题, 提出了基于UDE的反馈线性化控制策略。首先, 通过设计反馈线性化控制器实现了机械臂的跟踪控制；其次, 对于无界的外部扰动, 设计了基于UDE的控制器, 消除了扰动的影响；最后, 通过仿真验证了上述控制方法对机械臂跟踪控制的有效性和优越性。综上所述, 在无界扰动满足上述条件的情况下, 利用上述控制策略可以较好的控制机械臂到达期望位置, 实现无误差跟踪, 所提出的方法也可以用在其他机器人的控制领域。