GM(1, 1)^[1]是由我国学者邓聚龙教授在上世纪80年代提出的一种预测模型，即对原始数据作累加生成得到近似的指数规律再进行建模的方法。其研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统^[2]，用于解决“小样本”“贫信息”的不确定性问题。GM(1, 1)的优点是不需要很多的原始数据，最少4个数据就能解决不确定性的预测问题；利用微分方程充分挖掘信息的本质，实现高精度预测；能将无规律的原始数据生成得到规律性强的生成序列，运算简单，易于检验。

GM(1, 1)的具体算法^[3]如下：

1) 生成累加生成序列

定义：X⁽⁰⁾为原始序列:

$ {X^{\left( 0 \right)}}=\left\{ {x_1^{\left( 0 \right)}, x_2^{\left( 0 \right)}, \cdots , x_n^{\left( 0 \right)}} \right\} $

(1)

生成一阶累加生成序列(1-AGO)序列:

$ {X^{\left( 1 \right)}}=\left\{ {x_1^{\left( 1 \right)}, x_2^{\left( 1 \right)}, \cdots , x_n^{\left( 1 \right)}} \right\} $

(2)

$ {X^{\left( 1 \right)}}{\rm{ = }}AGO\left( {{X^{\left( 0 \right)}}} \right) $

(3)

式中:$X_k^{\left( 1 \right)} = \sum\limits_{k = 1}^k {x_k^{\left( 0 \right)}, \;k = 1, 2, \cdots , n} $。

2) 生成均值生成序列

设：连续相邻的均值生成序列为Z⁽¹⁾:

$ {Z^{\left( 1 \right)}}{\rm{ = }}\left\{ {Z_2^{\left( 1 \right)}, Z_3^{\left( 1 \right)}, \cdots , Z_n^{\left( 1 \right)}} \right\} $

(4)

式中：$Z_k^{\left( 1 \right)} = \frac{{x_{k - 1}^{\left( 1 \right)} + x_k^{\left( 1 \right)}}}{2}, k = 2, 3, \cdots , n$。

3) 建立微分方程

建立灰微分方程:

$ x_k^{\left( 0 \right)} + az_k^{\left( 1 \right)} = b, k = 2, 3, \cdots , n $

(5)

相应的白化微分方程为:

$ \frac{{d{x^{\left( 1 \right)}}}}{{dt}} + ax_t^{\left( 1 \right)} = b $

(6)

$ \begin{array}{l} u = {\left( {a, b} \right)^T}\\ Y = {\left[ {x_2^{\left( 0 \right)}, x_3^{\left( 0 \right)}, \cdots , x_n^{\left( 0 \right)}} \right]^T}\\ B = \left[ \begin{array}{l} - Z_2^{\left( 1 \right)}\;\;\;1\\ - Z_3^{\left( 1 \right)}\;\;\;1\\ \;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ - Z_n^{\left( 1 \right)}\;\;\;1 \end{array} \right]{\rm{ = }}\left[ \begin{array}{l} {\rm{ - }}\left( {x_1^{\left( 1 \right)} + x_2^{\left( 1 \right)}} \right)/2\;\;\;\;1\\ {\rm{ - }}\left( {x_2^{\left( 1 \right)} + x_3^{\left( 1 \right)}} \right)/2\;\;\;\;1\\ \;\;\;\;\;\;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ {\rm{ - }}\left( {x_{n - 1}^{\left( 1 \right)} + x_n^{\left( 1 \right)}} \right)/2\;\;\;\;1 \end{array} \right] \end{array} $

则由最小二乘法，求得使J(u)=(Y-Bu)^T(Y-Bu)达到最小值的u的估计值为:

$ \hat u = {\left[ {\hat a, \hat b} \right]^T} = {\left( {{B^T}B} \right)^{ - 1}}{B^T}Y $

(7)

于是，求解方程(6)，得:

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\hat x_{k + 1}^{\left( 1 \right)} = \left( {x_1^{\left( 0 \right)} - \frac{{\hat b}}{{\hat a}}} \right){e^{ - \hat ak}} + \frac{{\hat b}}{{\hat a}}, k = 0, 1, \cdots , n - 1, \\ \cdots \end{array} $

(8)

GM(1, 1)的成功应用，解决了生产、生活和科学技术等领域的大量实际问题，应用范围扩展到金融、医学、环境、设计、能源、军事、体育等领域。近年来，大量研究者对GM(1, 1)算法的优势与局限性进行深入的研究，使其应用于诸多领域。

1 GM(1, 1)在能源领域的应用

有研究者将GM(1, 1)用于石油天然气产量和消费量的预测。结果表明，至2025年世界将面临石油短缺和天然气过剩危机，提醒人们改变目前石油和天然气的消费行为，并寻求解决办法^[4]。

为有效预测天然气生产和能源强度，Iranmanesh等^[5]将GM(1, 1)与马尔可夫链(Markov chain)结合成灰色马尔科夫预测模型，以两个实例进行验证。结果表明，与GM(1, 1)相比，灰色马尔科夫预测模型具有更好的预测精度。

Lee等^[6]采用灰色预测模型对能耗进行预测，提出了将模型与残差修正和遗传规划符号估计相结合所形成的改进灰色GM(1, 1)模型，结合中国能源实证案例，证明了所提出的预测模型的有效性。

Hou^[7]建立了预测中国水资源的灰色预测模型。预测结果表明，宁夏、上海、天津等十省市水资源严重短缺，应保护水资源，合理利用、减少浪费。

Zeng等^[8]提出了一种改进的GM(1, 1)模型的预测方法，重点研究利用风速与风力发电的关系进行风电在线预测，并以内蒙古阿左旗风电场为例验证。仿真结果表明，该优化的方法比传统的GM(1, 1)方法具有更好的预测精度。

2 GM(1, 1)在生产领域的应用

张锴等^[9]对传统的非等间距GM(1, 1)模型进行改进，对该模型的灰作用量及时间响应函数进行优化，并用两个工程实例验证，证明了优化后的模型精度进一步提升，说明了该模型优化的有效性。

Dejamkhooy等^[10]对局部预测的灰色模型进行了修正，将其应用于全局模型，采用傅里叶校正灰色模型(FGM)来提高GM(1, 1)的精度，对非平稳电压波动进行预测。仿真结果表明，改进的灰色模型在模型拟合和预测方面均具有较好的性能。

2016年，Zhao等^[11]提出了一种混合优化GM(1, 1)模型，采用带滚动机构的蚁群优化器对GM(1, 1)进行优化，显著提高了年电力负荷预测精度。

有学者研究了一条具有可变性的串并联多产品混合生产线，将灰色模型(GM)与人工神经网络(ANN)相结合，建立了预测模型。数值模拟实验证明了理论分析的可行性，仿真分析表明性能预测结果是令人满意的，说明了该方法的有效性^[12]。

为了预测热电联产风机磨煤机振动症状值，Tabaszewski等^[13]以灰色系统理论和GM(1, 1)模型为基础，提出三种可能的方法，用于自动诊断系统，以抵消过度增长的预测误差，并选择最优的方法，为今后该领域提供了科学有效的方法。

3 GM(1, 1)在设计领域的应用 3.1 GM(1, 1)在交通工具设计领域的应用

鉴于代际产品一致性特征难以定量预测，Xu等^[14]提出了一种基于灰色理论的反向传播神经网络(BPNN)和马尔可夫链的新方法，即IGMBPM模型。在预测过程中，由于产品形状特征点位置的原始序列具有小样本、不规则和高波动的特点，所以首先将传统灰色模型改进为更适合于振荡原始数据的模型。改进的灰色模型与BPNN结合，目的是增强前后数据之间的相互影响。另外，马尔可夫链用于修正最终的预测结果。作者以某型号汽车的散热器格栅为例，将IGMBPM模型的结果与其他预测模型(包括一般BPNN模型、IGM模型和IGMBP模型)进行比较，前者显示出更好的性能，准确性也有了大幅提高，验证了该方法的有效性与科学性，为解决代际产品一致性的问题提供了新方法，为生产厂商决策者和设计师提供了参考。

徐江等^[15]以宝马汽车造型预测为例，运用GM(1, 1)对汽车新造型进行预测，并利用感性工学与线性回归分析对新造型作出评价修正。证明了GM(1, 1)在汽车造型预测领域的可行性，为汽车造型设计提出一种有效的参考性评估方案。

首先用形态分析法对汽车进行侧面轮廓线的提取，利用GM(1, 1)对车身侧轮廓进行预测。然后利用SPSS软件对预测结果进行感性评分与线性回归分析，再对预测结果进行修正并在犀牛软件中绘制出二维图像，最终分析结果表明了该方法的科学性。

鉴于反馈控制系统有一定程度的延迟，聂佳梅等^[16]对汽车的反馈控制系统进行预测，结合模糊逻辑控制理论，设计了灰色预测—模糊综合控制器，实现主动悬架系统和电动助力转向系统的实时集成控制，并进行了仿真。仿真结果表明，集成控制系统可以对ASS和EPS系统进行更有效的控制，提升了汽车的整车综合性能。

为预测汽车销售量，康永等^[17]利用灰色系统建立GM(1, 1)预测模型，将预测结果与实际市场销售量进行对比，发现预测结果与实际市场销售量相吻合。利用灰色预测模型预测销售量可减少制定生产计划中的盲目性，有利于企业的生产调控。

张彦^[18]将传统的可靠性方法与灰色系统理论相结合，将其应用于汽车产品的可靠性工程中，并进行了理论分析和实例应用。结果表明：该方法简便易行且有效，预测精度也较高，为汽车产品的可靠性管理提供了新方法。

魏超等^[19]对电动助力车的车架寿命进行预测，运用GM(1, 1)模型建立车架在振动试验中的疲劳寿命预测模型，以4款车架的各10个试件为研究对象，进行耐振性测试，获取每个试件断裂时的振动循环次数，并进行结果验证。结果表明，该方法能有效反映寿命变化趋势，对电动助力车的设计有指导作用。黄冠伟^[20]设计了一套电动辅助自行车的智能控制器，以灰色理论结合模糊理论为设计基础，将灰模糊控制和传统扭力控制的模拟结果与实验结果做比较，证实模拟结果的可信度。

高凡^[21]应用灰色系统理论研究了高速列车ATO(列车自动驾驶)系统速度控制器模型，建立GM(1, 1)模型，通过实际线路验证了速度控制器的仿真结果。结果表明，该方法具有较高的预测精度，生成的策略能有效地控制列车。高凡还与其他学者研究高速列车速度控制器模型，对GM(1, 1)模型中的参数λ值提出了新的求解方法，建立新陈代谢GM(1, 1)模型，使系统长期预测，并进行仿真试验。仿真结果显示了该模型的有效性和实时性，各项运行指标都有所提高^[22]。

3.2 GM(1, 1)在产品设计领域的应用

李永锋等^[23]提出了灰关联分析与GM(1, 1)结合的产品意象造型设计方法，并对该方法的有效性与科学性进行验证，以电热水壶造型设计为例，验证了该方法的可行性。

为了平衡用户个性化需求与厂商批量生产的矛盾，李中凯^[24]研究了产品族可重构设计理论与方法，提出应用灰理论分析与预测质量屋动态需求项，并为产品系列化设计的改进指明方向，并以深冷式空分装备整机的需求分析实例，证明了该方法的有效性。对产品族的研究，其他学者的研究也有进展。黄凯^[25]以用户的感性需求为出发点，利用灰色系统理论与模糊神经网络预测新样本感性意象评价值，得到产品族中各个样本评价值的预测评判机制；结合遗传算法得到符合目标感性意象的新形态，以此创建产品族，并以四门轿车(轿跑)侧面轮廓为实例研究，表明该方法的合理性与可行性。

贾振元等^[26]利用灰关联分析法对影响装配产品系统特性的多几何要素进行分析，再利用主要几何要素建立BP神经网络，实现对多几何要素影响下的装配产品特性的准确预测。并以液压偶件系统为研究案例，通过对其多几何要素关联程度的研究，证明以主要几何要素为基础的预测模型简单有效，且预测精度高。

朱晓翠^[27]对数控机床及其子系统进行可靠性及维修性研究，建立灰色预测模型和指数平滑法相结合的预测模型，以此预测考核期内故障的变化趋势。结果表明，建立的预测模型能够准确地预测后续故障的发生时间和维修时间，该方法可行有效。

3.3 GM(1, 1)在服装设计领域的应用

常丽霞^[28]对服装流行色进行量化与预测研究。将国际色彩委员会发布的2007—2013年国际春夏女装流行色定案作为研究对象，将色彩进行量化与分析，分别采用灰色系统理论和BP神经网络构建预测模型，进行服装流行色预测研究。研究结果可为纺织服装行业流行色趋势变化提供参考。

韩怿^[29]也对女装流行色的量化与预测进行研究。以Pantone发布的2005—2016年女装流行色为研究对象，构建BP神经网络预测模型和GM(1, 1)模型，将2005—2014年Pantone流行色作为预测样本，对2015年流行色进行预测，以2016年的Pantone流行色数据为验证数据。验证结果表明：GM(1, 1)对色相的预测效果较好；BP神经网络模型对明度、纯度预测效果较好。

3.4 GM(1, 1)在其他设计领域的应用

何仁贵^[30]对灰理论与数字图像处理技术结合的新的图像处理方法进行研究。首先对数字图像和灰预测理论进行深入了解，然后研究了以灰色预测模型为基础的无损压缩方法和非线性图像滤波器设计方法，最后创造性地提出了基于灰色预测模型的图像边缘检测法，并从理论和仿真结果两方面证明该方法的有效性。

在舱室人机界面色彩布局方面，邓丽^[31]通过灰色聚类法预测舱室的人机界面整体色彩意象倾向，以色彩意象定位值为基础获取色彩组合，构建出色彩数据库，并以石油钻机司钻控制室人机界面布局为案例验证，丰富了舱室人机工效研究理论体系。

4 总结与展望

通过分析总结后发现，GM(1, 1)在多领域得到了广泛的应用。在能源领域多是预测能耗或产能，是对“量”的预测；而在生产领域多是对生产线或是生产过程中的安全性能的预测，属于对“质”的预测。在交通工具与产品设计领域，GM(1, 1)多应用于销售量、部件寿命及需求等方面。在服装设计领域，以服装流行色为研究对象时，是先将色彩量化后再预测。可见，使用GM(1, 1)需要将研究对象量化后再进行后期的预测研究。

虽然GM(1, 1)在各领域都得到了广泛应用，但还是存在不足：

1) 算法本身：通过研究文献后发现，虽然灰色GM(1, 1)模型本身精度较高，但在一些实际应用中，还是会将GM(1, 1)优化后再加以运用。有些情况下会将其与其他预测模型相结合，发挥各自的优势，再将生成的混合预测模型进行运用。由此可见，即使算法本身预测精度良好，但在实际应用中，为了提高预测精度、减少误差，还是会将模型优化或使用混合预测模型，这就需要算法本身进行优化，从累加生成方法、初值、背景值、参数估计方法、模型性质和模型拓展等视角研究与优化。所以，为提高预测精度，优化多个变量和某种参数估计方法是未来的一个研究方向。

2) 应用领域：灰色预测GM(1, 1)模型在各领域应用广泛，但是对造型本身的预测却较少，在研究产品一致性特征方面还比较匮乏。而产品的一致性特征，会帮助制造商保持和加强品牌标识和造型特征，有利于提升市场竞争力。相对成熟的企业更注重保持一致的形态特征和品牌标识。因此，GM(1, 1)要在产品本身上多做延伸，注重产品造型上的预测研究，解决代际产品一致性特征的问题。