1 缘起

在《中华大典·数学典·传统算法分典》中《开方总部》的编篡工作中，用到了文献清朝数学家程之骥的《开方用表简术》.共找到两个版本一个是来自《吴疆域图说》中的四集第六种《开方用表简术》(封面、首页和末页如图 1).此清光绪十四年(1888年)《南菁书院丛书》的刻本，但很多地方字迹不清，“筹算式”更是如此.

经比对，另一个版本是《南菁书院丛书》的刻本的抄本(首页、末页如图 2)，来自《中华大典·数学典》的电子文库，李迪先生的《算学书目汇编》有《开方用表简术》抄本记录，未看到抄本，似应与这个相同.总体而言都更清楚一些.但除原书原缺漏的地方外，又多了几处遗漏和错讹.可能是刻本不够清楚，一些“筹算式”中数字错误不少.

2 《开方用表简术》的主要内容

《开方用表简术》一书共有60页，开篇明义，该书是对华蘅芳《开方古义》中开方算法的简化.《开方用表简术》的数学意义以及两本书之间的关系，另文介绍.

谨按：行素轩《开方古义》二卷解释《今古开方会要之图》，畅明厥恉且示图中各数为递开一数而设，因之化图立表为开正商递加一之用.复将表数变作正负相间为开负商递加一之用.又推增表中倍数，为开正负各商递加二之用，共成四表.证以算草佐以论说固己理，祥法备矣.惟是原术用表，必迭次递求余式，始开的元之一位商数，其在平方、立方本自便矣.倘在多乘方式而元数又有多位布算，仍觉甚繁.爰从原表推得表若干，通并原表计之遂成九个正商分表，九个负商分表，再将各表首层之数，依次垒为一个正商总表，一个负商总表，无论开何乘方，必先于总表得初商，继于分表求余式，复于总表求次商，循是以推，凡多求一次余式，即多得一位商数，拟名《开方用表简术》，盖似较原术可略从简省云^[1].

随后给出“术”，即开方的操作过程，然后是附表，即九个正商分表和一个正商总表，并给出了造表通法.之后是负商表一、负商表二和负商总表.其他负商表未列出.比如，由正商总表构造正商三之表的造表法：每行保留最后一层的“1”，然后与的列“3ⁿ，9，27，81，243，729，2187，6561”，“齐其行次”对应相乘如下(原为筹式，改为阿拉伯数字).

最后是四个题目和详细的解题过程.包括开平方2题，开立方和开三乘方各1题目, 共计4个题目.

$ \begin{align} &1){{x}^{2}}-5x+6=0;2)-{{x}^{2}}+56x-786=0;3)-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-6=0 \\ &4)-{{x}^{4}}+20230{{x}^{3}}-139638900{{x}^{2}}+3595622065905x-143010419011499=0 \\ \end{align} $

3 《开方用表简术》补校

通过比较和计算发现，刻本尽管不少地方不清楚，但相对而言错误较少.可以两者结合在一起看，不清楚部分的问题可以解决.但是开三乘方一题漏缺部分内容，抄本漏的还要多一点.今按照其算法补校如下，并将筹码改为阿拉伯数字.正商五之表的第三行从上到下应为25，10，1.两个版本中第二个数字都误为0，应该是10中漏掉了第一个筹码.从后面开三乘方正确使用的该表看，也是如此.

漏缺的部分主要集中在第4题开三乘方的运算中，刻本49页和50页，抄本48页和49页.从对比中可以看出，抄本漏的更多一些.

“又逐层书其并数于左：”(下面黑体数字一列原书丢失)

“又因末商六，乃取正商六之表前四行与上横式齐其行次，逐层相乘得数如下：”(下面计算为补校内容)

[并数可去首层0，一下三层作平方式，又将平方式方进一位，隅进两位横列之，与正商总表相乘得数如下：]

具体计算过程如下：

4 结语

贾宪所创“增乘开方法”即求高次幂正根的方法，是高次方程数值解的一般方法，也称霍纳法.目前中学数学中的综合除法，其原理和程序都与它相仿.增乘开方法比传统的方法整齐简捷，又更程序化，在开高次方时，尤其显出它的优越性.增乘开方法的计算程序大致和欧洲数学家霍纳(1819年)的方法相同，但比他早770年.增乘开方是将《九章算术》开方术归纳、推广的结果，而贾宪三角是记录了用增乘法得到的各乘方之廉.增乘开方的发展脉络是：传统开方-立成释锁^[2]-释锁求廉本源(贾宪三角的造表法)-增乘开方.

之后，该算法在明朝失传.清中叶之后，人们重新认识了增乘开方法，李锐和焦循对增乘开方法进行概括和总结，因为在开方方法上没有实质变化，该部分的相关内容将在方程论部分继续讨论.开方术发展到晚清受到西学东渐的影响，中算家夏鸾翔基于级数展开开方新术比戴煦的方法更为简捷有效^[3].

清朝，几乎所有著名的数学家都投入了对秦九韶等开方术的研究，并在方程的分类，根的讨论以及根与系数的关系等方程论的内容得到了很多结果.清朝数学家华蘅芳创立了基于“开方诸表”的开方法，他误以为就是秦九韶的开方法，但是他的方法实不如增乘开方法简单，却也是一种创见.从程之骥的《开方用表简术》来看，确实比华蘅芳的方法简单了一些，但是整个开方过程仍然相当繁琐.而且他和华蘅芳的方法内在本质上与增乘开方法一致，也符合中算喜欢用“表”来开方的习惯，从这个意义上来说，很像增乘开方和立成释索的组合，不妨称之为“增乘立成”开方法.当然，这种方法有自己的优点，对于高次方程多个根，不论是正数根还是负数根的求解还是很顺畅的.与李锐所用传统开方法求多个根的方法“凡平方可以开两数者，以正商步负实，得第一数，小数也.以负隅步正方得第二数，大数也.立方可开三数者，以正方步负实，得第一数，小数.以负廉步正方，得第二数，中数.以正隅步负廉，得第三数，大数.它皆仿此.”^[4]相比，“增乘立成”方法有其优点.