1 前言

在制冷空调及热泵系统中，冷凝器的性能优劣直接影响到系统的制冷、制热效果和能耗情况。传统冷凝器设计，通常依赖样机的反复制作与调试，存在周期长、费用高等缺陷，影响产品性能优化。目前，国内外对冷凝器研究的整体趋势是：基于系统目标，结合计算机仿真模拟技术，建立冷凝器模型，分析制冷剂质量流量等影响因子对冷凝器性能以及系统性能的影响，实现优化设计^[1]。

研究人员早期通过改变冷凝器管径、间距等参数研究其对冷凝器性能的影响^{[2, 3]}，近年来，有学者将熵产的概念引入对冷凝器性能的评价^[4~6]。Cavallini等^[7]研究发现凝结换热系数和压降都随着干度和工质质量流速的增加而增加；Wellsandt等^[8]发现在干度较低的范围内，传热系数对热流密度的依赖不大；Kuo等^[9]指出冷凝换热系数会随着工质质量流速和热流密度的增加而增加，但通常伴随着较大的压降；Longo^[10]发现，换热系数对饱和温度并不敏感，对工质质量流速和过热度很敏感；Simone Mancin等^[11]提出，当质量流速较低 (15~20 kg×(m²×s)^-1) 时，其对换热系数影响不大；燕志鹏等^[12]研究表明，R22、R134a、R407C和R410A在饱和蒸汽温度35℃时的管束平均冷凝传热性能均优于39℃；且随着壁温差的增大，R407C的平均管束外冷凝传热系数逐渐增大，其他工质则相反。

可见，混合工质冷凝器优化已经得到了广泛的研究，但涉及的工质主要是R410A、R407C等少数HFC类工质，兼顾环境特性 (低ODP、低GWP) 和热力性能的混合工质较少，大多数研究忽略不计制冷剂侧压力变化^{[13, 14]}，对于冷凝器的结构优化的研究，多集中于强化传热方面。实际上两相流中的压降影响到工质的饱和温度，从而改变传热平均有效温差，特别是混合工质存在组分迁移、温度滑移等特性，当建立冷凝器性能评价标准时，由压降产生的工质温度降不能被忽略。同时，制冷剂通过其热力学性质和输运性质，也会影响冷凝器的传热和压降性能。随着新型环保工质不断被引进，需要提出合适的评价标准对其冷凝换热和压降性能进行评估，进而优化冷凝器结构参数。此外，在设计冷凝器时，传热不可逆损失随着换热面积的增大而减小，压降不可逆损失则相反。因此，在一定传热负荷情况下，存在冷凝器结构优化问题，该问题的解决很大程度上依赖于对传热和压降耦合作用的研究。

基于上述考虑，兼顾已经商品化的R744和HFC、HC类工质，本文拟针对兼顾环境特性 (低ODP、低GWP) 和热力性能新型混合工质R744/R290^[15]及R125/R290^[16]套管式冷凝器管内冷凝换热展开研究，基于传热和压降的耦合作用，在单位面积换热量一定的前提下，对冷凝器结构进行优化，得到最优管长，以期对新型工质冷凝器结构优化提供有价值的参考。

2 混合工质冷凝器模型

换热器中制冷剂和载冷剂的流动传热过程十分复杂。即使在稳态工况下，要想利用理论模型，对热力系统中广泛应用的管壳式换热器进行数值分析，并把换热器中管内、外两侧流体的流速、温度分布的每个细节全部分辨出来，不仅十分困难，而且也是目前用于工程计算的计算机容量所不允许的。

为简化模型计算，本文冷凝器物理模型的建立基于如下主要假设：(1) 管内工质与管外介质的流动均为一维稳态流动；(2) 管内工质与管外介质在各点流动位置处的流量不随时间变化；(3) 管壁径向温度近似一致，即不考虑管壁的传热热阻，沿管长方向，工质、管外介质以及管壁上的物性参数近似为一致；(4) 管外介质侧的压降忽略不计。

混合工质性能评价指标 (PEI) 定义为^[17]：

$\text{PEI}=\left( \frac{\text{d}{{T}_{s}}}{\text{d}\chi } \right)\cdot \Delta {{T}_{sr}}=\Delta {{T}_{sr}}\cdot \Delta {{T}_{dr}}$

(1)

式中，T_s是制冷剂饱和温度，χ是制冷剂干度，△T_sr是摩擦压降导致的制冷剂饱和温度降，△T_dr是传热过程的驱动温差。

温度惩罚因子TTP (Total Temperature Penalization) 定义为：

$\text{TTP}=\Delta {{T}_{dr}}+{\Delta {{T}_{sr}}}/{\text{2}}\;$

(2)

2.1 最优管长取得的条件

换热器中两种介质的流动传热过程十分复杂，具有很大的随机性和不可预测性。即使在稳态工况下，对热力系统中广泛采用的套管式换热器进行数值分析，并把换热器中管内、管外两侧流体的流速、温度分布的所有细节全部分辨出来，不仅十分困难，且也超出了用于一般工程计算的计算机容量。基于上述考虑，本文建立了基于给定热负荷情况下冷凝器结构优化模型。图 1显示换热过程中理想化的温度曲线。假设水冷式套管冷凝器的热流密度一定，水侧运行工况质量流速 (m_cm、进口温度T_cmi、出口温度T_cmo) 一定，管径为定值，则冷凝器的结构优化问题即为：在保证所需热流密度的前提下，尽可能地减小冷凝器的换热面积，当管径一定时，该问题的目标函数转化为对最优管长的求解。

随着管长的增加，冷凝器换热面积增加，在热负荷为定值的情况下，传热驱动温差ΔT_dr会减小；但管长的增加将会使制冷剂侧压降增加，相应的制冷剂饱和温度降ΔT_sr增加。也就是说，这两个温度惩罚因子随管长的变化是相反的，则必存在最优管长，使由传热和压降耦合作用的能量损失最小。图 2很好地描述了上述问题，可以看出最优管长L_opt的取得与如下公式所示条件匹配：

$\text{TTP}=\left( \Delta {{T}_{dr}}+\Delta {{T}_{dr}}/2 \right)\to \text{min}$

(3)

2.2 最优管长数学模型建立

首先，设定约束条件：(1) 平均热流密度q恒定；(2) 外部传热热阻 (管壁+冷却介质的对流项+缩放系数) 为常数；(3) 载冷剂侧质量流速m_cm、进出口温度T_cmi和T_cmo固定。

结合上述分析和约束条件，根据传热系数的定义，结合式 (1)，可得如下公式：

$\Delta {{T}_{dr}}=\frac{q}{\alpha };\Delta {{T}_{st}}=\frac{\text{PEI}}{\Delta {{T}_{dr}}}=\frac{C{{\alpha }^{\text{m+1}}}}{q}$

(4)

式中q指平均热流密度，C定义为无量纲系数，m是无量纲指数。

由公式 (2) 和 (3)，可得：

$\text{TTP}=\frac{q}{\alpha }+\frac{C{{\alpha }^{\text{m+1}}}}{2q}$

(5)

TTP可表示为换热系数α的函数，令 (dTTP/dα)_q等于0，即可得到换热系数α的最优值：

${{\alpha }_{\text{opt}}}={{\left[ \frac{{{q}^{2}}}{0.5\left( m+1 \right)\cdot C} \right]}^{\frac{1}{\text{m+2}}}}$

(6)

由式 (4) 和 (6)，可以得出：

${{\left( \Delta {{T}_{\text{dr}}} \right)}_{\text{opt}}}={{\left[ 0.5\left( m+1 \right)\cdot C\cdot {{q}^{\text{m}}} \right]}^{\frac{1}{\text{m+2}}}}$

(7)

由式 (4) 和 (7)，可以得出：

${{\left( \frac{\Delta {{T}_{\text{sr}}}}{\Delta {{T}_{\text{dr}}}} \right)}_{\text{opt}}}=\frac{2}{m+1}$

(8)

指数m的数值对于不同种类的制冷剂取值约为2.25^[18]，制冷剂饱和温度降ΔT_sr为制冷剂与壁面之间传热驱动温差ΔT_dr的0.6倍时，冷凝器结构趋于最优。

当换热系数的最优值α_opt确定下来之后，可以确定制冷剂侧最优质量流量G_opt，然后根据制冷剂侧换热方程，最优管长L_opt可按下式计算：

${{L}_{\text{opt}}}=\frac{{{G}_{\text{opt}}}\cdot d\cdot \left( {{h}_{\text{ri}}}-{{h}_{\text{ro}}} \right)}{4q}$

(9)

式中L指管长，d是管子内径，和分别指制冷剂进出口焓值。

PEI_opt可以分别用 (ΔT_dr)_opt、(ΔT_sr)_opt和α_opt来表示：

$\text{PE}{{\text{I}}_{\text{opt}}}=\frac{2}{m+1}\cdot \left( \Delta {{T}_{\text{dr}}} \right)_{opt}^{2}=\frac{m+1}{2}\cdot \left( \Delta {{T}_{\text{sr}}} \right)_{opt}^{2}=\frac{2}{m+1}\cdot {{\left( \frac{q}{{{\alpha }_{\text{opt}}}} \right)}^{2}}$

(10)

最后，结合公式 (7) 和 (8)，TTP_opt可以表达为如下形式：

$\text{TT}{{\text{P}}_{\text{opt}}}\text{=}{{\left[ 0.5\left( m+1 \right)\cdot {{\left( \frac{m+2}{m+1} \right)}^{\text{m+2}}}\cdot C\cdot {{q}^{\text{m}}} \right]}^{\frac{\text{1}}{\text{m+2}}}}$

(11)

TTP_opt和PEI_opt之间还可以建立如下关系：

$\text{PE}{{\text{I}}_{\text{opt}}}=\left( \frac{2}{m+1} \right)\cdot {{\left( \frac{\text{TTP}}{0.5\cdot \left( \frac{2}{m+1} \right)+1} \right)}^{2}}\Rightarrow \text{PE}{{\text{I}}_{\text{opt}}}\approx 0.335{{\left( \text{TT}{{\text{P}}_{\text{opt}}} \right)}^{2}}$

(12)

3 计算结果分析 3.1 温度惩罚因子TTP_opt的应用

图 3显示了制冷剂的TTP_opt计算值，图中制冷剂表现出了等级排序，即PEI值越小的制冷剂TTP_opt也越小，表明较高压力的制冷剂具有良好的换热性能。

图 4显示了在q=10000 W×m^-2时，制冷剂的TTP_opt与临界温度T_crit的关系。α为定值时，PEI意味着各种制冷剂在压降方面的能量损失情况 (传热方面的能量损失是一样的)；而TTP_opt意味在q固定时，比较制冷剂在压降和传热这两个方面的能量损失情况。

3.2 R744/R290和R125/R290混合工质冷凝器特定工况下的最优管长

在热流密度q=10000 W×m^-2，冷凝温度T_s=40℃，冷凝器内管内径d=7 mm，干度取平均值χ=0.5的工况下，应用上述数学模型，分别对R744/R290(20/80) 和R125/R290(25/75) 混合工质冷凝器管长进行优化，结果如表 1所示。图 5和图 6分别显示了在特定工况下，R744/R290(20/80) 和R125/R290(25/75) 混合工质的温度惩罚因子TTP与管长L的关系。

两图进一步验证了较高压力的制冷剂 (R744/R290(20/80)) 具有较好的换热性能。

3.3 管径对最优管长的影响分析

为了研究管径的变化对最优管长的影响，在热流密度 (q=10000 W×m^-2)、冷凝温度 (T_s=40℃) 和干度 (χ=0.5) 一定的前提下，分别在考察了管径在7、9和11 mm的情况下，两种混合工质的温度惩罚因子TTP与管长L的关系，如图 7和图 8所示。从图中可以看出，两种混合工质的最优管长随管径的变化情况一致，都是随着管径的增大而增大。由此可见，小管径的冷凝器最优管长更小，结构更为紧凑，换热效率更高，重量更轻，制冷剂侧和冷却介质侧的流动阻力也会更小。

3.4 冷凝温度对最优管长的影响分析

为了研究冷凝温度的变化对最优管长的影响，在热流密度 (q=10000 W×m^-2)、管径 (d=7 mm) 和干度 (χ=0.5) 一定的前提下，根据制冷和空调设备名义工况的一般规定^[19](见表 2和表 3)，分别考察了冷凝温度为35、43、49和55℃的情况下，两种混合工质的温度惩罚因子TTP与管长L的关系，如图 9和图 10所示。从图中可以看出，两种混合工质的最优管长随冷凝温度的变化情况一致，都是随着冷凝温度的增大而增大；对应的温度惩罚因子TTP随冷凝温度的增大而减小。研究冷凝温度对最优管长的影响，对于空调、冰箱、热泵系统中冷凝器结构优化具有重要的实际意义。

3.5 被动压降对最优管长的影响分析

在上面的讨论中，计算制冷剂饱和温度降ΔT_sr时，仅仅考虑了制冷剂回路中沿传热表面发生的摩擦压降，简称为主动压降，它是达到所需的传热系数α值所必须付出的能量损失。在一个实际的冷凝器中，总的制冷剂压降还包括一部分被动压降，它是从回路的组件中产生的，如回转弯头和连接头处等部位会产生与主动传热无关的压降。被动压降通常是不能被忽视的，因为它会对ΔT_sr产生影响。

对于相同的传热驱动温差ΔT_dr，被动压降的影响是提高ΔT_sr至超过仅仅由主动压降导致的值。在这种情况下的冷凝器管长优化模型建立，可以用上述相同的方式来处理，只需要简单地通过参考一个PEI的有效值。这可通过在冷凝器管长优化数学模型中引入弯头因子BF (Bend Factor)，作为系数C的乘数来实现。

同样，在热流密度q=10000 W×m^-2，冷凝温度T_s=40℃，冷凝器内管内径d=7 mm，干度取平均值χ=0.5的工况下，BF取1.4，分别对R744/R290(20/80) 和R125/R290(25/75) 混合工质冷凝器管长进行优化，结果如表 4所示。图 11和图 12显示了BF的取值对管长和TTP优化结果的影响，结果显示，随着BF的增加，L_opt不断减小，而TTP_opt的变化则相反。

4 结论

本文分析了冷凝器最优结构尺寸存在的理论基础，即热负荷一定时，随着换热面积的改变，传热和压降分别产生的不可逆损失的变化情况相反。并基于传热和压降的耦合作用，提出了“温度惩罚因子TTP”的概念。最后，根据“TTP最小”这个条件，建立了冷凝器管长优化数学模型，并以混合工质R744/R290(20/80) 和R125/R290(25/75) 为研究对象，具体分析了管径、冷凝温度、压降等参数对优化管长的影响。主要结论如下：

(1) 基于温度惩罚因子TTP最小的冷凝器结构优化数学模型，可以得到即冷凝器结构优化设计需要满足：制冷剂饱和温度降ΔT_sr为制冷剂与壁面之间传热驱动温差ΔT_dr的0.6倍。

(2) 当传热系数α为定值时，PEI可以用来比较制冷剂在压降方面的能量损失情况 (传热方面的能量损失是一样的)；而q固定时，TTP_opt可以用来比较制冷剂在压降和传热两方面的能量损失情况。

(3) 高压工质 (临界温度低的工质R744/R290(20/80)) 的PEI值更小，冷凝换热性能更优，同时小管径的冷凝器最优管长更小，且最优管长随随着冷凝温度的增大而增大，随着被动压降的增加而减小。

(4) 本文的研究结果可为新型混合工质冷凝器的结构优化提供理论依据，相关实验验证将在后续的实验研究中进一步深入探讨。