一题多解是数学学习中一种常见的适当集中表现.样例的多种解法比较的方法能为学习者提供更多的信息, 能促进深层原理的学习和理论水平解释的发展.从幼儿的程序性分类知识的学习到学前儿童词汇的学习再到大学生合同谈判策略的学习, 一系列实验都验证了多种解法的比较能够有效地促进知识的学习和迁移.实验设置了三个学习条件:比较方法组(用两种不同方法解决同一个问题)、比较问题组(用相同的方法解决不同表面特征的问题)和系列呈现组.这三个实验组所使用的材料(24个样例)都相同, 区别在于样例是否相同以及怎样配对.研究者假设:学习条件与原有知识存在交互作用.1)低知识水平被试在系列呈现样例的条件下, 表现最好(因为系列呈现的工作记忆负荷更少, 而对低水平被试有利).2)高知识水平被试在比较方法的条件下表现最好, 而在系列呈现条件下表现最差.结果说明, 比较方法对高知识水平被试(在前测中使用代数方法)产生了积极的作用, 对低知识水平被试(未使用代数方法)产生了消极的作用, 系列呈现和比较问题的方法对低知识水平被试作用较好.上述研究是在没有对样例进行知识指导说明即"讲"的前提下, 对样例学习材料的比较研究, 并且没有对认知负荷和学习效益进行实验分析.本研究对一题多解中集中讲对比练法与间隔法的学习方式对学生的学习效果、认知负荷和学习效益的影响进行实验研究.本研究提出的两种学习方式中, 集中讲对比练法比间隔法学习方式的总认知负荷低, 学习效果高、学习效益高的设想.

1 实验目的

源问题的呈现方式为集中讲对比练, 能降低被试的认知负荷, 提高其数学学习效果和学习效益.

2 实验方法 2.1 被试

被试为河北廊坊市某中学初中二年级学生.

2.2 实验材料

前测题:用于筛选被试.共4个题, 前3个题检测一元二次方程的概念、分解因式和完全平方式、第4个题目是检测具体的一元二次方程的解法问题.

学习材料:包括间隔法和集中讲对比练两种类型, 每种类型都包括四种解法的知识材料和样例材料.样例有3个, 每个被试学习其中一种类型.

后测材料:1)认知负荷卷同实验1.2)学习效果检测材料共5题.第1、2、3、4题评分标准是各10分, 第5题评分标准是:每小题各20分, 没有任何步骤, 解答不出来, 得0分; 给出一步正确步骤(包括结果不正确)得5分; 给出两步正确步骤(包括结果不正确)得10分; 其余类推.完全正确得20分.第5题共60分.

2.3 实验设计

本实验采用单因素完全随机设计.

自变量:间隔法学习方式和集中讲对比练学习方式.因变量:认知负荷、学习效果和学习效益.

2.4 实验程序

第一, 前测.主试首先向被试呈现前测题, 测试时间为10分钟, 正确完成前3题但第4题每一小题都不能正确完成的被试才能成为实验的正式被试.本研究在正式被试的125名中选择50名, 两个学习组各25名.

第二, 学习.包括两种形式:1)对间隔法组:主试发放直接开平方法学习材料, 4分钟后, 收回直接开平方法学习材料; 2分钟后, 发放因式分解法学习材料, 10分钟后, 收回因式分解法学习材料; 2分钟后, 发放配方法学习材料, 10分钟后, 收回配方法学习材料; 2分钟后, 发放公式法学习材料, 10分钟后, 收回公式法样例材料(附录5).共约40分钟.2)对集中讲对比练组:主试发放集中讲对比练学习材料, 40分钟后, 收回学习材料.共约40分钟.

第三, 后测.发放后测材料卷, 30分钟后, 收回后测材料卷.

3 研究结果

对实验所得数据采用SPSS 13.0统计软件进行处理.

3.1 学习效果与分析

学习成绩如表 1所示.可以看出, 间隔法与集中讲对比练组成绩经独立样本t检验得到显著概率为p=0.002 < 0.05, 两者具有显著差异, 说明集中讲对比练组学习成绩优于间隔法组的成绩.

3.2 学习过程中认知负荷结果与分析

从表 2得出, 集中讲对比练组被试的认知负荷比间隔法组被试的认知负荷低, 经独立样本t检验, 得到显著概率为p=0.039 < 0.05, 两者具有显著差异.

3.3 学习效益结果与分析

本研究将学习效益的计算公式

$ E = {\frac{{{Z_{{\rm{效果}}}} - {Z_{{\rm{心智努力}}}}}}{{\sqrt 2 }}^{[2-3]}} $

改为$E = \frac{{{Z_{{\rm{效果}}}} - {Z_{{\rm{心智努力}}}}}}{{\sqrt 2 }} + 400$.

学习效益如表 3所示.可以看出, 集中讲对比练组的学习效益优于间隔法组, 两者经独立样本t检验得到显著概率为p=0.012 < 0.05, 两者具有显著差异, 说明集中讲对比练组的学习效益优于间隔法组学习效益.

4 讨论

研究结果表明, 相比间隔法组而言, 集中讲对比练组的学习方式显著降低了被试的认知负荷, 显著提高了被试对一元二次方程解法的学习效果, 显著提高被试对一元二次方程解法学习效益, 这与实验前的假设基本一致.

4.1 关于学习效果显著

本次实验, 集中讲对比练组的被试成绩好于间隔法组, 两者有显著的差异.学习测试阶段, 被试获得好成绩的原因, 可能是集中讲对比练组学习材料有如下认知特点.按照"适当集中", 把意义相近的一元二次方程的四种解法放在一起, 集中讲、对比练, 进行联系与对比, 四种解法的方程特点明确, 在短时记忆中对四种解法加以组织, 一方面可以把这四种意义相互联系的解法模式按照它们的逻辑关系进行编码, 储存在组织有序的认知结构中.另一方面, 用对比的方式, 将这些既有联系又有区别的四种解法材料按照它们的共性与个性关系进行编码.从而使这些内容构成熟知的、有意义的较大单元, 减少了短时记忆中的信息组块数, 同时增加了每一组块的信息量, 提高了组块水平.这两方面有助于在长时记忆中形成整体结构.当后测中被试感觉到一元二次方程测试题信息的特点被快速明确地注意后, 特点信息与长时记忆中的意义相近的有关信息即各种解法就能快速进行比较、匹配, 有效地发挥优势结构效应.

从学习材料的分析来看, 集中讲对比练组学习材料体现了适当集中即集中讲对比练的特点, 在被试学习的过程中注重建立与加强语义网络结构中的连线, 从联系的角度对数学知识进行整体性构建, 使被试从整体上把握所学的内容, 在联系和对比中深刻地理解一元二次方程求解知识.因此, 集中讲对比练组学习效果优于间隔法组学习效果.

4.2 关于认知负荷显著

本次实验中, 集中讲对比练组被试感受到的认知负荷明显低于间隔法组被试所感受到的认知负荷.根据认知负荷理论, 认知负荷总量=内在负荷+外在负荷+有效负荷.由学习材料中的信息的负荷是内在负荷; 被试在学习过程中需要付出一定的心智努力, 从而承受相当多的有效负荷.适当集中即把意义相近的内容集中学习, 对比练习.集中讲、对比练的认知操作是有利于知识形成概念图, 在感觉记忆中, 这种意义相近的信息的联系性, 可充分发挥结构优势效益, 易于模式识别; 知识概念图中这些联系又有区别的材料是按照共性和个性关系编码, 有利于数学认知结构的形成; 在工作记忆中有意义信息集中可以形成有意义较大单元, 使得每个组块信息量增大, 形成精致的编码过程.联系与对比降低内在认知负荷和外在认知负荷, 增加了有效认知负荷.

集中讲对比练组学习材料一方面在比较之前设计了四种解题方法的基本知识材料的集中学习步骤, 以期降低内在和外在认知负荷, 更有利于随后比较法作用的发挥.另一方面, 用对比的方式, 被试对四种既有联系又有区别解题方法, 按照它们的共性和个性关系进行编码, 有利于被试深度加工学习材料, 有效认知负荷增加.相比间隔组学习材料, 集中讲对比练组学习材料呈现相对优化的学习信息, 可以降低内在负荷和外在负荷, 增加有效负荷, 但有效负荷增加的速度没有内在负荷和外在负荷下降的速度快, 集中讲对比练组的总体认知负荷下降是有可能的.

4.3 关于学习效益显著

从以上实验数据可以看出, 集中讲对比练组学习效益高的原因是:1)集中讲对比练组的学习效果显著高于间隔法组; 2)集中讲对比练组的认知负荷较间隔法组显著降低.从被试感受到的不同吃力程度对比分析得出, 集中讲对比练组的被试对于一元二次方程的理解更深刻, 能够顺利地求解一元二次方程.因此提高了学习效益.

5 结论

该实验表明, 两种样例学习方式间有显著差异:集中讲对比练法优于间隔法.基于一元二次方程的两种解法, 集中讲对比练的学习方式, 显著提高了学生学习的效果和效益, 降低了学生的认知负荷.一元二次方程的集中讲对比练的学习方式对其教学具有一定的指导意义和参考价值.这对于我们进一步研究数学模块教学提供了重要的意义与价值.