1 前言

蒸汽动力系统通过将一次能源(燃料等)转化为二次能源(电、蒸汽等)，为过程工业提供所需要的工艺蒸汽、热能和动力^[1-2]。在蒸汽动力系统的实际优化调度中不可避免包含不确定因素。不确定因素会使系统现有操作偏离最优状态，造成过程的不合理，甚至带来安全隐患，所以在蒸汽动力系统优化调度中进行不确定优化研究具有重要的理论和实际意义^[3-4]。

对于蒸汽动力系统的不确定优化调度研究，传统的处理方法是将不确定问题转变为确定性多周期问题进行求解，即划分成多个周期，在每个周期内取不确定变量的期望值进行优化^[5-10]。但实际上在每个周期内外部工艺或生产过程的随机波动还会引起不确定变量的随机变化，传统确定性方法不能真实地反映不确定变量对优化目标和约束条件的影响，可能导致设计和操作偏离最优状态^{[3-4, 11]}。目前解决不确定优化问题的主要数学规划方法有随机规划^[12-14]、模糊规划^[15-17]、鲁棒优化^[18-20]和区间规划^[21-22]等。廖组维等^[23]针对不精确的过程数据，提出在不确定情况下蒸汽动力系统调度问题的模糊模型；Sun等^[24]考虑设备故障和汽电需求不确定变化建立了带补偿的两阶段随机规划模型；盖丽梅等^{[3, 11]}将不确定变量划分为基于时间表达和基于发生概率表达两类，提出了带补偿的两阶段随机规划模型。

然而，实际系统中存在多种不确定性，且这些不确定性通常不是单独存在的。单一的不确定优化方法在解决实际问题中都有各自的适用条件和优缺点，不能应对复杂的不确定系统。因此，不确定优化方法耦合解决复杂的不确定问题已经成为众多领域的研究热点^[25-31]。目前不确定方法耦合鲜有应用于公用工程，特别是蒸汽动力系统的设计和优化。本文考虑蒸汽动力系统优化模型中同时存在的多类型不确定变量，并将不确定变量划分为2个等级。第1等级是基于时间表达的不确定变量，进行多周期离散化处理。第2等级出现在各个周期，包括基于发生概率表达和基于集合表达的不确定变量，耦合机会约束规划和鲁棒优化，建立机会约束鲁棒优化模型。通过实际案例将本文模型与传统模型进行分析对比。

2 考虑多类型不确定变量的蒸汽动力系统运行优化模型

不确定变量的表达可以分成2个等级。第1等级是基于时间变化表达的不确定变量，如季节气候、加工方案等因素引起的汽电需求周期性变化；由于季节变化引起能源市场需求的变化从而导致燃料价格、电价和蒸汽价格的波动。对基于时间变化表达的变量，转化为多周期问题进行处理，即将全周期(一年)划分为$N$个周期。第2等级出现在每个周期内，包括基于发生概率表达和基于集合表达的不确定变量。在实际生产过程中由于外部工艺或生产过程的波动引起蒸汽压力、温度、流量、设备效率等不可预见性的变化，从而导致在每个周期内的汽电需求处于随机变化的状态，根据历史数据对其进行概率统计，属于基于发生概率表达的不确定变量，应用机会约束规划策略；根据历史数据统计，在每一周期内，由于市场环境多变，燃料、蒸汽和电力价格等不确定变量不服从任何概率分布，但在某一集合内波动，属于基于集合表达的不确定变量，应用鲁棒优化策略。基于上述策略，建立机会约束鲁棒优化模型。

2.1 目标函数

以$N$个周期内系统总花费最少为目标，总费用包括经济成本和环境成本，其中经济成本包括燃料费用、外购费用、设备折旧费用和启停费用；环境成本是根据价格转换机制由排放物对环境的影响转化而来。考虑目标函数中包含高压蒸汽价格、电价和燃料价格等不确定变量且在每一周期内基于集合表达，应用鲁棒优化策略。鲁棒优化是通过“集合”的形式描述数据的不确定性，而不需要知道不确定变量的概率分布信息，使得约束条件在不确定数据取值于已知集合中所有可能值的情况下都满足，并以此建立最坏情况下最优目标函数的鲁棒对应模型，即min-max模型，从而得到问题的鲁棒最优解^[18-19]。目标函数如式(1)所示：

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathop {\min }\limits_\boldsymbol{X} }_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{e,}}T}}}}{{\mathop {\max }\limits_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{i}},T}}} }_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{i}},T}}}}\sum\limits_T {\sum\limits_{\rm{n}} {\left( {{\rm{C}}{{\rm{M}}_{\rm{n}}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + \sum\limits_{\rm{i}} {{F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{i}},T}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + {\rm{CS}}{{\rm{U}}_{\rm{n}}} \times {Z_{{\rm{n}},T}} + {\rm{CS}}{{\rm{D}}_{\rm{n}}} \times {\rm{Z}}{{\rm{S}}_{{\rm{n}},T}}} \right)} } + }\\ {\sum\limits_T {\left( {{\rm{pu}}{{\rm{r}}_{{\rm{e}},T}} \times {{\overline {{\rm{pr}}} }_{{\rm{e}},T}} + \sum\limits_{\rm{r}} {{{{\mathop{\rm pur}\nolimits} }_{{\rm{r}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pr}}} }_{{\rm{r}},T}} \times \tau } \right)} + \sum\limits_T {{\rm{EV}}} \times {L_T} \times \tau } \end{array} $

(1)

式中：$\boldsymbol{X}$为决策向量，包括各周期锅炉、汽轮机和减温减压器负荷、锅炉燃料消耗、外购蒸汽量、外购电量和设备的二元变量。CM_n为设备n的折旧费用，$·h^-1；CSU_n、CSD_n分别为设备n的启动和停运费用，＄；EV为排放物的环境成本，＄·t ^-1；$L_T^{}$为排放物在周期T的排放量，t·h^-1；${F_{{\rm{n, i, }}T}}$为设备n在周期T内燃料i的消耗量，t·h^-1；Y_{n, T}、Z_{n, T}、ZS_{n, T}分别为设备运行、启动和停运状态的0-1变量；$\operatorname{pur}_{\mathrm{e}, T}$为周期T内的外购电量，kW；$\operatorname{pur}_{\mathrm{r}, T}$为周期T内r等级蒸汽外购量，t·h^-1；${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{e}},T}} $为周期T内的电价，$·kW^-1；${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{i}},T}} $、${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{r}},T}} $分别为在周期T内燃料i和r等级蒸汽的单价，$·t ^-1。根据历史数据的统计，在周期T内，${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{e}},T}} $、${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{i}},T}} $、${\overline {{\rm{pri}}} _{{\rm{r}},T}} $属于基于集合表达的不确定变量。定义$\overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{e}} \in \mathit{\Omega}, \overline{\mathrm{pr}}_{\mathrm{i}} \in \mathit{\Theta}, \overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{r}} \in \mathit{\Gamma}$。$\tau $为每个周期内的系统操作时间，h。由于min-max优化问题直接求解很困难，因此考虑对偶原理^[12]，得到式(1)的等价形式：

$\begin{array}{l} \min \gamma \\ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\sum\limits_T {\sum\limits_{\rm{n}} {\left( {{\rm{C}}{{\rm{M}}_{\rm{n}}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + \sum\limits_{\rm{i}} {{F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{i}},T}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + {\rm{CS}}{{\rm{U}}_{\rm{n}}} \times {Z_{{\rm{n}},T}} + {\rm{CS}}{{\rm{D}}_{\rm{n}}} \times {\rm{Z}}{{\rm{S}}_{{\rm{n}},T}}} \right)} } + }\\ {\sum\limits_T {\left( {{{{\mathop{\rm pur}\nolimits} }_{{\rm{e}},T}} \times {{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{e}},T}} + \sum\limits_{\rm{r}} {{{{\mathop{\rm pur}\nolimits} }_{{\rm{r}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pri}}} }_{{\rm{r}},T}} \times \tau } \right)} + \sum\limits_T {{\rm{EV}}} \times {L_T} \times \tau \le \gamma } \end{array} \end{array}$

(2)

证明问题(2)等价于问题(1)。

定理  如果问题(1)存在最优解，则问题(2)也存在最优解；如果${x^*}$是问题(2)的唯一最优解，则${x^*}$也是问题(1)的唯一最优解。

证明：为表述方便，定义

$\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( {\boldsymbol{X},{{\overline {{\rm{pr}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pr}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pr}}} }_{\rm{r}}}} \right) = \sum\limits_T {\sum\limits_{\rm{n}} {\left( {{\rm{C}}{{\rm{M}}_{\rm{n}}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + \sum\limits_{\rm{i}} {{F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pr}}} }_{{\rm{i}},T}} \times {Y_{{\rm{n}},T}} \times \tau + {\rm{CS}}{{\rm{U}}_{\rm{n}}} \times {Z_{{\rm{n}},T}} + {\rm{CS}}{{\rm{D}}_{\rm{n}}} \times {\rm{Z}}{{\rm{S}}_{{\rm{n}},T}}} \right)} } + }\\ {\sum\limits_T {\left( {{{{\mathop{\rm pur}\nolimits} }_{{\rm{e}},T}} \times {{\overline {{\rm{pr}}} }_{{\rm{e}},T}} + \sum\limits_{\rm{r}} {{{{\mathop{\rm pur}\nolimits} }_{{\rm{r}},T}}} \times {{\overline {{\rm{pr}}} }_{{\rm{r}},T}} \times \tau } \right)} + \sum\limits_T {{\rm{EV}}} \times {L_T} \times \tau } \end{array} $

(3)

对$\forall {X} $，令

$\mathop {\max }\limits_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} f\left( {\boldsymbol{X},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) = f\left( {\boldsymbol{X},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) = l(\boldsymbol{X})$

(4)

则

$f\left(\boldsymbol{X}, \overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{e}}, \overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{r}}\right) \leqslant f\left(\boldsymbol{X}, \overline{\mathrm{pri}}^{*}, \overline{\mathrm{pri}}^{*}, \overline{\mathrm{pri}}_{\mathrm{r}}^{*}\right)=l(\boldsymbol{X})$

(5)

由式(4)和(5)可得

$\mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{X}} \mathop {\max }\limits_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{X}} l(X)}\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \le l(\mathit{\boldsymbol{X}})} \end{array}} \right.$

(6)

引入变量$\gamma $使得$l(\boldsymbol{X}) \leqslant \gamma $，则

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{X}} l(X)}\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \le l(\mathit{\boldsymbol{X}})} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\min \gamma }\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \le \gamma } \end{array}} \right.$

(7)

由式(6)和(7)可得

$\mathop {\min }\limits_\mathit{\boldsymbol{X}} \mathop {\max }\limits_{{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\min \gamma }\\ {{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}f\left( {\mathit{\boldsymbol{X}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{e}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{i}}},{{\overline {{\rm{pri}}} }_{\rm{r}}}} \right) \le \gamma } \end{array}} \right.$

(8)

综上，问题(2)等价于问题(1)。定理得证。

2.2 锅炉的能量守恒约束

在蒸汽动力系统中，锅炉以燃料油或燃料气等为燃料，将水加热成高温高压蒸汽，用以满足生产加工过程中换热、做功或发电的需要。根据能量守恒定律，锅炉的所有供给能量之和等于流出能量之和，如式(9)所示。

$S_{\mathrm{n}, \text { boi }} \times\left(h_{\mathrm{n}, \mathrm{boi}, \mathrm{out}}-h_{\mathrm{n}, \mathrm{boi}, \mathrm{in}}\right)=\sum\limits_{\mathrm{i}} F_{\mathrm{n}, \mathrm{i}} \times q_{\mathrm{i}} \times \eta_{\mathrm{n}, \mathrm{boi}}$

(9)

式中：${S_{\mathrm{n}, \text { boi }}}$为锅炉的负荷，t·h^-1；${q_{\rm{i}}}$为燃料i的热值，kJ·kg^-1；${\eta _{\mathrm{n}, \text { boi }}}$为锅炉效率，%；${h_{\mathrm{n}, \text { boi },\text { out }}}$为锅炉的出口蒸汽焓值，kJ·kg^-1；${h_{\mathrm{n}, \text { boi },\text {in }}}$为锅炉的注水焓值，kJ·kg^-1；

2.3 汽轮机模型

汽轮机将蕴含在高温高压蒸汽中的热能转化为机械能或电能。在实际生产中，改变汽轮机的抽汽量是调节蒸汽管网中不同等级蒸汽平衡的重要手段之一。Shang等^[32]改进了背压式汽轮机的数学模型，提高了模型的精度，如式(10)所示。

${P_{\mathrm{n}, \text { tur}}} = \frac{6}{{5B}}({h_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { out}}} - {h_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}} - \frac{A}{{S_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}^{\max }}})({S_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}} - \frac{1}{6}S_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}^{\max })$

(10)

式中：P_{n, tur}为汽轮机功率，kW；$ {h}_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}、{h}_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { out}}$分别为汽轮机的进口蒸汽焓值和出口蒸汽焓值，kJ·kg^-1；${S_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}}$为汽轮机的负荷，t·h^-1；$S_{\mathrm{n}, \text { tur},\text { in}}^{\max }$为汽轮机容量，t·h^-1；$ A、B$为汽轮机最大能量负荷与满负荷效率之间回归函数的回归参数。

2.4 设备运行负荷约束

设备n在周期T的工作负荷应处于正常范围，如式(11)所示。

$Y_{\mathrm{n}, T} \times S_{\mathrm{n}}^{\min } \leqslant S_{n, T} \leqslant Y_{\mathrm{n}, T} \times S_{\mathrm{n}}^{\max }$

(11)

式中：$ {S}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{min}}、{S}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{max}}$分别为设备n的负荷下限和上限，t·h^-1；

2.5 单位设备启停约束

在炼厂中，设备的平稳运行对于安全生产至关重要，设备频繁启停一方面会减少设备使用寿命，增加维修成本，另一方面还会影响正常的工作质量，降低炼油企业生产效益，所以需要对设备运行状态的变化进行约束。

$\begin{array}{c} Z_{\mathrm{n}, T} \geqslant Y_{\mathrm{n}, T}-Y_{n, T-1} \end{array}$

(12)

$\mathrm{ZS}_{\mathrm{n}, T} \geqslant Y_{\mathrm{n}, T}-Y_{\mathrm{n}, T+1}$

(13)

2.6 污染物排放量

蒸汽动力系统在向过程工业提供工艺蒸汽、动力及电力等的同时也消耗大量的化石燃料，而这些燃料中均含有一定量S、C、N元素，燃烧之后产生一定量对环境有害的大气污染物$ {\mathrm{SO}}_{2}、\mathrm{CO}_{2}、{\mathrm{NO}}_{2}$等。

${{L_T}\left( {{\rm{S}}{{\rm{O}}_2}} \right) = \sum\limits_{\rm{i}} {\sum\limits_{\rm{n}} 2 } \times {F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}} \times {w_{{\rm{S}},{\rm{i}}}} \times \left( {1 - {\eta _{{\rm{des}}}}} \right) \times {Y_{{\rm{n}},T}}}$

(14)

${{L_T}\left( {{\rm{C}}{{\rm{O}}_2}} \right) = \sum\limits_{\rm{i}} {\sum\limits_{\rm{n}} 3 } .667 \times {F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}} \times {w_{{\rm{C}},{\rm{i}}}} \times {\lambda _{\rm{i}}}\left( {{\rm{C}}{{\rm{O}}_2}} \right) \times {Y_{{\rm{n}},T}}}$

(15)

${{L_T}\left( {{\rm{N}}{{\rm{O}}_2}} \right) = \sum\limits_{\rm{i}} {\sum\limits_{\rm{n}} 1 } .63 \times {F_{{\rm{n}},{\rm{i}},T}} \times \left( {{w_{{\rm{N}},{\rm{i}}}} \times {\lambda _{\rm{i}}}\left( {{\rm{N}}{{\rm{O}}_2}} \right) + 0.000938} \right) \times {Y_{{\rm{n}},T}}}$

(16)

式中：$L_{T}\left(\mathrm{SO}_{2}\right)、L_{T}\left(\mathrm{CO}_{2}\right)、L_{T}\left(\mathrm{NO}_{2}\right)$为周期T $ \mathrm{SO}_{2}、\mathrm{CO}_{2}、\mathrm{NO}_{2}$的生成量，t·h^-1；w_{S, i}、w_{C, i}、w_{N, i}分别为元素S、C、N占燃料i的比率，%；$\eta_{\text {des }}$为脱硫效率，%；$ {\lambda }_{{\rm{i}}}({\mathrm{CO}}_{2})、{\lambda }_{{\rm{i}}}({\mathrm{NO}}_{2})$分别为元素C、N转化为$ {\mathrm{CO}}_{2}、{\mathrm{NO}}_{2}$的比率，%。

2.7 供需约束

供需约束主要是满足蒸汽动力系统对蒸汽、动力和电力的需求。考虑汽电需求等不确定变量且在每一周期基于发生概率表达，应用机会约束规划策略。机会约束规划是随机规划的重要分支，主要针对约束条件中含有随机变量，且必须在观测到随机变量的实现之前作出决策的情况。考虑到所做决策在不利情况发生时可能不满足约束条件，而采取一整原则：即允许所做决策在一定程度上不满足约束条件，但该决策应使约束条件成立的概率不小于某一置信水平^{[12, 33]}。得到机会约束式(17)、(18)如下所示：

蒸汽需求约束:

$Pr\{ \operatorname{pur}_{\mathrm{r}, T} + \sum\limits_{\rm{n}} {{S_{\rm{n, boi, T}}}} + \sum\limits_{\rm{n}} {({S_{\rm{n, tur, out, }T}} - {S_{\rm{n, tur, in, T}}})} + \sum\limits_{\rm{n}} {({S_{\rm{n, red, out, }T}} - {S_{\rm{n, red, in, }T}}) \geqslant {{\overline D }_{\mathrm{r}, T}}\} \geqslant \alpha } $

(17)

式中：${S_{\rm{n, tur, out, }T}}$为周期T流出汽轮机的蒸汽质量流量，t·h^-1；$ {S}_{\rm{n, red, in, }T}、{S}_{\rm{n, red, out, }T}$分别为周期T减温减压器的负荷和流出的蒸汽质量流量，t·h^-1；${\overline D _{\mathrm{r}, T}}$为周期T r等级蒸汽需求量，t·h^-1，属于基于发生概率表达的不确定变量；$\Pr \{ \cdot \} $表示${\rm{\{ }} \cdot {\rm{\} }}$中的事件成立的概率；$\alpha $为事先给定的约束条件的置信水平。

电力需求约束:

${\Pr _{}}\{ \sum\limits_{\rm{n}} {{P_{{\rm{n, tur, }}T}}} + \operatorname{pur}_{\mathrm{e}, T} \geqslant {{\bar D}_{{\rm{e}},T}}\} \geqslant \beta $

(18)

式中：P_{n, tur, T}为汽轮机在周期T内功率，kW；${{\bar D}_{{\rm{e}},T}}$为周期T电力需求量，kW；属于基于发生概率表达的不确定变量；$\beta $为事先给定的约束条件的置信水平。${P_{n, tur, T}}$为汽轮机在周期T内的功率。

处理机会约束规划的方法是把机会约束转化为各自的确定等价形式^[34]。机会约束式(17)、(18)的确定等价形式分别为

$\operatorname{pur}_{\mathrm{r}, T} + \sum\limits_{\rm{n}} {{S_{\rm{n, boi, T}}}} + \sum\limits_{\rm{n}} {({S_{\rm{n, tur, out, }T}} - {S_{\rm{n, tur, in, T}}})} + \sum\limits_{\rm{n}} {({S_{\rm{n, red, out, }T}} - {S_{\rm{n, red, in, }T}})} \geqslant {K_\alpha }$

(19)

$\sum\limits_{\rm{n}} {{P_{n, T}}} + \operatorname{pur}_{\mathrm{e}, T} \geqslant {K_\beta }$

(20)

式中：${K_\alpha } = \inf {\kern 1pt} {\kern 1pt} \{ K|K = {\mathit{\Phi} _{\mathrm{r}, T}}^{ - 1}(\alpha )\} $，${K_\beta } = \inf {\kern 1pt} {\kern 1pt} \{ K|K = {\mathit{\Phi} _{e, T}}^{ - 1}(\beta )\} $，$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{r}, T}、{\mathit{\Phi} }_{\mathrm{e}, T}$分别为随机变量$ {\overline{D}}_{\mathrm{r}, T}、{\overline{D}}_{\mathrm{e}, T}$的概率分布，$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{r}, T}^{-1}、{\mathit{\Phi} }_{\mathrm{e}, T}^{-1}$分别为$ {\mathit{\Phi} }_{\mathrm{r}, T}、{\mathit{\Phi} }_{\mathrm{e}, T}$的逆函数。

3 案例研究 3.1 案例描述

实例为某炼油厂工程项目的蒸汽动力，工艺流程如图 1所示。有3种等级蒸汽，高压蒸汽(HP)、中压蒸汽(MP)和低压蒸汽(LP)。B1-B4为锅炉，参数见表 1。BT1-BT5为汽轮机，参数见表 2。V1-V2为减温减压器，容量为60 t·h^-1。系统燃料为天然气，其C元素的质量分数为78%，燃烧热值为50 244 kJ·kg^-1，C的氧化率为99%。$C{O_2}$的环境成本为40 ＄·t^-1。不足的电力和高压蒸汽从外界购买。

3.2 本文模型与传统模型的最优操作方案比较

由于市场环境的变化，汽电需求、蒸汽价格、电价以及燃料价格都属于不确定变量。传统模型是将不确定问题转变为确定性多周期问题进行求解，即划分成多个周期，在每个周期内取不确定变量的期望值进行优化。本文对基于时间变化表达的汽电需求、高压蒸汽价格、电价以及燃料价格等变量按多周期处理，即将全周期(一年)划分为6个周期，每个周期按100 h计算。在每个周期，对基于发生概率表达的汽电需求变量应用机会约束规划策略。置信水平由决策者提供适当的安全裕度，具体取值取决于企业愿意承担的风险系数。本文选择置信水平α=0.9，β=0.9。根据实际经验以及对历史数据的概率统计，基于发生概率表达的汽电需求变量服从正态分布，其概率函数为$N({\mu _T}, \delta _T^2)$，${\delta _T}$取$0.05{\mu _T}$，${\mu _T}$为各周期汽电需求量的标称值，见表 3。在每个周期，对基于集合表达的高压蒸汽价格、电价和燃料价格等不确定变量应用鲁棒优化策略，价格波动集合见表 4。

基于LINGO 11.0求解器，确定在不确定环境下的最优运行策略。决策变量包括各周期锅炉、汽轮机和减温减压器负荷、锅炉燃料消耗、外购高压蒸汽量、外购电量和设备的二元变量。本文模型包含162个连续变量，78个离散变量，415个线性约束和6个非线性约束。传统模型包含162个线性变量，48个离散变量，378个线性约束和1个非线性约束。如图 2和3所示分别为本文模型和传统模型计算得到的锅炉的最优操作方案。从图中可以看出，在全周期内本文模型的优化方案中只有锅炉B3有一次启停；传统模型的优化方案中B3，B4都存在启停情况；另外，相比于传统模型，本文模型的锅炉优化运行负荷较稳定，变化幅度不大，且运行负荷较高使得设备运行效率也更高。综上所述，本文模型的锅炉优化方案一方面能更有效地避免由于设备频繁启停或者负荷波动过大而引起的设备故障问题，另一方面能提高锅炉运行效率，经济性越好。

如图 4和5所示为本文模型和传统模型计算得到的汽轮机的最优操作方案。从图中可以看出，2种模型的优化方案中汽轮机都不存在启停情况，不过运行负荷都存在较大波动；在第4周期本文模型的汽轮机以较大功率运行，所以在全周期内本文模型的优化方案中自产电量明显高于传统模型的自产电量。从而导致本文模型的外购电量相比如传统模型大幅度减少，见图 6和7。另外，本文模型的优化方案中需要外购少量的高压蒸汽。如图 8和9所示为2种模型的减温减压器最优操作方案。从图中可以看出，2种操作方案都存在少量的能源浪费。

蒸汽动力系统在各个周期内提供的电力、蒸汽量在满足用户需求的条件下，增加系统自身负荷，减少外购是降低成本的最优方案。在设备的额定工况内，设备的运行负荷越大，设备的运行效率就越高，经济性越好。与传统模型相比，本文模型的优化方案中大量的自产电导致设备燃料消耗增加，燃料花费增加了6.68%，环境成本增加了22.5%，不过外购电力以及设备启停次数的减少使得本文模型的优化方案总花费降低了1.7%，这证明了本文模型的经济性能，见表 5。

4 结论

(1) 本文针对蒸汽动力系统中的不确定性进行分析分类，不同类型不确定性应用不同的策略建立其对目标函数和约束的影响。建立蒸汽动力系统运行优化模型。案例研究表明：与传统模型相比，本文模型的优化方案不仅使总花费降低了1.7%，而且能获得在复杂不确定性下具有可接受风险的鲁棒性决策, 保证系统应对不同类型的不确定变量而安全稳定运行。

(2) 本文模型的优化方案相对保守，且设备故障等不确定性问题还没有考虑。下一步将继续研究系统中存在的不确定性，针对不同类型不确定性开发更好的处理策略。