填充床是一种典型的化工设备，因其具有较大的表面积/体积比等优点，被广泛应用于能源、化工、环境等领域，可以作为反应器、换热器、分离器、反应堆等单元设备使用[1-2]。
颗粒随机填充床由于成本低廉、操作简单、易于实现，在工程实际中得到普遍应用[3-4]，但也存在流动阻力大、传热效率低等缺点，且对于小型填充床，其空间利用率较低，导致相同颗粒数目所需的空间增大。有序填充床通过对颗粒进行结构化堆积，能够最大限度增大空间利用率，同时避免较大的压力损失、提升综合传热性能，可以作为传统随机填充床的有效替代[5-6]，而3D打印技术的迅速发展使得方便地实现颗粒有序堆积成为可能[7]。填充床层的管径/粒径比可以从1到103的数量级，对于强放热反应器等热负荷较大的填充床设备，常采用较小的管径/粒径比(< 10)[8-9]，以便于床层热量能够通过壁面快速移除，从而保证系统安全运行。
GUNJAL等[10]研究简单立方体、面心立方体、斜方六面体等不同填充方式时，填充床的流动与传热分布。SUSSKIND等[11]测量水流过菱形结构堆积的不锈钢球时，孔隙率与球间距对于压降的影响。NAKAYAMA等[12]考察不同流动方向的流体流过立方堆积填充床的流动情况，获得阻力关联式。梅红等[13]分析床层结构参数和材料的变化对结构化金属填充床传热特性的影响。YANG等[14-15]采用模拟和实验的方法，研究颗粒形状与堆积方式对有序填充床内对流换热性能的影响。KIM等[16]比较不同填充方式，如简单立方填充、体心立方填充及面心立方填充时，填充床的流场与温度场分布规律。此外，DIXON等[17]、LARACHI等[18]对有序填充床的流动与传热特性也进行类似研究。
目前，对小管径/粒径比颗粒有序填充床内流动传热过程的相关研究正逐渐增多，但主要是针对单一流动工质(如水、空气等)时填充床的特性，并未涉及流体普朗特(Prandtl)数Pr的变化，流动工质不同时颗粒填充的结构参数对于床层性能的影响规律是否相同尚未可知。此外，小管径/粒径比颗粒填充通道存在显著的壁效应[19-20]，会造成速度和温度分布不均，导致无法准确反映结构参数对于填充床流动传热性能的影响。基于上述原因，本文建立小管径/粒径比颗粒有序填充床的三维物理模型，采用数值模拟的方法研究管径/粒径比对流动传热分布及传热与阻力性能的影响规律，探讨不同流动工质时，Pr对填充床性能的影响。
2 物理模型与几何尺寸本文填充床模型由规则球形颗粒有序填充而成，采用具有代表性的体心立方结构作为颗粒排列的结构单元，计算区域物理模型如图 1所示。其中，δ为颗粒填充段轴向相对位置；cell 1~4为沿轴向颗粒填充单元1~4。计算区域分为3部分，即：入口段(长度L1，mm)、填充段(长度L2，mm)和出口段(长度L3，mm)，其中填充段由9层颗粒堆积而成。由于颗粒分布的对称性，填充床在中心纵向截面两侧具有对称性结构，为了节省计算资源，采用对称边界条件，建立模型时仅选取填充床实体的一半。物理模型中存在被填充床壁面截取而成的非完整颗粒，目的是保证壁面附近的孔隙率与中心区域一致，从而尽可能削弱壁面效应的影响，以便更好地反映颗粒填充的结构参数对于流动传热性能的影响。
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图 1 计算区域物理模型 Fig.1 Physical models of computational domains |
选取3种管径/粒径比N=D/dp(即填充床圆管直径D与颗粒直径dp之比)进行研究，填充床计算区域的几何参数如表 1所示，从表中可见所建立的填充床模型均具有相近的孔隙率。
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表 1 填充床几何参数 Table 1 Geometric parameters of packed beds |
假设填充床内流动为三维、稳态、不可压缩、常物性、层流流动，忽略重力和温差引起的热浮升力及流体的黏性耗散热，忽略颗粒之间以及颗粒与壁面之间的导热。有关物理量通用控制方程为
| $\text{div}\left( {\rho \mathit{\boldsymbol{U}}\phi } \right) = \text{div}\left( {{\mathit{\Gamma} _\phi }{\text{grad}} \phi } \right) + {S_\phi }$ | (1) |
式中：ρ为密度，kg·m-3；U为速度矢量，m·s-1。当通用变量ϕ取不同变量时，方程(1)可以表示连续性方程、动量方程、能量方程，此时，广义扩散系数Γϕ和广义源项Sϕ也分别对应各自方程中的值。
本文数值计算采用层流模型。对于填充床等复杂结构，层流模型的适用范围与简单的直管内流动将会显著不同。JOLLS等[21]认为，雷诺(Reynolds)数Re在60~130的范围内时，填充床内部流体逐渐出现湍流形态；TOBIS等[22]认为，当Re=100时，流动由层流开始向湍流转变。因此，本文数值计算中Re的范围选择5~30。
3.2 流动工质与边界条件为了验证Pr对于填充床性能的影响，本文选择2组共4种流动工质(水与燃油JP-4、乙二醇与液压油)进行数值计算，每组2种工质Pr近似相等，假设工质物性参数不随温度变化，如表 2所示。
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表 2 工质物性参数 Table 2 Physical parameters of working media |
确定边界条件时对物理模型进行适当的简化。定义入口为速度入口边界，给定入口温度(293.15 K)。定义出口为压力出口边界，给定静压和适当的回流条件。填充床壁面与颗粒表面均设为无滑移不可渗透固体壁面，近壁面处采用标准壁面函数法处理，其中：前者采用绝热边界条件，即忽略填充床与外界环境之间的热量交换；后者采用恒壁温边界条件，给定壁面温度(323.15 K)。
3.3 网格划分与数值计算方法为避免颗粒与管壁以及颗粒与颗粒之间出现点接触，导致网格质量过低，本文采用间隙模型对计算区域进行简化，将颗粒缩小其直径的1%，研究表明[23]，该简化方法不会对空隙的局部流动传热造成明显影响。
由于填充床内部颗粒堆积、结构复杂，因此采用四面体与金字塔形的非结构化网格划分，同时采用网格自适应技术根据压力梯度、温度梯度、速度梯度的大小对网格进行3次细化和粗化迭代。当Re=30时，以水作为流动工质，N=5的填充床由4套网格(网格单元数为1 136万、1 405万、1 670万、1 948万)计算得到的流动传热充分发展阶段的单位管长压降和换热量分别为1 019.3 Pa·m-1和22.7 W、1 023.8 Pa·m-1和21.9 W、1 025.4 Pa·m-1和21.3 W、1 026.8 Pa·m-1和20.9 W，后2套网格的计算结果相差在2%以内，综合考虑计算精度和效率，采用第3套网格进行计算，网格划分示意图如图 2所示。同样的，通过网格独立性测试，确定N=6.67和N=10的填充床模型网格单元数分别为2 100万和1 887万。对于同一填充床模型进行计算时，网格自适应参数设置相同，网格自适应后的网格单元数会随Re和Pr的不同而略有差异。
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图 2 网格划分示意图 Fig.2 Meshes of computational domains |
采用有限容积法对计算区域和控制方程进行离散并求解，当计算域内所有控制体积的各方程平均绝对残差小于10-5，且进出口流体质量守恒、填充床系统能量守恒时，认为迭代计算收敛。
3.4 数值计算方法验证采用本文方法对文献[23-24]中N=1的填充床进行数值模拟，并将模拟结果与实验数据进行对比，如图 3所示。由图 3可见，模拟值与实验值随Re的变化趋势基本一致，其中，阻力系数f模拟值与实验值偏差为5%~17%，努塞尔(Nusselt)数Nu模拟值与实验值偏差为6%~16%，偏差均在合理范围之内，证明本文数值计算方法的可靠性。
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图 3 填充床实验值与模拟值比较 Fig.3 Comparison of experimental and numerical data for packed bed |
数值模拟中对物理模型和边界条件所做的简化是造成数值计算结果与实验数据存在偏差的主要原因：数值计算中通道壁面采用绝热边界条件，而实验中壁面与外界环境之间存在不可逆热量交换；数值计算中为了生成高质量的网格，对颗粒接触区域进行了一定的简化；数值计算中未考虑相邻颗粒之间导热等。
4 数值模拟结果及分析 4.1 颗粒填充段内流动传热轴向分布除非作出明确说明，本文的分析均是针对以水(Pr=7.01)为填充床内流动工质的计算结果。
以填充床内布置有球形颗粒的部分为填充段，流体在由固体颗粒与固体壁面组成的通道内流动，传热沿流程的发展过程，与流体力学的发展过程是同时进行的。由于颗粒有序填充的结构特点，流通截面积沿轴向发生有规律的变化，流体在填充段内的流动与传热分布也会随之发生相应的变化。
当Re=20时，填充段内流体速度v沿轴向位置δ(见图 1(b))的分布如图 4所示。从图中可以看出，随着N的增大，流速v增大，这是由于N越大，颗粒直径dp越小，相邻颗粒之间孔隙截面积也随之减小，导致流速增大。在不同N时，v沿轴向具有相似的变化规律：当流体流入填充段以后，与无颗粒的填充床入口段相比，由于颗粒的存在导致流通截面突缩，从δ=0开始，v急剧增大；随后沿通道轴线方向，随着δ的增大，流体流过每层颗粒填充层时，由于几何结构上的有序性，流通截面出现周期性的收缩-扩张的变化，使得v出现相对应的周期性变化趋势；在接近填充段出口处，即δ接近1时，由于流通截面的突扩，v急剧减小。因此，颗粒填充段内的流动存在入口阶段、周期性充分发展阶段以及出口阶段的差别。
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图 4 流体速度沿填充段轴向分布 Fig.4 Axial distribution of velocity in the packed section |
填充段内第1~4颗粒填充单元(见图 1(b))表面传热系数h的变化情况如表 3所示。从表 3中可以看出，当N=10时，各单元表面传热系数h均比当N=5和当N=6.67时相应的各单元h高，这主要是由于流速v随着N的增大而增大造成的。当不同N时，各单元h具有相似的变化规律：由于入口效应的影响，包含部分入口阶段的第1单元具有更高的h；第2与第3单元均位于流动充分发展阶段内，并且二者的h相差不大，此时传热也处于充分发展阶段；第4单元由于受到出口阶段的影响，h较前3个单元低。
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表 3 填充段内各单元表面传热系数(Re=20) Table 3 Heat transfer coefficients of each cell in the packed section (Re=20) |
本文通过对颗粒孔隙内计算结果进行积分平均，来获得填充床内流体与颗粒之间的对流传热表面传热系数h及流体流动单位长度压降Δpm，选取流动传热充分发展阶段(第2~3颗粒填充单元)，h与Δpm可由下式计算：
| $h = \frac{1}{2}\sum\limits_{{\text{cell2}}}^{{\text{cell3}}} {\frac{{{\rho _{\text{f}}}{c_p}\iint_{{A_{{\text{in}}}}} {v\left( {{T_{{\text{f,out}}}} - {T_{{\text{f,in}}}}} \right){\text{d}}A}}}{{{A_{\text{p}}}\left( {{T_{\text{p}}} - {{\bar T}_{\text{f}}}} \right)}}} $ | (2) |
| $\Delta {p_{\rm{m}}}{\rm{ = }}\frac{{\Delta p}}{{\Delta x}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{\rm{cell}2}^{\rm{cell}3} \frac{1}{{\left( {{x_{{\text{out}}}} - {x_{{\text{in}}}}} \right){A_{{\text{in}}}}}}\iint_{{A_{{\text{in}}}}} {\left( {{p_{{\text{in}}}} - {p_{{\text{out}}}}} \right)}{\text{d}}A $ | (3) |
| ${{\bar T}_{\text{f}}} = \frac{1}{2}\frac{{\iint_{{A_{{\text{in}}}}} {v\left( {{T_{{\text{f,out}}}} + {T_{{\text{f,in}}}}} \right){\text{d}}A}}}{{\iint_{{A_{{\text{in}}}}} {v{\text{d}}A}}}$ | (4) |
式中：下标f、p、in、out分别代表流体、颗粒、入口、出口；x为填充段轴向位置，m；cp为比热容，J·kg-1·K-1；A为面积，m2；p为压力，Pa；Δp为压降，Pa；T为温度，K。
如图 5和6所示，在相同Re时，流动传热充分发展阶段表面传热系数和单位长度压降均随着N的增大而增大，与当N=5时相比，当N=6.67时h和Δpm分别增大34%~35%和127%~130%，当N=10时h和Δpm分别增大109%~118%和613%~624%，可见h随N增大的幅度远小于Δpm。这是因为N越大，同层颗粒数越多，颗粒对流体的扰动越强烈，加剧了流体的混合，从而提高了传热速率。但是颗粒越密集，流动分离与回流越多，也会造成压力损失越大。这就意味着当管径/粒径比较大时，一方面传热性能更好，相同换热量时能够有效地减少传热面积；但另一方面，却不可避免的会导致阻力大幅度提升。因此，需要将传热性能与阻力性能综合考虑，以期达到最佳的综合技术指标。本文采用单位压降下的表面传热系数，即h/Δpm作为综合性能评价指标，其能在一定程度上反映填充床将压降转化为传热效果的能力，h/Δpm随Re的变化如图 7所示。从图 7中可看出，h/Δpm随着Re的增大先急剧减小，然后趋于平缓，当Re增大到一定范围(Re > 20)以后，继续增大Re对综合性能的影响不大。
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图 5 表面传热系数随Re的变化 Fig.5 Profiles of heat transfer coefficient as a function of Re |
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图 6 单位长度压降随Re的变化 Fig.6 Profiles of pressure drop per unit length as a function of Re |
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图 7 综合性能随Re的变化 Fig.7 Profiles of comprehensive performance as a function of Re |
当相同Re时，h/Δpm随着N的增大而降低，这是由于Δpm增大的趋势远比h显著。在小Re下，较小管径/粒径比的颗粒填充结构在综合性能上的优势更加明显，但这却是以牺牲传热性能为代价的。因此，在设计填充床时，应在满足热负荷的前提下，根据实际情况合理选择颗粒填充的管径/粒径比。
4.3 颗粒填充段内传热径向分布当管径/粒径比N=5时，颗粒填充段内热流密度q沿径向位置r(2R/D)的分布如图 8所示，其中，R为径向距离(mm)。从图 8中可以看出，相同径向位置r处的热流密度q在Re=30时最大，随着Re的减小，q降低。当不同Re时，q随r的变化均显示出相似的变化规律，因此q沿径向的分布与填充结构密切相关，而与Re无关。热流密度的极大值出现在r = 0.25，0.5，0.9处，此3处位置均经过同一平面上相邻颗粒的最窄处，由于流通截面的缩小，导致流体流速增大，增强了流体与颗粒表面之间的对流传热强度，使得热流密度比其他位置更大。
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图 8 热流密度沿填充段径向分布 Fig.8 Radial distribution of heat flux in the packed section |
由于颗粒有序填充的特点，颗粒填充通道在结构上具有连续性与周期性，选取流动传热充分发展阶段的典型截面P1与P2，其中，P1(x=10 mm)为仅穿过1层颗粒的截面，P2(x=11.2 mm)为穿过相邻2层颗粒的截面。
当Re=20时，管径/粒径比N=10的填充段横截面P1与P2速度分布如图 9所示。由图 9可见，整体来看，颗粒填充床层孔隙内的速度相对于入口表观速度有显著提高。P1截面上，由于局部孔隙率的不同，不同位置的速度分布存在差异，相邻颗粒之间的区域流通截面积较小，速度较大，而其他区域流通截面积较大，速度较小。P2截面上，由于孔隙率分布比较均匀，填充床层内部的速度分布基本一致。还可以看出，填充床内部和壁面附近的速度分布非常相似，这说明由于壁面非完整颗粒的存在削弱了壁面效应的影响，在内部不同孔隙之间没有引起流量重新分配，本文所建模型的计算结果可以很好地反映结构参数对于流动传热性能的影响。
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图 9 颗粒填充段横截面速度分布 Fig.9 Velocity contours on transversal surfaces in the packed section |
表征填充床传热与阻力性能的努塞尔数与阻力系数可由下式计算：
| $Nu = h \cdot {d_{\text{p}}}/{\lambda _{\text{f}}}$ | (5) |
| $\frac{{\rm{1}}}{f} = \frac{1}{2}{\rho _{\rm{f}}}{\left( {\frac{{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{\vec v}}}_D}} \right|}}{\varphi }} \right)^2}\frac{1}{{{d_{\rm{h}}}}}/\frac{{\Delta p}}{{\Delta x}}$ | (6) |
| ${d_{\rm{h}}} = \frac{{4\varphi }}{{6\left( {1 - \varphi } \right) + 4/N}}{d_{\rm{p}}}$ | (7) |
| ${d_{\rm{p}}} = 2{\left( {\frac{{3{V_{\rm{p}}}}}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} \right)^{1/3}}$ | (8) |
式中：dh为孔隙水力直径，m；φ为孔隙率；Vp为颗粒体积，m3。|vD|为达西速度矢量，m·s-1；λ为流体导热系数。
当不同流动工质Pr时，填充床流动传热充分发展阶段Nu与f随Re的变化如图 10和11所示。从图 10中可以看出，流动工质为水(Pr=7.01)与燃油JP-4(Pr=7.57)，或者乙二醇(Pr=150.46)与液压油(Pr=142.04)时，颗粒填充床层在相同Re下Nu几乎相等，表明流体的Pr相近时填充床具有相近的传热性能。还可以看出，在相同Re下，流动工质为乙二醇和液压油时，颗粒填充床层Nu高于流动工质为水和燃油JP-4时的Nu，表明流体的Pr越大，填充床传热性能越好。从图 11中可以看出，4种流动工质的f随Re的变化趋势一致，均随Re的增大而减小，且相同Re时f值近似相等，说明Pr的变化对f的影响较小。
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图 10 不同流动工质Pr时努塞尔数随Re的变化(N=10) Fig.10 Relationship between Nu and Re for fluids with different Pr (N=10) |
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图 11 不同流动工质Pr时阻力系数随Re的变化(N=10) Fig.11 Relationship between f and Re for fluids with different Pr (N=10) |
当不同流动工质Pr时，流动传热充分发展阶段Nu与f随N的变化如图 12和13所示。从图 12中可以看出，对于水(Pr=7.01)和燃油JP-4(Pr=7.57)，Nu随着N的增大呈现逐渐增加的趋势，当N=10时与当N=5时相比，Nu分别增大4.4%和7.1%；而当流动工质为乙二醇(Pr=150.46)和液压油(Pr=142.04)时，Nu随着N的增大先增大、后减小，当N=10时与当N=5时相比，Nu分别降低17.4%和19.2%，由此可见，填充床传热性能随管径/粒径比的变化趋势与Pr有关，对于不同的流体，可能出现不同的变化规律。从图 13中可以看出，4种流动工质所对应的f随N变化曲线具有相似的趋势，当N=6.67时与当N=10时f基本相等，且高于当N=5时的f值。
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图 12 不同流动工质Pr时努塞尔数随N的变化(Re≈30) Fig.12 Relationship between Nu and N for fluids with different Pr (Re≈30) |
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图 13 不同流动工质Pr时阻力系数随N的变化(Re≈30) Fig.13 Relationship between f and N for fluids with different Pr (Re≈30) |
(1) 当管径/粒径比不同时，颗粒填充段内流体的流动与传热具有相似的变化规律，且具有入口阶段、充分发展阶段以及出口阶段的差别。
(2) 以水为流动工质，当Re相同时，传热系数和压降均随管径/粒径比的增大而增大，单位压降下的表面传热系数随管径/粒径比的增大而减小。另外，单位压降下的表面传热系数随着Re的增大呈现先急剧减小、后趋于平缓的变化趋势。
(3) 不同径向位置处的热流密度不同，其值与该位置的颗粒分布有关；相同径向位置处的热流密度随Re的减小而降低。
(4) 流体Pr相近，填充床Nu相近；流体Pr越大，填充床Nu越大。Nu随管径/粒径比的变化与Pr有关，Pr不同，变化趋势不同。
(5) 流体Pr的变化对填充床阻力系数的影响较小。
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