在现代工业体系中, 自动控制技术的应用愈加的广泛。自动控制系统有时存在性能指标不能满足设计要求的问题, 因此需要加入一些装置或者机构进行校正^[1]。校正方法基本上就是超前校正、迟后校正、迟后超前校正三种。然而这三种方法都需要在特定的系统参数下才可以使用, 有局限性, 因此我们使用“希望特性”的校正方法进行系统校正。在使用校正环节之后, 系统的超调量和调节时间减小, 系统的响应速度加快, 稳定性和快速性得到了很好的改善^[2]。

1 “希望特性”校正方法的含义

常规的校正设计方法是L₀(ω)+L_C(ω)=L(ω) (L₀(ω)是原系统的频率特性, L_C(ω)是校正装置的频率特性, L(ω)是设计完成系统的频率特性), 而“希望特性”校正的方法就是将要求的性能指标转化为对数幅频特性, 再与原系统的频率进行比较, 得到校正装置的参数和形式, 设计方法为L(ω)-L₀(ω)=L_C(ω)。

2 系统校正装置的设计 2.1 校正前系统的分析

设定单位反馈系统的开环传递函数为

$ {G_0}\left( S \right) = \frac{K}{{S\left( {\frac{S}{{10}} + 1} \right)\left( {\frac{S}{{50}} + 1} \right)\left( {\frac{S}{{100}} + 1} \right)\left( {\frac{S}{{200}} + 1} \right)}}, $

(1)

要求系统满足r(t)=t→$ e_{ss}^* $≤1/200, 超调量σ%≤30%, 并且t_s≤0.7。由要求可得:K=200, 而由于其他的参数要求都是在时间域里, 我们需要转换到频域中^[3]。通过图 1所得相角裕度γ^*≥43°, t_s=9/$ \omega _c^* $≤0.7→$ \omega _c^* $≥9/0.7=13。

通过建立G₀(S)的传递函数MATLAB的指令如下:

>> g1=tf(1, [1 0]);

>> g2=tf(1, [1/10 1]);

>> g3=tf(1, [1/50 1]);

>> g4=tf(1, [1/100 1]);

>> g5=tf(1, [1/200 1]);

>>GS=200*g1*g2*g3*g4;

绘制其校正前开环传递函数的BODE图, 并得到截止频率和相角裕度, 指令如下:

>> margin(GS)

>> [GM0, PM0, WCG0, WCP0]=margin(GS)

由命令行窗口得到的结果可知相角裕度γ₀≈-53.5°, 系统校正前是不稳定的, 为此就需要通过“希望特性”校正的方法来找到校正装置的参数。

2.2 校正装置的设计 2.2.1 校正前后系统幅相曲线的绘制

1) 在$ \omega _c^* $=13做-20dB/dec直线, 向两端各延伸十倍频;

2) 在ω₂=0.1$ \omega _c^* $=1.3处做-40dB/dec直线与L₀(ω)低频段相接;

3) 在ω₄=130处做-100dB/dec直线(与L₀(ω)高频段同斜率);

图 3中的曲线1为系统校正前的幅频曲线, 曲线2为系统校正后的幅频曲线。

2.2.2 校正装置的幅频曲线

利用L(ω)-L₀(ω)=L_C(ω), 图 3中曲线2的斜率减去图 3中曲线1的斜率得到曲线3的斜率。

在ω≤ω₁的频率范围, 校正装置的斜率为-20dB/dec-(-20dB/dec)=0dB/dec。

在ω₁≤ω≤ω₂的频率范围, 校正装置的斜率为-40dB/dec-(-20dB/dec)=-20dB/dec。

在ω₂≤ω≤10的频率范围, 校正装置的斜率为-20dB/dec-(-20dB/dec)=0dB/dec。

在10≤ω≤50的频率范围, 校正装置的斜率为-20dB/dec-(-40dB/dec)=20dB/dec。

在50≤ω≤100的频率范围, 校正装置的斜率为-20dB/dec-(-60dB/dec)=40dB/dec。

在100≤ω≤130的频率范围, 校正装置的斜率为-20dB/dec-(-80dB/dec)=60dB/dec。

在130≤ω≤200的频率范围, 校正装置的斜率-40dB/dec-(-20dB/dec)=-20dB/dec。

在200≤ω的频率范围, 校正装置的斜率为-100dB/dec-(-100dB/dec)=0dB/dec。

由此得到校正装置的幅频曲线, 如图 4中的曲线3所示。

但是由于中频—高频交界处太复杂, 我们可以在不影响系统性能的前提下进行简化^[4]。图 4中曲线3中频率在ω₃≤ω的部分斜率全部变成-20dB/dec, 与0分贝线交于ω₄。简化后校正装置的幅频曲线如图 5中的曲线3所示。

2.2.3 确定校正装置的传递函数

根据下列程序, 计算校正装置的传递函数:

>> g1=tf(1, [1 0]);

g2=tf(1, [1/10 1]);

g3=tf(1, [1/50 1]);

g4=tf(1, [1/100 1]);

g5=tf(1, [1/200 1]);

GS=200*g1*g2*g3*g4*g5;

margin(GS);

[GM0, PM0, WCG0, WCP0]=margin(GS);

WC=13;W2=WC/10;

W4=WCP0^2/WC;

W1=10*W2/W4;

m1=tf([1/W2 1], 1);

m2=tf([1/10 1], 1);

m3=tf(1, [1/W1 1]);

m4=tf(1, [1/W4 1]);

Gc=m1*m2*m3*m4;%校正装置的传递函数

zpk(Gc)

运行后得到的结果:

$ {\rm{Gc}} = \frac{{{\rm{(s + 1)(s + 1}}.3{\rm{)}}}}{{{\rm{(s + 109}}{\rm{.2)(s + 0}}{\rm{.119)}}}} $

(2)

Continuous-time zero/pole/gain model.

2.2.4 系统BODE图验证

利用上面设计的校正装置校正后得到的系统BODE如图 6所示, 经过校正后系统的相角裕度γ≈44.1°, 远远好于未进行校正系统的相角裕度, 满足设计的要求^[5]。

3 结论

本次设计了基于MATLAB的系统“希望特性”串联校正, 该方法简单、快捷, 可以在较少的条件下设计出满足系统性能要求的校正装置。结合使用MATLAB进行相关的计算, 可以减少计算量和计算所出现的错误, 提高效率, 可以在以后的工程广泛的应用^[6]。