0 引言

多年数学分析的教学及作业测试批改中，反馈的数据表明数列或函数极限概念的ε-N(δ)语言是数学系本科生公认一大难点，是学好数学分析的“拦路虎”.主要原因如下：一是中学更多地强化计算和证明，概念的逻辑语言训练相对薄弱；二是大学改变了中学教学模糊的描述性定义，“当x无限趋近于x₀时，函数f(x)无限地趋近常数A或f(x₀)”变为动态变量或拓扑定义：当0＜|x-x₀|＜δ时，|f(x)-A|＜ε，即f(x)∈(A-ε, A+ε)时要求x∈(x₀-δ, x₀)∪(x₀, x₀+δ)，这是一种“动态”或“海量”的量化，动静结合(ε具有任意性和暂时固定性的双重角色)；三是成熟精确的ε-δ语言经历了三百多年发展演变的积累沉淀：起初，牛顿和莱布尼茨的极限概念是模糊的，直到19世纪，建立在严密理论基础上的极限概念才由柯西和魏尔斯特拉斯给出，魏氏在柯西的基础上给出ε-δ语言，这种语言的本质是将动态过程静态化，如同电影与它的胶片关系.

当代分析权威柯朗(R.Courant)评价道：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一，它乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶.”难怪数学家保罗.哈尔莫斯曾直言他到大三才真正弄懂ε-δ定义并开始他的数学生涯^[1].

面对ε-δ语言的学习难度，国内一些学者提出非ε -语言即D -语言的降梯度处理方式，学生更易于理解和掌握^[2-3]；当然也有觉得ε -语言有利于促进大学生从静态抽象思维到动态抽象思维的飞跃，D-语言会使学生痛失一次思维水平提高的机会^[4].当今数学系的大学生，即便是学得较好的学生，也存在逻辑分析基础薄弱的缺陷，不能很好地进行逻辑讨论.

本文主要是为了克服学生在逻辑结构语言的分析缺陷^[5], 借用函数一致连续的ε-δ语言进行多种叙述变换，对标准形式的不完整性与准确性之间的细节辨析，促进学生把握ε-δ定义的每一个逻辑细节，更加清楚地认识到自身逻辑素养上的缺陷，进而让教师充分关注学生基本逻辑成熟素养的教学训练.

1 函数连续与一致连续的符号语言定义

由于本文讨论的一致连续涉及连续、左连续、右连续概念，而连续概念又牵扯到函数概念，所以为便于逻辑语言的展开，先叙述复习一下.

1.1 函数连续的ε-δ定义

定义1^[6](点连续的ε-δ定义)  设函数f在点x₀的某邻域U(x₀)上有定义，若对于给定的ε＞0，存在δ＞0，使得当时|x-x₀|＜δ，有

$ |f\left( x \right)-f({{x}_{0}})| < \varepsilon $

(1)

则称函数f在点x₀连续，并记作$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f({x_0})$.

函数在f点x₀连续比函数f在点x₀有极限要求更高：后者并不考虑点x₀的函数值情形，即0＜|x-x₀|＜δ.由于定义1中的不等式|x-x₀|＜δ等价于x∈U(x₀; δ)，而|f(x)-f(x₀)|＜ε等价于f(x)∈U(f(x₀); ε)，所以定义1又可以写成拓扑语言的形式：任给ε＞0，存在δ＞0，使得

$ \begin{align} &f(U({{x}_{0}};\delta ))\subset U(f({{x}_{0}}), \varepsilon ) \\ &或{{f}^{-1}}(U(f({{x}_{0}});\varepsilon )\subset U({{x}_{0}};\delta ) \\ \end{align} $

(2)

这里f^-1(*)不是指反函数而是集合的原像集.

函数f可由点连续扩展到区间(可以是有限区间或无穷区间)上的连续.

定义2^[6](区间连续的ε-δ定义)   设函数f在区间I上有定义，若f在区间I内的每一点(非端点)都连续，且当区间I含有端点时，f在端点处单侧连续(左端点为右连续，而右端点为左连续)，即对于任给的ε＞0和I中的任一固定点x₀，总存在δ＞0，使得当x∈I且|x-x₀|＜δ时，恒有

$ |f\left( x \right)-f({{x}_{0}})| < \varepsilon $

则称函数f在区间I上连续.

注记1:函数f(x)在点x₀连续并不意味着f(x)在点x₀的邻域内连续，只有当f(x₀)≠0时，ε-δ及极限的局部保号性才能保证f(x)在点x₀某邻域内连续.

1.2 函数一致连续的ε-δ定义

函数f(x)在区间I上连续，反映x充分靠近x₀程度的正数δ不但与ε有关的，还依赖于x₀的变化.可见，定义1中的δ应记为δ=δ(ε, x₀).如果能找到一个仅与给定的ε有关而对区间I的一切点都适用的δ=δ(ε)＞0，则这样的函数就具有“统一”或“一致”的性质，按照这种性质可以给出下面的一致连续定义.

定义3^[7](一致连续)  设函数f在区间I中有定义，如果任给ε＞0，总存在δ=δ(ε)＞0，使得对任意x₀∈I，只要x∈I且|x-x₀|＜δ时，便有

$ |f\left( x \right)-f({{x}_{0}})| < \varepsilon $

(3)

则称函数f在区间I上一致连续(或均匀连续).

上述定义3中，统一或一致的正数δ是不依赖于x₀的，因而在绝对值不等式|x-x₀|＜δ和|f(x)-f(x₀)|＜ε中，x₀和x实际上却处于同等的“任意”地位.将改x写为x′，x₀改写为x″，则得到众多教科书采用的一致连续定义版本.

定义4^[6]  设f为区间I上的函数.若对任给ε＞0，存在δ=δ(ε)＞0，使得对任何x′, x″∈I, 只要|x′-x″|＜δ，就有

$ \left| f\left( x\prime \right)-f\left( x\prime\prime \right) \right| < \varepsilon $

(4)

则称函数f在区间I上一致连续.

应当注意的是：1)f(x)在点x₀连续是局部性质，它只由f(x)在点x₀邻近的函数值变化来决定δ，而不考虑离x₀较远的那些点上的函数值.但一致连续却不然，它需要考虑区间I的一切点上是否可以找到通用的适合连续定义的δ，因此，一致连续的性质是整体的性质，这种整体性质使一致连续函数具有很重要的作用.2) 函数f在区间I中不一致连续的ε-δ语言叙述为：若存在某个ε＞0，对于任意的δ＞0，存在某两个x₀, x₁∈I虽然|x₀-x₁|＜δ，但有|f(x₀)-f(x₁)|≥ε.

2 函数一致连续性定义的23种变换说法的辨析

基于一致连续性的ε-δ认知，本节就一致连续的ε-δ逻辑语言结构进行变换表述.王会林^[5]从苏联杂志《数学科学的成就》上翻译的文章“在国立拉脱维亚大学数学-物理系进行的一场大学生数学竞赛”，对函数的一致连续性定义的ε-δ命题变换了23种说法，要求参赛者把适合每一种说法的函数都找出来.由于文献[5]及相关文献并没给出解答，所以本节侧重对23种说法进行逻辑辨析，每种变换说法与标准的一致连续ε-δ定义在内涵与外延性上是否等同，即在不完整性与准确性之间的细节上作剖析.

借鉴文献[5]给出的23种变换，不再限制f(x)在单位闭区间I=[0, 1]上讨论，以回避在Cantor定理下连续与一致连续的无差异性.

下面表 1中列出的一致连续23种说法能否作为f在I上一致连续的等价刻画？函数f在区间I(有限或无限)上有定义，约定下述ε, δ均为实数.

上述23种变形只基于“f在区间I上一致收敛”的四个核心要素“① 任意给定正数ε；② 存在与ε有关的正数δ；③ 对于I中任意两点x′, x″∈I满足绝对值不等式|x′-x″|＜δ；④ 函数值的绝对不等式|f(x′)-f(x″)|＜ε”进行部分改变.下面逐题给出辨析，约定x′, x″∈I，并在构造例子时考虑I∈[0, 1]，端点在必要时可不考虑.

1)∀ε, $\exists $ δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】f不能作为I上一致连续的等价刻画(下述简称“不能”).这里将核心要素“∀ε＞0”换为“ε为任意实数”，这时当“ε≤0”时导致核心要素④

“|f(x′)-f(x″)|＜ε”变成矛盾不等式，从而“正数δ”不可能找到，满足1) 的函数f(x)不存在.

2) ∀ε＞0, $\exists $δ，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】f能作为I上一致连续的等价刻画(下述简称“能”).本题将核心要素② 换成“ε是任意实数”，注意到ε是因为先给定∀ε＞0之后存在的，它的存在要保证“|x′-x″|＜δ”成立，这自然过滤掉“δ≤0”的情形.

3)∀ε, $\exists $δ，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.这里将核心要素① 和② 同时去掉正数的限制，类似1) 的辨析，实数ε的任意性让不等式|f(x′)-f(x″)|＜ε出现部分病态.

4) ∀ε＞0, $\exists $δ(0, ε)，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】能.将核心要素② 添加了限制“δ＜ε”，由于δ只要求存在，可以任意充分小.假如由不等式

|f(x′)-f(x″)|＜ε反解出的δ＜ε，根据实数的阿基米德性，存在某个正整数k，使kε＞δ，即δ/k＜ε，用δ/k作为新δ的就达到要求.

5) ∀ε＞0, $\exists $δ≥ε，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】本题条件只能作为“f在I上一致连续”的充分条件而不是必要条件.比如, f(x)=2x在I上一致连续，但对于∀ε＞0，需使|f(x′)-f(x″)|=2|x′-x″|＜ε成立，δ必须满足δ≤ $\frac{\varepsilon }{2}$＜ε才行.由于凡满足李普希茨(Lipschitz)条件的函数必是一致连续，所以符合本题的函数类应为：|f(x′)-f(x″)|≤L|x′-x″|，且L∈(0, 1].

6)∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时x′-x″＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.本题将核心要素③ 的绝对值去掉，这时“∀x′, x″∈I且x′-x″＜δ”包含“|x′-x″|＜δ”及“|x′-x″|＞δ”两种情形，特别是只要“x′＜x″”必满足“x′-x″＜δ”，导致符合的函数f(x)只能是常值函数.因为若f(x)≠const，不妨设x₀, x₁∈I，x₀＜x₁, 但f(x₀)≠f(x₁), 取ε₀=|f(x₀)-f(x₁)|/2，对x′=x₀, x″=x₁，虽δ＞0，x′-x″=x₀-x₁＜δ，但|f(x′)-f(x″)|= |f(x₀)-f(x₁)|＞ε₀，出现矛盾.

7) ∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有f(x′)-f(x″)＜ε.

【辨析】能.本题将核心要素④ 的绝对值去掉，虽然“f(x′)-f(x″)＜ε”也蕴含着“|f(x′)-f(x″)|＜ε”和“|f(x′)-f(x″)|＞ε”两种情形，但后者是不会发生的.这是由于“f(x′)-f(x″)＜ε”的成立是在x′, x″∈I且|x′-x″|＜δ之下，所以由|x′-x″|＜δ时，|x″-x′|＜δ，从而f(x′)-f(x″)＜ε且f(x″)-f(x′)＜ε，也蕴含着|f(x′)-f(x″)|＜ε.正如文^[8]P173练习2.3的第2.3.4题指出的，“f在区间I上一致上半连续(定义正是7) 的条件)”与“f在I上一致连续”是同等的.

8)∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得x′-x″＜δ时，就有f(x′)-f(x″)＜ε.

【辨析】不能.本题将核心要素③ 与④ 的绝对值同时抹掉，理由同6) 的辨析.一方面，当x′ < x″时，x′-x″＜δ自动成立，而f(x′)-f(x″)＜ε恒成立就要求f(x)在I=[0, 1]上递增；另一方面当0 < x′-x″＜δ时，还成立f(x′)-f(x″)＜ε，这时蕴含有当|x′-x″|＜δ时，成立|f(x′)-f(x″)|＜ε.可见，本题条件可以作为一致连续的充分条件，但不是必要条件.比如，非递增函数f(x)=-x在I=[0, 1]上一致连续，但取ε₀=0.5时，对任意的正数δ，取x′=0, x″=1，虽然x′-x″=-1＜δ，但是f(x′)-f(x″)=1＞ε₀.

9)∀ε, $\exists $δ，使得x′-x″＜δ时，就有f(x′)-f(x″)＜ε.

【辨析】不能.本题将四个核心要素全部作改变，在任意实数ε和存在实数δ之下，当x′-x″＜δ成立f(x′)-f(x″)＜ε，这样的条件不是一致连续的必要条件.比如，函数f(x)=x在I=[0, 1]上一致连续，但取ε₀=-3时，对任意的实数δ，虽然x′-x″＜δ，由于|f(x′)-f(x″)||f(x′)|+|f(x″)|=x′+x″2, 从而f(x′)-f(x″)>ε₀.其实就是常值函数f(x)=c，当取ε₀ < 0时，对任意的实数δ，虽然x′-x″＜δ，但是f(x′)-f(x″)=0>ε₀.

10)∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得|x′-x″|＜ε时，就有|f(x′)-f(x″)|＜δ.

【辨析】不能.本题将核心要素③、④ 中两个绝对值不等式的误差限ε与δ交换，这只要求f(x)是一致有界函数就可以办到，比如，设存在M＞0，使得|f(x)|＜M则∀ε＞0, $\exists $δ=2M，则当x′, x″∈I且时|x′-x″|＜ε，总有|f(x′)-f(x″)|＜δ.

11) ∀ε＞0及∀δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.将核心要素③ 中的“存在”变为“任意”之后，满足的函数只能是常值函数，对于I∈[0, 1]，取δ=1.01, ∀ε＞0，满足时|x′-x″|＜1.01，就有x′, x″∈I，使得|f(x′)-f(x″)|＜ε，这说明f(x)=const.

12)$\exists $ε＞0及$\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.本题将核心要素① 中的“任意”变为“存在”，这时对于任何(一致)有界函数而言，显然符合条件，即取ε= $\mathop {\sup }\limits_{x \in I} f\left( x \right) + 1$就行.

13)∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＞ε.

【辨析】不能.本题将核心要素④ 中的“＜”变为“＞”, 这就要求函数几乎处处无界，比如

$ f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} &\rm{tan}\frac{\pi }{x}+\frac{\pi }{2}, x\in \left( 0, 1 \right] \\ &0, x=0. \\ \end{align} \right. $

对于∀x =1/n∈(0, 1](n=1, 2, …)都是f(x)的无穷间断点.

14)∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＞δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.将核心要素③ 中“＜”变为“＞”, δ变成刻画自变量的充分远离程度，这样的函数f(x)除常值函数外，非平凡情形应是如钟形或倒钟形函数.

15) ∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＞ε，就有|f(x′)-f(x″)|＞δ.

【辨析】不能.将核心要素③ 和④ 的“＜”都换成“＞”且变换ε与δ的地位，这样的函数依然含有间断点，比如，记$\mathbb{Q}$ ^C为有理数$\mathbb{Q}$在实数中的补集，对于

$ f\left( x \right)=xD\left( x \right)=\left\{ \begin{align} &x, x\in \mathbb{Q}\cap \left[0, 1 \right], \\ &-x, x\in {{\mathbb{Q}}^{C}}\cap \left( 0, 1 \right) \\ \end{align} \right. $

则除x=0为连续点外处处间断.∀ε＞0，当|x′-x″|＞ε时，则取δ=ε/2，|f(x′)-f(x″)|= |x′-x″|或|x′+x″|＞δ.

16)$\exists $ε＞0, δ＞0，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.此条件可以刻画有界函数类，若$\exists $M＞0，使得|f(x)|＜M，x∈I这时取ε₀=2M，则对δ＞0，当时|x′-x″|＜ε，总成立|f(x′)-f(x″)|＜ε₀.

17) ∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得时|x′-x″|＜ε，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.本题将核心要素③ 中“δ”换为“ε”，相当于δ=ε，函数类应符合Lipschitz条件：x′, x″∈I，使得|f(x′)-f(x″)|≤|x′-x″|，比如f(x)=x，f(x)=sinx.

18) ∀ε＞0, 存在某个ε＞0，使得|x′-x″|＜δ时，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.将核心要素② 中δ换成ε，因为ε具有任意性和暂时固定性的二重性质，当ε给定后，使不等式|f(x′)-f(x″)|＜ε成立的x′, x″满足|x′-x″|＜δ，虽δ仅提及实数，但δ≤0不成立|x′-x″|＜δ.由于δ是任意正数，所以和11) 相同，f(x)=const.

19) ∀ε＞0，使得|x′-x″|＜ε时，就有|f(x′)-f(x″)|＞ε.

【辨析】不能.本题条件中的函数f(x)不可能存在，原因是取x′=x″时，虽然|x′-x″|=0＜ε，但|f(x′)-f(x″)|=0＞ε是矛盾不等式.

20) ∀ε＞0，使得|x′-x″|＞ε时，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.符合的函数f(x)只能是常值函数.因为假如存在x₀, x₁∈I，但f(x₀)≠f(x₁)，不妨设x₀＜x₁，则正数ε₀＜min{x₁-x₀, |f(x₀)-f(x₁)|}当x′=x₀，x″=x₁时，|x′-x″|=|x₀-x₁|＞ε₀，但|f(x′)-f(x″)|= |f(x₀)-f(x₁)|＞ε₀.

21) ∀ε＞0, $\exists $δ＞ε，使得时|x′-x″|＜δ，就有|f(x′)-f(x″)|＜ε.

【辨析】不能.将核心要素② 附加了额外限制δ＞ε，这类似于5) 的辨析，满足本题的函数f(x)应满足Lipschitz条件：|f(x′)-f(x″)|≤L|x′-x″|，x′, x″∈I且L∈(0, 1)，比如f(x)=x/2, f(x)=sin x/3.

22) ∀ε＞0, $\exists $δ＞0，使得|x′-x″|＞δ时，就有|f(x′)-f(x″)|＞ε.

【辨析】不能.比如构造f(x)在(0, 1]上的阶梯函数如下

$ \begin{align} &f\left( x \right)=\left[\frac{1}{x} \right]=n, \\ &x\in \left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right], n=1, 2, 3, \ldots . \\ \end{align} $

则∀ε＞0, 取δ＞$1-\frac{1}{\left[\varepsilon +2 \right]}$,

则当|x′-x″|＞δ时，

$ \begin{align} &\left| f\left( {{x}'} \right)-f\left( {{x}''} \right) \right|=\rm{ }\left| \frac{1}{x\prime }-\frac{1}{x\prime\prime } \right| \\ &\ge \left[\varepsilon +2 \right]>\rm{ }\varepsilon, \\ \end{align} $

此函数在x= $\frac{1}{n}$ (n=1, 2, …)处都是跳跃间断点.

23)∀ε＞0, , $\exists $δ∈(0, ε]，使得时|x′-x″|＞δ，就有|f(x′)-f(x″)|＞ε.

【辨析】不能.本题除了将核心要素② 附加限制条件外δ≤ε，还把核心要素③ 和④ 中的“ < ”全换成“>”.类似于(22)，我们可以在上[0, 1) 构造一个有无穷多个跳跃间断点的阶梯函数如下

$ \begin{align} &f\left( x \right)=\left[\frac{1}{1-x\prime } \right]=n \\ &x\in \left[1-\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n+1} \right), n=1, 2, \ldots . \\ \end{align} $

于是∀ε＞0，取正数δ满足$\frac{1}{\left[\varepsilon +2 \right]}$＜δ＜$\frac{1}{\left[\varepsilon +1 \right]}$，则δ＜ε，当x′, x″∈[0, 1) 且|x′-x″|＞δ时,

$ \begin{align} &|\frac{1}{1-{x}'}-\frac{1}{1-x\prime\prime }|=\frac{\left| x\prime-x\prime\prime \right|}{\left( 1-x\prime \right)\left( 1-x\prime\prime \right)} \\ &>\frac{\delta }{1.1}>\frac{1}{\left[\varepsilon +2 \right]}, \\ \end{align} $

进而

$ \begin{align} &\left| f\left( x\prime \right)-f\left( x\prime\prime \right) \right|=|\left[\frac{1}{1-{x}'} \right]-\left[\frac{1}{1-x\prime\prime } \right]| \\ &\ge \left[\varepsilon +2 \right]>\varepsilon . \\ \end{align} $

3 结语

一致连续的ε-δ逻辑语言涉及连续与间断，左右连续，上(下)半连续，间断等定义的ε-δ表述，对它的核心四要素作各种变换的辨析，并非牵强附会而是知识间的融合贯通和举一反三，让读者更易从深层次去理解一致连续的细节.如何用精确清晰的“语言外衣”，深入浅出地描述一致连续的“似是而非”，使初学者更好地全面掌握知识点的本质，得到抽象思维和逻辑推理的训练.

从上一节的辨析中，令人极为惊讶的是：f(x)在I上一致连续竟可以像上述2) 和7) 那样表述，δ的正数可以不提，而绝对不等式|f(x′)-f(x″)|＜ε的绝对值也可以去掉，虽然这样做会影响实际的反解求正数δ的存在性，但逻辑上没有问题.对于像22) 和23) 函数构造确实是一大挑战.23种ε-δ语言其他题目的变换说法，理解起来也不那么轻松，构造合乎条件或与条件满足的函数类，更让人有点“抓狂”，比如8) 和9) 的辨析，起初看似容易但真正构造实例来竟然不知所措顿失方向感，当知道从正反两方面去分析时才可能避开原题设条件的逻辑陷阱，这些过程让人清楚地认识到逻辑思维训练上存在的缺陷.不过，经过这样对每个逻辑细节的深究，如何较快地把复杂的表述弄清楚，的确能引发学习者仔细思虑，从而收获基本逻辑的成熟性.这样的教学思维训练是很多师生所没有充分注意到和体验过的.

基于上述理念，在面对ε-δ逻辑语言，教师没有为了照顾学生的认知困境而故意降低逻辑的要求，或干脆绕过去，以上采取的教学训练可以突出思维核心的理念，收获到“取法乎上仅得其中”的效果.这样教师自己能“恍然大悟”，又能推动学生的思维发展，处处有分寸感，这样的教学才会是成功的.

致谢:

作者非常感谢同事好友黄留佳、元鲁和卢若飞等老师的帮助，当面对23个ε-δ逻辑语言变换的一些题设条件进行辨析和构造反例出现思维混乱甚至不知所措失去方向感时，得到他们及时有意义的讨论和启迪.